码长为2nps的重根自对偶负循环码

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ｏｖｅｒＦｑ；ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｏｆｔｈｅｓｅｌｆ－ｄｕａｌｒｅｐｅａｔｅｄ — ｒｏｏｔｎｅｇａｃｙｃｌｉｃｃｏｄｅｓｏｆｌｅｎｇｔｈ１０ｏｖｅｒ
Ｖｏｌ＿２７Ｎｏ．５
Ｓｅｐ．２０１３
文章编号：１６７２～６１９７（２０１３）０５ — ００６４ — ０３
码长为２ｎｐ的重根自对偶负循环码
常星星，孔琼，郭膑化
（山东理工大学理学院，山东淄博２５５０９１）
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＳｈａｎｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｚｉｂｏ２５５０９１，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｏｂｔａｉｎａｌｌｔｈｅｓｅｌｆ — ｄｕａｌｒｅｐｅａｔｅｄ — ｒｏｏｔｎｅｇａｃｙｃｌｉｃｃｏｄｅｓｏｆｌｅｎｇｔｈ２＂ｐ
wk.baidu.com
摘要：给出了所有Ｆ。上码长为２＂ｐ的重根自对偶负循环码和Ｆｓ上码长为１０的重根自对偶负
循环码的生成多项式．
关键词：负循环码；生成多项式；自对偶码中图分类号：ＴＮ９ｌ１．２２文献标志码：Ａ
负循环码是一类重要的线性码．它们具有很好的代数结构、循环性，其编码和译码可以利用线性移位寄存器来实现．寻找有限域上自对偶负循环码是学者们研究的热点之一．文献Ｅｌｉ中研究了下列码类：（１）有限域Ｆ上码长为２的单根常循环码；（２）Ｆ。上码长为２的单根自对偶负循环码；（３）Ｆ上码长为２＂ｐ的重根
，一５ｇｄｅｇ（ｈ（ｘ））ｈ（１／ｘ）为＾（）的反多项式，则Ｃ的对偶码ｃ上一＜＞．当ｇｃｄ（，） ≠ １，一一
１且Ｃ— Ｃ上时，称ｃ是重根自对偶负循环码］．
对任何整数Ｓ，设包含Ｓ的模２的ｑ一分圆陪集为Ｃ一｛ｓ，ｓｑ，田。， …，ｓｑ），其中ｍ是满足ｓｑ三
常循环码．目前Ｆ上码长为２＂ｐ的重根自对偶负循环码尚未给出．本文将给出Ｆ上码长为２＂ｐ的重根自对
偶负循环码．
１预备知识
Ｆ是有ｑ— Ｐ个元素的有限域，其中Ｐ为奇素数， ∈ Ｆ，设ｃ为Ｆ上码长为的一常循环码，Ｃ可
Ｆ５ａｒｅｄｅｒｉｖｅｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎｅｇａｅｙｅｌｉｃｃｏｄｅｓ；ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ；ｓｅｌｆ－ｄｕａｌｃｏｄｅｓ
Ｐ厂一］
等同于商环兰的理想．当ｇｃｄ（ｎ，ｐ）一ｌ时，称Ｃ为单根一常循环码；当ｇｃｄ（ｎ，） ≠１时，称Ｃ为
重根一常循环码．设ｃ的生成多项式为ｇ（ｚ），则ｇ（）是ｚ ” 一的首一因式，记作Ｃ一＜ｇ（）＞．记ｈ（ｚ）一
Ｓｅｌｆ－ｄｕａｌｒｅｐｅａｔｅｄ－ｒｏｏｔｎｅｇａｅｙｃｌｉｅｃｏｄｅｓｏｆｌｅｎｇｔｈ２ｎｐＣＨＡＮＧＸｉｎｇ — ｘｉｎｇ，ＫＯＮＧＱｉｏｎｇ，ＧＵＯＢｉｎ — ｈｕａ
收稿日期：２０１３—０４ —１７
作者简介：常星星，女，ｃｈａｎｇｘｉｎｇｘｉｎｇ２０１２＠１２６．ｃｏｎｒ
¨ 一 Ⅱ
第５期常星星，等：码长为２￣ｐ的重根自对偶负循环码６５
第２７卷第５期
２０１３年９月
山东理工大学学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈａｎｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
ｓ（ｍｏｄ２）的最小的正整数．设ａ是Ｆ。的某个扩域中的一个２次本原单位根，则ａ在Ｆ上的最小多项式为
（ｚ．）一Ⅱ （ｚ — ａ）．
ｉＥＣ
引理１（文献［１］中引理４和引理５）设，ｚ ≥１，ｄ≥ ２，ｃ是奇数．