圆锥曲线中中点弦求斜率问题
关于利用“点差法”求解中点弦所在直线斜率问题的教学案例(曹文红)
关于利用“点差法”求解中点弦所在直线斜率问题的教学案例湖北省宜昌市夷陵中学 曹文红[问题背景]圆锥曲线的中点弦问题是解析几何中的一类常见问题。
对于求解以定点为中点的弦所在直线方程问题，许多同学习惯于利用“点差法”先求直线斜率：即首先设弦的两端点坐标为),(),,(2211y x B y x A ，代入圆锥曲线方程得到两方程后再相减，从而得到弦中点坐标与所在直线的斜率的关系，使问题得以解决。
此方法巧妙地将斜率公式和中点坐标公式结合起来，设而不求，代点作差，可以减少计算量，提高解题速度，优化解题过程，对解决此类问题确实具有很好的效果。
但在具体应用时，由于“点差法”所必须具备的前提条件是符合条件的直线确实存在，否则就会产生增根。
而学生由于认知方面的原因，对于此类问题往往只注意利用“点差法”先求直线斜率再求方程却常常忽略了检验符合条件的直线是否存在，从而走入“点差法”的误区，出现错误却无法察觉。
为此，我专门设计了一节利用“点差法”求直线斜率的习题课，通过师生互动、合作探究的方式，使教学过程生动活泼，一波三折，使学生加深了对求解以定点为中点的弦所在的直线方程问题的认识，认清了产生增根的根源，找到了简便易行的检验方法，收到了较好的教学效果。
[案例实录]1、 创设情景，提出问题师：前面，我们已经学习了椭圆、双曲线和直线的位置关系，知道了解决这类问题的主要方法。
下面请大家看问题1：已知点)2,4(M 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程。
问题提出后，犹如一石激起千层浪，学生的探究热情被激发起来，开始了对问题的探索。
2、 自主探索，暴露思维学生求解的同时，教师在行间巡视，发现生1很快得出了结果，于是请生1上台板书：生1：解：设直线l 与椭圆交点为),(),,(2211y x B y x A ，则有3642121=+y x ，3642222=+y x ，两式相减，得：()()()()0421212121=-++-+y y y y x x x x ，因为)2,4(M 为AB 中点，所以有： 4,82121=+=+y y x x ， 所以21)(4)(21212121-=++-=--=y y x x x x y y k AB ，故所求直线l 的方程为)4(212--=-x y ，即082=-+y x 。
关于圆锥曲线的中点弦问题
1 2
又因为直线过点 M（2，1），所以所求弦所在的直
线方程为 x 2y 4 0
二、求弦中点的轨迹方程问题
例 2 过椭圆 x2 y2 1上一点 P（-8，0）作直线交椭圆于 Q 点，求 PQ 中点的轨迹
64 36
方程。
解法三：
设 PQ 的中点坐标为 M（x，y），
由结论易知： kPQ
三、弦中点的坐标问题
例 3 求直线 y x 1被抛物线 y 2 4x 截得线段的中点坐标。
解法三： p2
设中点坐标为 M (x0 , y0 ) ，由结论易得： k y0 y0
2 由题目已知，k=1，所以有 y0 1, y0 2
代入直线 y x 1中，求得 x0 3 即中点坐标为 (3,2) 。
解法二：设直线 y x 1与抛物线 y2 4x 交于 A(x1, y1 ) ， B(x2 , y
y0
)
，由题意得
y1 y2
2 2
4x1 4x2
，两式相减得
y22
y12
4( x 2
x1 ) ，
所以
( y2
y1 )( y2 x2 x1
(x 4)2
的轨迹方程为 16
y2 9
1
（
）。
三、弦中点的坐标问题
例 3 求直线 y x 1被抛物线 y 2 4x 截得线段的中点坐标。
解法一：设直线 y x 1与抛物线 y2 4x 交于 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，
y x 1
其中点
P(x0 ,
64 36
方程。
圆锥曲线专题解析5：点差法分析中点及斜率（附参考答案）
圆锥曲线专题解析5：点差法分析中点及斜率（附参考答案）点差法分析中点及斜率（圆锥曲线）Ø方法导读我们在解答圆锥曲线题目时,经常会碰到一些中点弦的问题,比如根据弦的斜率求中点坐标,根据中点坐标求弦的斜率,或者其它一些跟中点弦相关的计算和证明等等.按照常规思路,我们会联立直线和圆锥曲线方程,消去或,然后通过韦达定理来处理中点弦的问题,这样能得到我们所要求的结果,但计算量会比较大,一不小心就会算错,造成失分.今天来介绍下圆锥曲线中的点差法,专门针对中点弦的问题进行简化运算,快速得到答案.Ø高考真题【2018年高考Ⅲ卷理20】已知斜率为的直线与椭圆交于,两点.线段的中点为.(1)证明:;(2)设为的右焦点,为上一点,且.证明:,,成等差数列,并求该数列的公差.Ø解题策略【过程分析】我们来分析下第一问,第二问不在本专题研究范围之内,学生可自行总结.题目中出现了弦的中点坐标条件,证明的结论是弦的斜率范围.根据正常思路,先设出直线方程为,代入中点坐标可得,联立直线和椭圆,消去y得,然后将代入得到不等式,再结合中点的条件及的范围得到的范围,又或者先求出的表达式,然后结合的范围分析求解. 解题思路上不算太复杂,套路也是常用的处理方式,但计算量大,非常容易算错,费事费力,一不小心就会造成选择不对,努力白费的局面,所以这个时候选择一个好方法就显得尤为重要,点差法就是专门处理这类中点弦的问题的快捷方法,通过将点的坐标代入曲线方程,然后作差能快速得到斜率和中点的关系,从而大大简化运算,轻松得分.Ø解题过程(1)设,,则,,两式相减,并由得.由题设知,,,于是.①又数形结合可知,故;(2)由题意得,设,则,由(1)及题设得,.又点在上,所以,从而,. ∴. 同理,所以,故,即,,成等差数列.设该数列的公差为,则.②将代入①得.所以的方程为,代入的方程,并整理得.故,,代入②解得.所以该数列的公差为或.Ø解题分析从解析第一问中可以看出,我们用点差法来处理中点弦的问题是极为方便的,计算量小,思路也很简单.设出弦与曲线的交点坐标,,因为点在曲线上,故代入曲线方程可得,,然后作差,作差是点差法的精髓所在,作差之后我们可以得到,平方差公式展开得,然后根据两点间的斜率公式和中点坐标公式,代入就可以得到,表达式中中点坐标和弦的斜率关系一目了然,简明扼要,然后在根据的范围得到的范围. 所以点差法用在弦的中点和斜率关系的求解上绝对可以起到事半功倍的效果,没有了冗长的计算,学生学起来不但轻松了,而且学习兴趣也会大大提高,增强学习数学的自信心.Ø拓展推广点差法:设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为,,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点坐标和斜率有关的式子,我们称这种代点作差的方法为“点差法”.结论:结论1:斜率为的直线与椭圆交于,两点,中点为,则.结论2:斜率为的直线与双曲线交于,两点,中点为,则.结论3:斜率为的直线与抛物线交于,两点,中点为,则.若圆锥曲线的焦点在y轴上,结论如何,请同学们结合点差法自己动手推理试试.点差法应用题型:1.以定点为中点的弦所在的直线方程2.过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹3.圆锥曲线上两点关于某直线对称问题4.求与中点弦有关的圆锥曲线的方程或离心率等5.与中点弦有关的证明定值,求参数范围,存在性问题等等注意事项:利用点差法时,有时要验证求出的结果是否满足直线与曲线相交的要求,可用判别式分析.举例说明:已知双曲线的方程,问是否存在被点平分的弦,如果存在,求出弦所在的直线方程,如果不存在,请说明理由.按照常规的解法:设直线的方程为,与双曲线方程联立,由得,且,但是由“点差法”仍然可得到一条直线的斜率,显然不符合题意,由此可见“点差法”是有局限性的.事实上,(1)若中点在圆锥曲线(包括圆)内部,则满足条件的直线必定存在;(2)若中点在圆锥曲线(包括圆)上,则满足条件的直线必不存在;(3)若中点在圆锥曲线(除双曲线外)外部,则满足条件的直线必不存在.特别地,对于点在双曲线的外部时,满足时直线必定存在,否则一定不存在(当点在坐标轴上时属于特殊情况,应当特殊考虑). 拓展:定比点差法圆锥曲线中涉及“中点、中点弦”等问题可以考虑使用“点差法”. 有时问题中不出现“中点”,而是“定比分点”,这时可以考虑使用“定比点差法”. 定比点差法与点差法类似,都是根据某两点在圆锥曲线上,则这两点满足曲线方程,然后作差. 定比点差法代点后一个等式不变,另一个等式两边同乘以,再相减.设,在二次曲线上,则,两式作差得,即①,若,则,即②,将②代入①得③,然后根据条件进行相应分析即可.变式训练1已知直线与抛物线交于,两点,则线段中点坐标是__________.变式训练2已知双曲线,经过点能否作一条直线,使与双曲线交于、两点,且点是线段的中点.若存在这样的直线,求出它的方程,若不存在,请说明理由.变式训练3已知椭圆,(1)求斜率为的平行弦的中点轨迹方程;(2)过的直线的椭圆相交,求被椭圆截得的弦的中点轨迹方程;(3)求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 变式训练4已知过点的直线与椭圆且相交于,两点,中点坐标为且(为坐标原点).(1)求直线的方程;(2)证明:为定值. 变式训练5 如图,在中,,,,椭圆以,为焦点且过点,点为坐标原点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若点满足,问是否存在不平行的直线与椭圆交于不同的两点,且,若存在,求出直线的斜率的取值范围,若不存在,说明理由. 答案变式训练1设中点坐标为,则①又由点差法知,即②由①②知:,故所求为.变式训练2见解析设存在被点平分的弦,且,,则,.∵点在曲线上,∴,, 两式相减,得,∴,故直线.由消去y,得,,方程无解,故不存在这样的直线. 变式训练3见解析(1)设这些平行弦的方程为,弦的中点为.联立直线方程和椭圆方程:,消去y得,因此,,∴,的横纵坐标是,,,消去得平行弦的中点轨迹方程为:,.(2)设弦的端点为,,弦的中点为.∴,∴,∵,因此,化简得.(包含在椭圆内部的部分) (3)由(2)可得弦所在直线的斜率为,因此所求直线方程是:,化简得:.变式训练4 见解析(1)设,,∴,①-②得,∵中点坐标为,∴.∴直线的方程为。
中点弦问题(基础知识)
圆锥曲线的中点弦问题一：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。
注意：因为Δ＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ＞0！1、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
例2、已知双曲线1222=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
2、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
例4、已知椭圆1257522=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
3、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。
∴所求椭圆的方程是1257522=+x y 4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆13422=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
五、注意的问题（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。
利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。
高中数学椭圆与双曲线中点弦斜率公式及推广
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每椭圆与双曲线中点弦斜率公式及其推论圆锥曲线中点弦问题是问题在高考中的一个常见的考点.其解题方法一般是利用点差法和韦达定理，设而不求.但一般来说解题过程是相当繁琐的.若能巧妙地利用下面的定理则可以方便快捷地解决问题.定理1(椭圆中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b+=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OM b k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅=-定理2(双曲线中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为双曲线22221x y a b-=弦AB每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每（AB 不平行y 轴）的中点，则有22AB OMb k k a⋅= 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b ---=整理得：2221222212y y b x x a -=-，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅= 例1、已知椭圆22221x y a b-=，的一条弦所在的直线方程是30x y -+=，弦的中点坐标是2,1M -（），则椭圆的离心率是（ ） A 、12B、2 C、分析：本题中弦的斜率 1AB k =且12OMk =-，根据定理有2212b a =，即2222112a c e a -=-=，解得e =，所以B 答案正确.例2、过椭圆221164x y +=内的一点(2,1)M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在的直线方程.解：设弦所在的直线为AB ，根据椭圆中点弦的斜率公式知14AB OM k k ⋅=-，显然12OM k =，所以12AB k =-，故所求的直线方程为11(2)2y x -=--，即240x y +-=.每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每例3、过椭圆2216436x y +=上的一点(8,0)P -作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程.解：设PQ 的中点为(,)M x y ，则OM y k x=，8PQ y k x =+，由椭圆中点弦的的斜率公式得9816y y x x ⋅=-+，即所求的轨迹方程为29(8)16y x x =-+例4、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线l 与x 轴交于0(,0)P x ，求证：22220a b a b x a a---<<. 证明：设AB 的中点为11(,)M x y ，由题设可知AB 与x 轴不垂直，10y ∴≠，由椭圆的中点弦斜率公式得:2121ABx b k a y =-⋅2121l a y k b x ∴=，所以直线l 的方程为：211121()a y y y x x b x -=-，令0y =解得21022a x x a b =-，1||x a <，2022a a x a a b ∴-<<-，即：22220a b a b x a a ---<<例5、已知双曲线2212y x -=，经过点(1,1)M 能否作一条直线l ，使l 交双曲线 于A 、B 两点且点M 是线段AB 的中点，若存在这样的直线l ，求出它的方程； 若不存在，说明理由.解：若存在这样的直线l 的斜率为k ，则1OM k =，由双曲线中点弦的斜率公式知：2k =，此时l 的方程为：12(1)y x -=-，即21y x =-，将它代入双曲线方程2212y x -=并化简得：22430x x -+=，而该方程没有实数根.故这样的直线每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每l 不存在.定理1推论：若A 、B 是椭圆22221x y a b+=上关于中心对称的两点，P 是椭圆上任一点，当PA 、PB 的斜率PA k 和PB k 都存在时，有22PA PB b k k a⋅=-. 证明：如图：连结AB ，取PB 中点M ，连结OM ，则OM PA ，所以有OM PA k k =，由椭圆中点弦斜率公式得：22OM PBb k k a ⋅=-.所以22PA PB b k k a⋅=-.类似地可以证明定理2推论：若A 、B 是双曲线22221x y a b-=上关于中心对称的两点，P 是双曲线上的任一点，当PA 、PB 的斜率PA k 和PB k 都存在时，有22PA PBb k k a⋅=.。
圆锥曲线弦中点坐标与弦的斜率关系再探
中国数学教育［ １年 期 ４ ２ ０ 第４ ］ ３ ０
解之得一２ ｑ ＜ｍ — Ｙ ｖ
＜ —
２ ｑ－ ｖ ３
．
由 长 式ＡＩＷ 赤 ｌ 弛＝ 得 弦公 Ｉ ／ Ｙ Ｉ可 曰 １ ｌ ｆ －
例 ４ 抛物线 Ｙ＝ 一１ 上存在 关于直线 ＋Ｙ＝０对称的两 点 ，求 。的范围． 解 ：抛物线可变形为 ＝ （ ） ＋１ ，设 Ａ（ Ｙ）８（： ９， ， ｘ，ｙ Ｍ（。 ｏ为 Ａ ｘ，Ｙ） Ｂ的中点 ，则 由性质 ３ 可知 ＝ ．
圆锥
郭兴 甫 （ 南省会 泽 县 第一 中学） 云
吴梅 红老师在 文章 寸 的弦中点坐 标与 弦的斜率关 系 的 圆
探
联想》 中对 圆及其 有心二 次 曲线 的弦 中点 坐标 与弦的斜率 关系 作类 比，得到如下性质．
性质 １ 设 Ａ日是椭 圆 Ｃ： ＋ ＝１的一条 弦， （ ・ ．
；
盲—～
以上对处 理有心 二次 曲线 问题 做巧妙解 答 ，笔 者读后 深受
又因为 ＩＢ Ｉ ｚ Ａ ＝ ，
启发 ，并进一步对 无心二次曲线的性质作探索 ，得到如下性质．
性质 ３ 设 、 是抛物 线 ＝ ＞０ ）上的不同两点 ，
Ｏ
所 （ ｌ ｙ， ＝ 去）－Ｉ Ｙ ｚ ｌ
下面举 例说 明以上 性质 在圆锥曲线中的广泛应用 ，供参考．
一
例３已 椭 ： 手＝， 确 ｍ 取 范 ， 知 圆ｃ 等＋ ｌ试 定 的 值 围
椭 圆上有两个不 同的点关 于直线 ｚ ：４ ＋ｍ对称． ：Ｙ ｘ
、
在圆锥 曲线有关轨迹问题方面的妙用
例１ 已 知椭圆 ＋ ＝ 及点Ｐ一， ） （， ）过Ｐ 并设 Ｍ（。 孚 １ （２ ０，０ｏ １． ｘ，
圆锥曲线中点弦典型例题及解析
01
总结词
这类问题主要考察了圆锥曲线与切线相关的性质和定理，需要利用切线
性质和圆锥曲线的定义来解决。
02
详细描述
在解决与切线相关的问题时，我们需要利用圆锥曲线的切线性质和定义，
结合题目给出的条件，推导出与中点弦相关的方程或不等式，进而求解。
03
示例
已知抛物线C的方程为y^2 = 2px (p > 0)，过其焦点F作直线与C交于A、
数形结合
将代数问题与几何图形相结合 ，利用几何意义求解。
THANKS
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特殊情况
当点$P$为圆锥曲线的焦点时， 中点弦称为焦点弦。
中点弦的性质
垂直性质
角度性质
中点弦所在的直线与过点$P$的切线 垂直。
中点弦与切线之间的夹角等于该弦所 对的圆周角。
长度性质
中点弦的长度与过点$P$的切线长度 成反比。
中点弦的几何意义
中点弦是连接圆锥曲 线上的两个对称点的 线段。
中点弦的长度等于圆 锥曲线上的两个对称 点到点$P$的距离之 和的一半。
详细描述
在解决椭圆的中点弦问题时，需要注意中点 弦的特殊性质。例如，当直线过椭圆中心时， 中点弦即为椭圆本身；当直线的斜率为0或 无穷大时，中点弦的长度为椭圆的长轴或短 轴的长度。这些特殊性质可以帮助我们快速 判断中点弦的性质和范围。
双曲线的中点弦问题
总结词
双曲线的性质和方程
详细描述
双曲线的中点弦问题主要考察了双曲线的性质和方程。解决这类问题需要利用双曲线的 性质，如对称性、开口方向等，以及双曲线的方程，如标准方程、参数方程等。通过联 立直线和双曲线的方程，消元化简，可以得到关于中点弦的方程，进一步求解得到中点
圆锥曲线——中点弦点差法课件-2021届高三数学复习
将A、B两点带入椭圆方程得
33xx1222
4 y12 4 y22
12 12
两式相减可得，3 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 0
即
k AB
kOM
b2 a2
3 4
k 3 4m
点M (1, m)在椭圆内，即 1 m2 1, (m 0)，解得 0 m 3
即有
x1
x2
2 m ，截得弦的中点为 3
1 3
m,
1 2
m
由
x
y
1 2
1m 3 m
,消去m,可得
y3x 2
则这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线 y 3 x 上。 2
课本 P49 习题2.2 A组第8题
已知椭圆 x2 y2 1, 49
3
一组平行直线的斜率是 2
运用：点差法
(1)这组直线何时与椭圆相交?
a2 b2
3、再拓展
x 椭圆焦点在 轴，A、B是关于原点对称的两点，P是异于A、B的一个点，
如图：
kPA
kPB
b2 a2
双曲线也有类kPA k似PB 的 ba22性质
4、点差法做题步骤：
1.设点 2.作差 3.求斜率
点差法的优点： 1.运算简单，做题信心足 2.解决中点弦问题形成方法，塑造思路极易 总结：中点弦问题—点差法设点作差求斜率
课本 P49 习题2.2 A组第8题
已知椭圆
x2 4
y2 9
1,
一组平行直线的斜率是
3 2
(1)这组直线何时与椭圆相交?
运用：韦达定理
(2)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上。
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的 根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点) 坐标为A(x 1, y 1)、B(x 2,y 2)，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法” 。
一、以定点为中点的弦所在直线的方程解：设直线与椭圆的交点为 A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)是线段AB 的中点。
若存在这样的直线 I ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
解：设存在被点M 平分的弦AB ，且A(x 1, y 1)、B(x 2,y 2)故直线 AB: y 12(x 1)y 1 2(x 1) 由 2 y 2消去y ，得2x 2 4x 3 0x12 2(4)4 2 3 8 0评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。
由此题可看到中点弦问题 中判断点的M 位置非常重要。
(1)若中点M 在圆锥曲线内，则被点 M 平分的弦一般存在；(2)若 中点M 在圆锥曲线外，则被点 M 平分的弦可能不存在。
二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹2 2例3、已知椭圆 ——1的一条弦的斜率为 3，它与直线x75 25点M 的坐标。
x 2例1、过椭圆乞162y1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被 4 M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
M (2, 1)为AB 的中点X 1 X 2 4 y 1 y 2 2 又A 、 B 两点在椭圆上，则2 X14y2 .2 2 16，X24y 2两式相减得(才 X 22) 4( y.2 y 2) 0于是(x 1X 2)(X 1 X 2)4(y 1y 2)( y 1 y 2) 0 y 1y 2 X 1 X 241x-i x 24( y 1 y 2)4 22即k AB1，故所求直线的方程为y 11-(x 2)，即2216x 2y 4 0。
圆锥曲线中中点弦求斜率问题(共12张PPT)
2 5 ，即可求出面积 5
中点弦问题
（1）点差法求斜率及常用公式
x2 y 2 1 的焦点为 F1 , F2 ，过 F1 的直线交椭圆于点 M,N，交 y 轴于 例 2：如图，椭圆 2 a 4 点 H，若 F1 ，H 是线段的三等分点，则 F2 MN 的周长为_______.
解析：F2 MN 的周长等于 4 a ，直线 MN 斜率必定存在，设其为 k，则 MN : y k(x c) 可得 H(0, ck) ， F 1 H 中点坐标为 P ( ,
中点弦问题求斜率
老师姓名：
1
用点差法求斜率及常用公式
利用导数法求中点弦问题 典型例题解析
目 录
D I R E C TO RY
2 3
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中点弦问题
（1）点差法求斜率及常用公式
在圆锥曲线中涉及弦中点问题，如果涉及斜率，则常用点差法求斜率，关于点差法求斜率的方法，证 明过程如下： x2 y 2 例：直线 y km b 与椭圆 C : 2 2 1 交于A,B两点，M (x 0 , y0 ) 是弦AB的中点，求直线AB的斜率。
c ck ) 2 2
ck 所以 K op 2 k c 2
b2 根据中点弦结论可知 K MN .K op 2 a
则k
b bc 2bc , H (0, ) ，因为 H 是 F1N 的中点，可得 N(c, ) a a a
将 N 点代入椭圆方程中整理可得 a 2 5c 2 ，结合 b=2 解得 a 2 5 故 F2 MN 的周长为 4 5
a b
解析：设 A(x1 , y1 ), B(x 2 , y2 ) ，点 A,B 在椭圆上，所以
x12 y12 1 …………………………………….① a 2 b2 x 2 2 y2 2 1 …………………………………….② a 2 b2
圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线解题技巧和方法综合
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。
如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有0220=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；（2）求|||PF PF 1323+的最值。
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
人教高中数学 选修 2-1 第二章 2.3 椭圆与双曲线中点弦斜率公式及推广(含答案)
椭圆与双曲线中点弦斜率公式及其推论圆锥曲线中点弦问题是问题在高考中的一个常见的考点.其解题方法一般是利用点差法和韦达定理，设而不求.但一般来说解题过程是相当繁琐的.若能巧妙地利用下面的定理则可以方便快捷地解决问题.定理1(椭圆中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b+=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OMb k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a ⋅=-定理2(双曲线中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为双曲线22221x y a b-=弦AB（AB 不平行y 轴）的中点，则有22AB OMb k k a⋅= 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b ---=整理得：2221222212y y b x x a -=-，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a ⋅= 例1、已知椭圆22221x y a b-=，的一条弦所在的直线方程是30x y -+=，弦的中点坐标是2,1M -（），则椭圆的离心率是（ ） A 、12 B、、分析：本题中弦的斜率 1AB k =且12OMk =-，根据定理有2212b a =，即2222112a c e a -=-=，解得2e =，所以B 答案正确. 例2、过椭圆221164x y +=内的一点(2,1)M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在的直线方程.解：设弦所在的直线为AB ，根据椭圆中点弦的斜率公式知14AB OM k k ⋅=-，显然12OM k =，所以12AB k =-，故所求的直线方程为11(2)2y x -=--，即240x y +-=.例3、过椭圆2216436x y +=上的一点(8,0)P -作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程.解：设PQ 的中点为(,)M x y ，则OM yk x=，8PQ y k x =+，由椭圆中点弦的的斜率公式得9816y y x x ⋅=-+，即所求的轨迹方程为29(8)16y x x =-+ 例4、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线l 与x 轴交于0(,0)P x ，求证：22220a b a b x a a---<<. 证明：设AB 的中点为11(,)M x y ，由题设可知AB 与x 轴不垂直，10y ∴≠，由椭圆的中点弦斜率公式得:2121ABx b k a y =-⋅2121l a y k b x ∴=，所以直线l 的方程为：211121()a y y y x x b x -=-，令0y =解得21022a x x a b =-，1||x a <，2022a a x a a b ∴-<<-，即：22220a b a b x a a ---<<例5、已知双曲线2212y x -=，经过点(1,1)M 能否作一条直线l ，使l 交双曲线 于A 、B 两点且点M 是线段AB 的中点，若存在这样的直线l ，求出它的方程；若不存在，说明理由.解：若存在这样的直线l 的斜率为k ，则1OM k =，由双曲线中点弦的斜率公式知：2k =，此时l 的方程为：12(1)y x -=-，即21y x =-，将它代入双曲线方程2212y x -=并化简得：22430x x -+=，而该方程没有实数根.故这样的直线l 不存在.定理1推论：若A 、B 是椭圆22221x y a b+=上关于中心对称的两点，P 是椭圆上任一点，当PA 、PB 的斜率PA k 和PB k 都存在时，有22PA PBb k k a⋅=-.证明：如图：连结AB ，取PB 中点M ，连结OM ，则OM PA ，所以有OM PA k k =，由椭圆中点弦斜率公式得：22OM PBb k k a ⋅=-.所以22PA PB b k k a⋅=-.类似地可以证明定理2推论：若A 、B 是双曲线22221x y a b-=上关于中心对称的两点，P 是双曲线上的任一点，当PA 、PB 的斜率PA k 和PB k 都存在时，有22PA PBb k k a⋅=.。
_点差法_解决圆锥曲线的中点弦问题
中来。 如我在教学《分数的基本性质》时，是这样导入的：唐僧师 话。 然后又让学生亲自验证，但验证的结果是：想唱歌的学生抽
徒走到半路上，口渴了，孙悟空摘了一个西瓜回来，把它平分成 到了跳舞，想跳舞的学生反而抽到了讲故事。 通过这样一系列
四块，一人一块，八戒大喊道：“猴哥，分给我太少了，我不干！ ” 的活动， 让学生真正体验到在现实生活中存在着不确定的现
第一个音符就准确、悦耳、动听。 ”新课的导入就好比演奏家定 乐！ 师：我想让大家通过抽签表演节目的形式为尚利明同学过
弦，音调定准了，就为整个演奏奠定了基础。 一堂课如果一开头 一次有意义的生日，你愿意吗？ 这时孩子们兴奋极了，个个脸上
就讲得索然无味，如同嚼蜡，学生就难以提高兴趣。 所以一定要 乐开了花。 随后我往讲台桌上放了 4 个签，并向学生介绍：有唱
据 题 意 ，a2=（y1y2）2+（x1x2）2=（x1-x2）2=（x12-x22）2-（x1-x2）2
=（x1-x2）2[（x1+x2）2+1]=[（x1+x2）2-4x1x2]·[（x1+x2）2+1]
=[（2x0）2-4（2x02-y0）][（2x0）2+1]=4（y0+x02）（1+4x02），所 求 动
悟空又切了两刀，把西瓜平均分成八块，拿给八戒两块，八戒笑 象，随后导入新课。 选择学生熟悉的事物组织教学，学生积极性
着说：“这还差不多，能多吃一块。 ”讲完后我问学生：“八戒多吃 高，课堂气氛活跃，效果显而易见。
了吗？ ”有的学生说多吃了，有的说没有。 我便及时导入：“今天，
四、通过动手操作，激发学生兴趣
可迎刃而解了。
二、求弦中点的轨迹方程
圆锥曲线专题：中点弦及点差法的7种常见考法高二数学上学期同步讲与练(选择性必修第一册)(解析版)
圆锥曲线专题：中点弦及点差法的7种常见考法一、椭圆与双曲线的中点弦与点差法1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线l (不平行于y 轴)过椭圆12222=+by a x (0>>b a )上两点A 、B ，其中AB 中点为)(00y x P ，，则有22ab k k OPAB -=⋅。
证明：设)(11y x A ，、)(22y x B ，，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x by a x ，上式减下式得02222122221=-+-b y y a x x ，∴2222212221a b x x y y -=--，∴220021210021212121212122a b x y x x y y x y x x y y x x y y x x y y -=⋅--=⋅--=++⋅--，∴22a b k k OP AB -=⋅。
焦点在y 轴：直线l (存在斜率)过椭圆12222=+bx a y (0>>b a )上两点A 、B ，线段AB 中点为)(00y x P ，，则有22ba k k OPAB -=⋅。
3、双曲线的用点差法同理，可得220220()AB AB OP x b b k k k a y a=⋅⋅=二、抛物线的中点弦与点差法设直线与曲线的两个交点)(11y x A ，、)(22y x B ，，中点坐标为)(00y x P ，代入抛物线方程，2112=y px ，2222=y px ，将两式相减，可得()()()1212122-+=-y y y y p x x ，整理可得：12121202-===-+AB y y p pk x x y y y三、点差法在圆锥曲线中的结论AB AB M AB AB M AB AB AB AB b e x a y k k k x ab e b e x a y k k k x a y b e pk y pk y x k px k p222002222220222011-y 1111⎧-=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=⇔⎪⎪⎪⎪=-⇔⎪⎨⎪=⇔⎪⎪⎪=-⇔⎪⎩gg gg 焦点在轴椭圆：焦点在轴焦点在轴双曲线：焦点在轴开口向右开口向左抛物线：开口向上开口向下题型一中点弦所在直线的斜率与方程【例1】已知椭圆22195x y +=的弦被点()1,1平分，则这条弦所在的直线方程为______.【答案】59140x y +-=【解析】已知椭圆22195x y +=的弦被点()1,1平分，设这条弦的两个端点分别为()11,A x y 、()22,B x y ，则12121212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，由于点A 、B 均在椭圆22195x y +=上，则22112222195195x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212095x x y y --+=，可得2212221259y y x x -=--，即()()()()1212121259y y y y x x x x -+=--+，所以直线AB 的斜率为121259AB y y k x x -==--，因此，这条弦所在直线的方程为()5119y x -=--，即59140x y +-=.故答案为：59140x y +-=.【变式1-1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（）A．12B．14C．1D．4【答案】C【解析】由题意可得2c e a ==，整理可得a =．设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=两式相减可得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=．因为直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，所以121212y y x x +=-+，则直线l 的斜率21212212121(2)12y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯-=-+．故选：C 【变式1-2】已知双曲线22142x y -=被直线截得的弦AB ，弦的中点为M （4，2），则直线AB 的斜率为（）A．1D．2【答案】A【解析】设交点坐标分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则128x x +=，124y y +=，2211142x y -=，2222142x y -=两式相减可得22221212042x x y y ---=，即()()()()1212121242x x x x y y y y +-+-=，所以()()121212122248144AB x x y y k x x y y +-⨯====-+⨯，即直线AB 的斜率为1；故选：A．【变式1-3】过点(2,1)M 的直线交抛物线24y x =于,A B 两点，当点M 恰好为AB 的中点时，直线AB 的方程为（）A．250x y +-=B．210x y --=C．250x y +-=D．230x y --=【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，所以2211224,4y x y x ==，两式相减得，()()()1212124y y y y x x +-=-，因为点(2,1)M 为AB 的中点，所以122y y +=，所以12122y y x x --=，故直线AB 的斜率为2，所以直线AB 的方程为()122y x -=-，即230x y --=，联立22304x y y x--=⎧⎨=⎩，所以241690x x -+=，()2164490∆=--⨯⨯>，故斜率为2符合题意，因此直线AB 的方程为230x y --=，故选：D.【变式1-4】已知斜率为1k ()10k ≠的直线l 与椭圆2214yx +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则12k k ⋅=（）A．14-B．4-C．12-D．2-【答案】B【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,C x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=.因为A ，B 两点在椭圆上，所以221114y x +=，222214y x +=.两式相减得：()22222112104x y x y -+=-，()()()()11112222104x x y y x x y y +-+-+=，()()0122011202x y x y y x --+=，()()2102011202y y y x x x --+=，即121202k k +⋅=，解得124k k ⋅=-.故选：B【变式1-5】椭圆()222210x y a b a b +=>>离心率为3，直线20x y b -+=与椭圆交于P ，Q 两点，且PQ 中点为E ，O 为原点，则直线OE 的斜率是_______．【答案】43-【解析】因为椭圆()222210x y a b a b +=>>所以3c e a ==，所以2223b a =设()11,P x y ，()22,Q x y ，所以121212PQ y y k x x -==-，1212,22x x y y E ++⎛⎫⎪⎝⎭，因为P ，Q 在椭圆上，所以22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得22221212220x x y y a b --+=，即2221222212y y b x x a -=--，即()()()()1212121223y y y y x x x x -+-=-+，即23PQ OE k k ⋅=-，所以43OE k =-，故答案为：43-【变式1-6】已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（）A．43-B．43C．34-D．34【答案】C【解析】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=，两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y -+-+=-，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +-=-+-，134OD AB k k =-，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k =-=-，所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=-++=-，故选：C ．题型二求圆锥曲线的方程问题【例2】过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(2,0)F 的直线与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的坐标为95,77⎛⎫- ⎪⎝⎭，则C 的方程为（）A．22195x y +=B．2215x y +=C．22162x y +=D．221106x y +=【答案】A【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，则12x x ≠AB 的中点95,77M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以5071927AB MFk k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭===-，又2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--，即2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+，而12121ABy y k x x -==-，121252579927y y x x ⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭==-+⨯，所以2255199b a =⨯=，又2c =，所以22222254499c a b a a a =-=-==，所以2295a b ==，椭圆方程为：22195x y +=.故选：A.【变式2-1】已知双曲线E 的中心为原点，(30)F ，是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为(1215)N --，，求双曲线E 的方程.【答案】22145x y -=【解析】设双曲线的方程为22221x y a b-=(0a >，0b >)，由题意知3c =，229a b +=，设11()A x y ，、22()B x y ，则有：2211221x y a b -=，2222221x y a b -=，两式作差得：22121222121245y y x x b b x x a y y a-+=⋅=-+，又AB 的斜率是1501123--=--，∴2254b a =，代入229a b +=得，24a =，25b =，∴双曲线标准方程是22145x y -=.【变式2-2】已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，点()5-在双曲线C 上，椭圆E 的焦点与双曲线C 的焦点相同，斜率为12的直线与椭圆E 交于A 、B 两点．若线段AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（）A．2214536x y +=B．2213627x y +=C．2212718x y +=D．221189x y +=【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y m n m n-=>>，则223224251m mn =⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2245m n ⎧=⎨=⎩，故双曲线方程为22145x y -=，焦点为()3,0±；设椭圆方程为22221x y a b+=，则椭圆焦点为焦点为()3,0±，故22a b 9-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减得22221212220x x y y a b --+=，整理得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，即221121b a =-⋅-，解得222a b =，故2218,9a b ==，椭圆方程为221189x y +=.故选：D.【变式2-3】斜率为1的直线交抛物线()2:20C y px p =>于A ，B 两点，且弦AB 中点的纵坐标为2.求抛物线C 的标准方程；【答案】24y x=【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，12122,42y y y y +=+=，21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，两式相减并化简得1212122y y p x x y y -=-+，21,24pp ==，所以抛物线方程为24y x =.【变式2-4】设()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同的两点，线段AB 的垂直平分线为y x b =+，若1212x x +=-，则p =______.【答案】14【解析】由题知，2112x py =，2222x py =，两式相减得()()()1212122x x x x p y y -+=-，所以1212122AB y y x x k x x p-+==-，由题知1AB k =-，所以12122x x p +=-=-，所以14p =.故答案为：14.题型三求圆锥曲线的离心率问题【例3】过点()1,1M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)相交于A ､B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于（）A．22B．3C．12D．13【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=，121212AB y y k x x -==--，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -+-++=，所以1212222()2()0x x y y a b --+=，即21221212y y b a x x -=-=-，所以该椭圆的离心率2c e a ==【变式3-1】已知直线3y x m =-与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于P ，Q 两点，若PQ 中点的横坐标恰好为2m ，则椭圆C 的离心率为______.【答案】2【解析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，代入椭圆方程得2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式作差得22221212220x x y y a b --+=，整理得122122121222y y y y b x x x x a +-⋅=-+-，因为1222x x m +=，所以12123322y y x m x mm +-+-==-，又因为12121PQ y y k x x -==-，所以2212m b m a -⨯=-，所以2212b a =，所以ce a======2212c a=.故答案为：2.【变式3-2】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点M 为椭圆C上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为（）A．14B．12C．2D．4【答案】C【解析】由已知得(,0),(,0)A a B a -，设()00,x y ，由题设可得，2200221x y a b+=，所以()222202b y a x a=-.因为()222220200022222000014A MM B b a x y y y b a k k x a x a x a x a a -⋅=⋅===-=-+---，所以2214b a =，则22222222314c a b b e a a a -===-=，所以2e =.【变式3-3】已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>相交于B ，D 两点，且BD 的中点为()1,3M ，则C 的离心率是______．【答案】2【解析】设1122(,),(,)B x y D x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差可得：2222121222x x y a b y =--，即1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-+=，因为()1,3M 为BD 中点，所以12122,6x x y y +=+=，又直线BD 斜率为1，所以12121y y x x -=-，代入可得，223b a=，所以C的离心率2e ==.故答案为：2【变式3-4】已知直线l :30x y -+=与双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)交于A ,B两点,点()1,4P 是弦AB 的中点,则双曲线C 的离心率为()A．43B．2C．2【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y 点()1,4P 是弦AB 的中点根据中点坐标公式可得:12122,8x x y y +=⎧⎨+=⎩A ,B 两点在直线l :30x y -+=根据两点斜率公式可得:12121y y x x -=-,A B 两点在双曲线C 上∴22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∴222212122210x x y y a b ---=,即()()()()2221212122221212128142y y y y y y b a x x x x x x +--===⨯=-+-解得:2b a =∴c e a ===题型四弦中点的坐标问题【例4】已知直线:1l y x =+，椭圆22:13xC y +=．若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的坐标为（）A．13,44⎛⎫- ⎪⎝⎭B．31,44⎛⎫- ⎪⎝⎭C．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意知，22113y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2230x x +=，则9810∆=-=>，32A B x x +=-，所以A 、B 两点中点的横坐标为：13()24A B x x +=-，所以中点的纵坐标为：31144-=，即线段AB 的中点的坐标为31()44-，.故选：B【变式4-1】求直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标。
运用点差法解答圆锥曲线中点弦问题的步骤
思路探寻中点弦问题是指与圆锥曲线的弦的中点有关的问题.这类问题通常要求我们求弦的中点的坐标、弦所在直线的方程、圆锥曲线的方程，侧重于考查一元二次方程的根与系数的关系、线段中点的坐标公式、直线的斜率公式的应用，以及直线与圆锥曲线的位置关系.解答圆锥曲线中点弦问题，通常运用点差法.若直线与椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0）相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，且AB 的中点M (x 0,y 0)，运用点差法解答中点弦问题的步骤为：1.把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程，得：x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b2=1②；2.将①②两式作差，得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=1，即()x1-x 2()x 1+x 2a 2+()y1-y 2()y 1+y 2b 2=1，可得y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a 2(x 1+x 2y 1+y 2)=()-b 2a 2æèççççöø÷÷÷÷x 1+x 22y 1+y 22=()-b 2a2(x 0y 0)③；3.根据线段中点的坐标公式可得x 0=x 1+x 22，y 0=y 1+y 22，将其代入③得y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a 2()x 0y 0，即为直线AB 的斜率.类似地，对于焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2+x 2b2=1（a >b >0），运用点差法可得直线AB 的斜率k AB =()-a 2b 2()x 0y 0；对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2-y 2b2=1（a >0,b >0），由点差法可得直线AB 的斜率k AB =()b 2a 2()x 0y 0；焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2-x2b2=1（a >0,b >0），由点差法可得直线AB 的斜率k AB =()a 2b 2()x 0y 0.利用点差法，由弦AB 所在直线的斜率和圆锥曲线的方程，可以得到弦AB 中点的横坐标x 0与纵坐标y 0之间的关系式.例1.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为ìíîx =2cos θ,y =4sin θ,其中θ为参数，直线l 的参数方程为ìíîx =1+t cos θ,y =2+t sin θ,其中t 为参数.若曲线C 截直线l 所得线段的中点为（1，2），求直线l 的斜率.解：由ìíîïïïïx2=cos θ,y 4=sin θ,可得曲线C 的直角坐标方程是y 216+x 24=1，当直线l 的倾斜角θ≠π2时，由ìíîx -1=t cos θ,y -2=t sin θ,得y -2x -1=tan θ，则直线l 的直角坐标方程是y =x tan θ+2-tan θ.当直线l 的倾斜角θ=π2时，直线l 的斜率不存在，其方程是x =1，设直线l 与曲线C 相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，因为AB 的中点的坐标为（1，2），所以x 1+x 22=2，y 1+y 22=4，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程中，得x 1216+y 124=1①，x 2216+y 224=1②，将①②两式作差得x 12-x 2216+y 12-y 224=1，可得直线l 的斜率k AB=()-164()x 1+x 2y 1+y 2=()-164×()12=-2.运用点差法，由弦的中点坐标和曲线的方程，可以直接通过整体代换，快速求得弦所在直线的斜率，这样可以大大减少运算量.例2.已知双曲线x 2-y 22=1，那么过点P (1，1)能否45思路探寻作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB的中点.解：设直线l 与双曲线相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，因为AB 的中点的坐标为（1，1），所以x 1+x 22=2，y 1+y 22=2，把A 、B 两点的坐标代入双曲线的方程，得x 12+y 122=1①，x 22+y 222=1②，将①②两式作差得()x 12-x 22+y 12-y 222=1，可得k AB =2()x 1+x 2y 1+y 2=2.得直线l 的方程为y -1=2(x -1)，即y =2x -1.联立直线与双曲线的方程，得ìíîïïy =2x -1,x 2-y 22=1,消去y ，得2x 2-4x +3=0，所以△=16-24=-8<0，则方程无解.所以直线l ：y =2x -1与双曲线x 2-y 22=1相离，故不存在直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.本题涉及了双曲线的弦、中点，属于中点弦问题，需运用点差法求解.将直线与双曲线的两个交点的坐标分别代入双曲线的方程中，并作差，从而求得弦所在直线的斜率和方程.最后还需构造出一元二次方程，根据方程的判别式来判断直线与双曲线是否有两个交点，检验所求的直线方程是否满足题意.例3.已知椭圆x 22+y 2=1上的两点A 、B 关于直线y =mx +12对称，求实数m 的取值范围.解：设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程，得x 122+y 12=1①，x 222+y 22=1②，将①②两式作差得()x12-x 222+()y 12-y 22=1，可得-1m =()-12()x 1+x 2y 1+y 2.设弦AB 的中点M (x 0,y 0)，则y 0=mx 0+12③，可得-1m =(-12)(x 0y 0)④，由③④可得ìíîïïïïx 0=-1m,y 0=-12,即M (-1m ,-12)，因为弦AB 的中点M 必在椭圆内部，所以()-1m22+()-122<1,解得mm <由于A 、B 两点关于直线对称，所以A 、B 两点的中点在直线上.本题实质上是中点弦问题，需运用点差法求解.先将两点的坐标代入椭圆的方程中，并作差，即可求出直线的斜率；然后建立关于AB 中点坐标的方程组，求得中点的坐标；再将其代入椭圆的方程中，根据椭圆与点的位置关系，求得参数m 的取值范围.例4.已知直线AB 与椭圆x 2a 2+y 2b2=1交于A 、B 两点，B 与B '关于原点O 对称，证明：直线AB 与直线AB '的斜率之积为定值.证明：设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程中，得：x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b2=1②，将①②两式作差，得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=1，即y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a2(x 1+x 2y 1+y 2)，变形得y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)=-b 2a2，而直线AB 的斜率为k AB =y 1-y 2x 1-x 2，直线AB '的斜率为k AB '=y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)，所以k AB ⋅k AB '=y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)=-b 2a2.解答本题，需灵活运用点差法和直线的斜率公式，建立关于直线AB 和直线AB '的斜率的关系式，从而证明结论.运用点差法解题，只需通过简单的整体代换，即可求得直线的斜率、弦中点的坐标，这样可以有效地提升解题的效率.但是点差法的适用范围较窄，只适用于求解中点弦问题，且其中的x 1、x 2、y 1、y 2不一定是实数，有可能是虚数，因此在运用点差法解题时，还需检验所得的结果是否满足题意.（作者单位：陕西省宝鸡市岐山县蔡家坡高级中学）46。
求解两类中点弦问题的思路
圆锥曲线中的中点弦问题是指与圆锥曲线的弦和弦的中点有关的问题，主要有两种命题形式：一是求中点弦所在直线的方程；二是求中点弦中点的轨迹方程.圆锥曲线中的中点弦问题主要考查中点坐标公式、直线的斜率公式、直线的方程以及韦达定理.虽然圆锥曲线问题的综合性较强，运算量较大，但是同学们只要熟练掌握一些相应的技巧和解题思路，也能顺利破解难题.一、求中点弦所在直线的方程对求中点弦所在直线的方程问题，我们一般能根据已知条件求出圆锥曲线的方程、弦中点的坐标.求中点弦所在直线的方程的关键是求直线的斜率，求出了直线的斜率，便可利用直线的点斜式方程求得中点弦所在直线的方程.常用的方法有以下三种：1.利用韦达定理.首先设出中点弦所在直线的方程，然后将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去x 或y ，得到一元二次方程，利用韦达定理建立方程的根与系数之间的关系，结合弦中点的坐标，根据斜率公式求得直线的斜率和方程.2.点差法.先设出直线与圆锥曲线的交点坐标，然后分别将两点的坐标代入圆锥曲线的方程，并将两式相减，求出中点弦所在直线的斜率，结合直线的点斜式方程求得中点弦所在直线的方程.3.参数方程法.先引入相关参数，设出直线的参数方程，将其代入圆锥曲线方程，再结合弦中点的坐标建立关系式，最后消去参数便可得出所求直线的方程.例1.已知A ，B 两点是圆x 24+y 24=1与一条直线的两交点，且点M ()1,1是弦AB 的中点，求直线AB 的方程.解法一：利用韦达定理解：设直线AB 的方程为y -1=k ()x -1，由ìíîïïy -1=k ()x -1,x 24+y 24=1,可得()2k 2+1x 2-4()k 2-k x +2()k -12-4=0,设A ()x 1,y 1,B ()x 2,y 2，则x 1+x 2=2()k 2-k 2k 2+1,又点M ()1,1是直线AB 的中点坐标，所以x 1+x 22=2()k 2-k 2k 2+1=1，解得k =-12,所以直线AB 的方程为y -1=-12()x -1，即x +2y -3=0.我们将直线与圆的方程联立，通过消元得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理建立方程的根与系数的关系式，求得斜率，便能快速得到直线的方程.解法二：点差法解：设A ()x 1,y 1,B ()x 2,y 2，∵直线AB 的中点M ()1,1，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2，又∵A 、B 两点是圆上的点，∴ìíîx 21+2y 21=4,x 22+2y 22=4,将两式相减可得()x 21-x 22+2()y 21-y 22=0，∴y 1-y 2x 1-x 2=-x 1+x22()y 1+y 2=-12，即k AB =-12,∴直线AB 的方程为y -1=-12()x -1，即x +2y -3=0.设出弦的两个端点的坐标后，将其代入圆的方程，将两式相减，所得的式中就会含有三个未知量x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1-y2x 1-x 2，这样就直接建立了中点和直线的斜率之间的联系，利用中点公式即可求得到直线的斜率．解法三：参数方程法解：设{x =1+t cos α,y =1+t sin α,（t 为参数）将其代入圆的方程x 24+y 24=1中,可得()1+sin 2αt 2+2()cos α+2sin αt -1=0.∴t 1+t 2=-2()cos α+2sin α1+sin 2α,∵AB 的中点为M ()1，1，∴t 1+t 22=-cos α+2sin α1+sin 2α=0,化简可得cos α+2sin α=0,即sin αcos α=-12,将其代入()1+sin 2αt 2+2()cos α+2sin αt -1=0中并消去参数t ，可得直线AB 的方程为x +2y -3=0.参数方程法较为直接，将直线的参数方程代入圆求解两类中点弦问题的思路涂建芳43锥曲线方程中，通过恒等变换消去参数即可得到直线的方程.二、求中点弦中点的轨迹方程对求中点弦中点的轨迹方程问题，我们一般能根据已知条件求出圆锥曲线方程、直线的方程或斜率.要求中点弦中点的轨迹方程，需求出弦中点的坐标或者相关的表达式.常用的方法有两种：1.点差法.首先设出直线与曲线的交点的坐标，将其代入曲线的方程中并作差，再结合弦所在直线的方程或者斜率，求出中点坐标或者表达式，化简便可求出中点弦中点的轨迹方程.2.变换中心法.设出中点弦的中点，根据点的对称性（弦的两个端点关于中点对称）建立关于弦中点与斜率的关系式，化简求出中点弦中点的轨迹方程.例2.已知点P ()-6，0是双曲线x 236-y 29=1上的一点，过点P 的直线与椭圆相交于Q 点，求PQ 的中点的轨迹方程.解法一：点差法解：设点M ()x ,y 为弦PQ 的中点，且P ()x 1,y 1、Q ()x 2,y 2，∴ìíîx 21-4y 21=36,x 22-4y 22=36,将两式作差可得()x 21-x 22-4()y 21-y 22=0，∴2x ()x 1-x 2-4∙2y ()y 1-y 2=0,又∵x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ，∴y 1-y 2x 1-x 2=x4y,又∵k PQ=y -0x -()-6,∴x 4y =y x +6,∴PQ 的中点轨迹方程为x 2+6x -4y 2=0()x ≠-6.运用点差法解题的基本思路是，将点代入圆锥曲线方程中，将两式作差，建立x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1-y 2x 1-x 2三者之间的联系，代入两个已知式子的值，便可求出第三个式子的值.解法二：变换中心法解：设弦中点M ()x ,y ，Q ()x 1,y 1，∵x =x 1-62,y =y 12,∴x 1=2x +6,y 1=2y ,又Q 是双曲线上一点，∴x 2136-y 219=1,即4()x +3236-4y 29=1,∴PQ 中点M 的轨迹方程为()x +329-4y 29=1()x ≠-6,即x 2+6x -4y 2=0()x ≠-6.运用变换中心法解题的关键是利用点的对称性来建立关系式.解答圆锥曲线的中点弦问题的关键在于从“中点”入手，根据题目条件设出点的坐标、直线或曲线的方程，利用韦达定理、参数方程、点的对称性来解题.其中，运用点差法是解答中点弦问题的常规思路，也是最为简单且高效的方法.(作者单位:安徽省广德市实验中学)。
高中数学圆锥曲线系统讲解第13讲《椭圆、双曲线的两个斜率积结论》练习及答案
第13讲椭圆、双曲线的两个斜率积结论知识与方法1．椭圆的第三定义：如图1所示，设椭圆2222:1x yCa b+=()0a b>>的左、右顶点分别为A和B，点P为椭圆C上不与A、B重合的动点，则直线PA、PB的斜率之积22 21PA PB bk k ea⋅=−=−.推广：如图2所示，A、B为椭圆2222:1x yCa b+=()0a b>>上关于原点对称的任意两点，P为椭圆C上的动点且直线PA、PB的斜率均存在，则直线PA、PB的斜率之积22 21PA PB bk k ea⋅=−=−2．椭圆中点弦结论：如图3所示，设AB是椭圆2222:1x yCa b+=()0a b>>的任意一条不垂直于坐标轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则直线OM与直线AB的斜率之积22 21OM AB bk k ea⋅=−=−.3．双曲线的第三定义：如图4所示，设A、B分别为双曲线2222:1x yCa b−=()0,0a b>>的左、右顶点，P为双曲线上不同于A、B的任意一点，则直线PA、PB的斜率之积22 21PA PB bk k ea⋅==−推广：如图5所示，设A、B为双曲线2222:1x yCa b−=()0,0a b>>上关于原点O对称的任意两点，P为双曲线C上的动点，且PA、PB的斜率都存在，则直线PA、PB的斜率之积2221PA PBbk k ea⋅==−4．双曲线中点弦结论：如图6所示，设AB是双曲线2222:1x yCa b−=()0,0a b>>的不垂直于坐标轴且不过原点的弦，M为AB中点，则直线OM与直线AB的斜率之积22 21OM AB bk k ea⋅==−.提醒：若是焦点在y 轴上的椭圆或双曲线，则上述四个斜率积的结果都要取倒数.典型例题【例1】设椭圆22:12x C y +=的左、右顶点分别为A 和B ，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的任意一点，则直线PA 、PB 的斜率之积为______.【解析】由题意，()A，)B，设()00,P x y，0x ≠，则220012x y +=，所以22012x y =−，所以202022*******2PA PB x y k k x x −⋅====−−−.【答案】12−变式1 设椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的左、右顶点分别为A 和B ，点P 为椭圆C 上一点且直线PA 、PB 的斜率之积为12−，则椭圆C 的离心率为______. 【解析】由题意，2112PA PB k k e ⋅=−=−，所以椭圆C的离心率2e =.变式2 设A 为椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>上第一象限的一点，B 与A 关于原点对称，点P 在椭圆C 上且直线PA 、PB 的斜率之积为12−，则椭圆C 的离心率为______. 【解析】由题意，可设()11,A x y ，则()11,B x y −−，且2211221x y a b +=，所以()222222111221x b y b x a a a ⎛⎫=−=−− ⎪⎝⎭，设()22,P x y ，则2222221x y a b +=，所以()222222222221x b y b x a a a ⎛⎫=−=−− ⎪⎝⎭，从而()()22222221222222121212222221212121PA PBb b x a x a a a y y y y y y b k k x x x x x x x x a ⎡⎤−−−−−⎢⎥−+−⎣⎦⋅=⋅===−−+−−， 由题意，2212b a −=−，所以222a b =，从而22222a ac =−，故椭圆C的离心率2c e a ==.【答案】2【反思】上面的求解过程其实就是椭圆第三定义推广结论的推导过程，熟悉了这一结论，小题中可直接根据21PA PB k k e ⋅=−求得离心率.变式3 椭圆22:12x C y +=的左、右顶点分别为A 和B ，点P 在C 上，设直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，若112k ≤≤，则2k 的取值范围是______.【解析】由椭圆第三定义，1212k k =−，所以2112k k =−，111111*********k k k ≤≤⇒≤≤⇒−≤−≤−，故2k 的取值范围是11,24⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦. 【答案】11,24⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦【反思】看到椭圆左、右顶点与椭圆上另外一点的连线，想到椭圆第三定义的斜率积结论.变式4 已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的左、右顶点分别为A 、B ，若椭圆C 上存在不与A 、B 重合的点P ，使得120APB =∠︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是______.【解析】如图，不妨设P 在x 轴上方，120APB =∠︒，记PAB α∠=，PBA β∠=，则18060APB αβ+=︒−∠=︒，所以()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++==−从而)tan tan 1tan tan αβαβ+=−①，由椭圆第三定义，()2tan tan tan tan 1PA PB k k e απβαβ⋅=⋅−=−=−，所以2tan tan 1e αβ=−，代入①可得2tan tan αβ+=，显然α，β均为锐角， 所以tan 0α>，tan 0β>，2tan tan αβ=+≥= 当且仅当tan tan αβ=时取等号， 故42344e e ≥−，结合01e <<1e ≤<.【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【例2】不与坐标轴垂直且不过原点O 的直线l 与椭圆22:12x C y +=相交于A 、B 两点，M为AB 的中点，则直线OM 与直线l 的斜率之积为______.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：2222121202x x y y −+−=，整理得：1212121212y y y y x x x x +−⋅=−+−，所以直线OM 与直线l 的斜率之积为12−.【答案】12−【反思】上面的求解过程是用点差法推导中点弦结论，熟悉结论之后，小题中可直接根据21OM AB k k e ⋅=−求得结果.变式1 直线l 与椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>相交于A 、B 两点，O 为原点，M 为AB 的中点，若直线OM 与直线l 的斜率之积为12−，则椭圆C 的离心率为______.【解析】由中点弦结论，2112OM AB k k e e ⋅=−=−⇒=.变式2 已知直线l 与椭圆22:12x C y +=相交于A 、B 两点，若AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线l 的方程为______.【解析】由中点弦结论，12OM AB k k ⋅=−，又AB 的中点为11,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以12OM k =，故1AB k =−，显然M 在直线l 上，所以直线l 的方程为()112y x −=−−，化简得：2230x y +−= 【答案】2230x y +−=变式3 （2013·新课标Ⅰ卷）已知椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1−，则E 的方程为（ ）A.2214536x y += B .2213627x y += C.2212718x y += D.221189x y += 【解析】如图，设AB 中点为M ，由中点弦结论，22AB OM b k k a⋅=−，由题意，1OM k =−，由图可知，()011312AB MF k k −−===−，所以()22112b a ⨯−=−，整理得：222a b =又椭圆E 的右焦点为()3,0F ，所以229a b −=， 故218a =，29b =，从而椭圆E 的方程为221189x y +=【答案】D【反思】看到椭圆的弦中点，联想到中点弦斜率积结论22AB OMb k k a⋅=−【例3】设P 是左、右顶点分别为A 、B 的双曲线221x y −=上的一点，若直线PA 的倾斜角为23π，则直线PB 的倾斜角为（ ） A.6πB.34π C.56π D.1112π【解析】由题意，()1,0A −，()1,0B ，设()00,P x y ，则22001x y −=，所以22001y x =−，从而220000220000111111PA PBy y y x k k x x x x −⋅=⋅===+−−−， 直线PA的倾斜角为22tan 33PA k ππ⇒==所以13PB PA k k ==−，故直线PB 的倾斜角为56π. 【答案】C变式1 已知A 、B 、P 是双曲线22221x y a b−=()0,0a b >>上不同的三点，且A 、B 连线经过坐标原点，若直线PA 、PB 的斜率乘积为1，则该双曲线的离心率为______.【解析】由题意，可设()11,A x y ，()11,B x y −−，()22,P x y ，则2211221x y a b−=，所以()222222111221x b y b x a a a⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭，同理，()2222222b y x a a =−，从而()()()22222222222212121222b b b y y x a x a x x a a a−=−−−=−，故222212121222212121PA PBy y y y y y b k k x x x x x x a −+−⋅=⋅==−+−，由题意，1PA PB k k ⋅=，所以221b a =，故b a =，不妨设1a b ==，则c =变式2 （2015·新课标Ⅱ卷）已知A 、B 是双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）B.2【解析】解法1：设双曲线2222:1x y E a b−=()0,0a b >>，如图，不妨设P 在第一象限，过M作MN x ⊥轴于N ，由题意，120ABM =∠︒，2AB BM a ==， 所以18060MBN ABM ∠=︒−∠=︒，从而cos60BN BM a =⋅︒=，sin 60AB BM =⋅︒=，故M 点的坐标为()2a ，代入双曲线方程得：())222221a ab−=，化简得：22a b =，所以222a c a =−，故离心率ce a==. 解法2：设双曲线2222:1x y E a b−=()0,0a b >>，由题意，120ABM =∠︒，30BAM BMA ∠=∠=︒，18060MBN ABM ∠=︒−∠=︒所以直线AM 和直线BM 的斜率分别为3和，由双曲线第三定义，211MA MB k k e ⋅===−，所以离心率e =【答案】D【例4】过点()1,2M 作斜率为12的直线与双曲线2222:1x y C a b−=()0,0a b >>相交于A 、B 两点，若M 点恰为弦AB 的中点，则双曲线C 的离心率为______.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧−=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，两式作差得：22221212220x x y y a b −−−=， 整理得：2121221212y y y y b x x x x a +−⋅=+−，即22122OM AB b k k a ⋅=⨯=，所以22a b =，从而222a c a =−，故ce a==.变式1 已知双曲线22:122x y C −=，过点()1,2M 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若M恰好为AB 的中点，则直线l 的方程为______.【解析】设直线l 的斜率为k ，由中点弦结论，221OM b k k a⋅==，又点M 的坐标为()2,1，所以12OM k =，故2k =，显然直线l 过点M ，所以直线l 的方程为()122y x −=−，化简得：23y x =−【答案】23y x =−变式2 已知双曲线2222:1x y C a b−=()0,0a b >>的右焦点为()2,0F ，过点F 的直线交双曲线C 于A 、B 两点，若AB 中点为()1,3M −−，则双曲线C 的方程为______. 【解析】由中点弦结论，22303312OM ABb k k a−−⋅=⨯==−−，所以223b a =，又双曲线C 的右焦点为()2,0F ，所以224a b +=，从而21a =，23b =，故双曲线C 的方程为2213y x −= 【答案】2213y x −=强化训练1.（★★★）过点()1,1M −作斜率为13的直线与椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>相交于A 、B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为______.【解析】用中点弦结论，21113AB OM k k e ⋅=−⨯=−，所以椭圆C的离心率e =.2.（★★★）已知椭圆22:162x y C +=的左、右顶点分别为A 和B ，P 为椭圆C 上不与A 、B重合的一点，若直线PA 的斜率的取值范围是[]1,2，则直线PB 的斜率的取值范围是______.【解析】设PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，由椭圆第三定义，1213k k =−，所以2113k k =−，由题意，112k ≤≤，所以11112k ≤≤，故1111336k −≤−≤−，即直线PB 的斜率的取值范围是11,36⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦【答案】11,36⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦3.（★★★）已知双曲线2222:1x y C a b−=()0,0a b >>的离心率为2，A 、B 为双曲线C 的左、右顶点，P 为C 上不与A 、B 重合的一点，若直线PA 的斜率的取值范围是[]2,3，则直线PB 的斜率的取值范围是______.【解析】设PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，由双曲线第三定义，21213k k e =−=，所以213k k =， 由题意，123k ≤≤，所以13312k ≤≤，故直线PB 的斜率的取值范围是31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.（★★★）设P 是左、右顶点分别为A 、B 的双曲线2213y x −=上的一点，若直线PA 的斜率为1−，则直线PB 的斜率为______.【解析】由题意，1PA k =−，由双曲线第三定义，223PA PB b k k a ⋅==，所以33PB PAk k ==−.【答案】3−5.（★★★）设椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>上的A 和B 两点关于原点对称，点P 为椭圆C上一点且直线PA 、PB 的斜率之积为14−，则椭圆C 的离心率为______. 【解析】由椭圆第三定义的推广结论，2114PA PB k k e ⋅=−=−，所以椭圆C的离心率e =.6.（★★★）直线l 与椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>相交于A 、B 两点，O 为原点，M 为AB的中点，若直线OM 与直线l 的斜率之积为13−，则椭圆C 的离心率为______.【解析】由中点弦结论，21133OM AB k k e e ⋅=−=−⇒=.7.（★★★）已知双曲线22:13x C y −=，过点()3,1M 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若M 恰好为AB 的中点，则直线l 的方程为______.【解析】设直线l 的斜率为k ，由中点弦结论，2213OM b k k a ⋅==，又点M 的坐标为()3,1，所以13OM k =，故1k =，显然直线l 过点M ，所以直线l 的方程为13y x −=−，化简得：2y x =− 【答案】2y x =−8.（★★★★）已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的左、右顶点分别为A 、B ，P 是椭圆C 上的动点，直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，若12k k +的最小值为43，则椭圆C 的离心率为______.【解析】由椭圆第三定义，21210k k e =−<，所以12k k +≥==当且仅当12k k =时取等号，结合120k k <知此时12k k =−，P 为椭圆短轴端点，所以12k k +的最小值为43=，解得：3e =.【答案】39.（★★★★）已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的左右顶点分别为A 和B ，直线l 过点B且与x 轴垂直，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的动点，直线PA 与直线l 交于点M ，且OM PB ⊥，则椭圆C 的离心率为______.【解析】如图，不妨设P 在x 轴上方，设直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ， 由椭圆第三定义，2121k k e =−， 由图可知12tan 2tan 212OM MB MB MBk MOB MAB k OBAB AB =∠====∠=， 因为OM PB ⊥，所以21OM k k ⋅=−，从而1221k k =−，即()2211e −=−，解得：2e =.10.（★★★）已知椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点，若AB 中点M 的坐标为12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆E 的方程为______.【解析】易求得12OMk =，12AB MF k k ==−，由中点弦结论，22OM AB b k k a ⋅=−，所以2214b a −=−，故224a b =，又椭圆E 的右焦点为()3,0F ，所以229a b −=，从而212a =，23b =，故椭圆E 的方程为221123x y +=.【答案】221123x y += 11.（★★★★）如下图所示，1A 、2A 为椭圆22195x y +=的左右顶点，O 为坐标原点，S 、Q 、T 为椭圆上不同于1A 、2A 的三点，且1QA 、2QA 、OS 、OT 围成一个平行四边形OPQR ，则22OS OT +=（ ）A.5B.3C.9D.14【解析】解法1：125599QA QA OT OS k k k k ⋅=−⇒⋅=−，设直线OT 的斜率为k ，则OS 的斜率为59k −，联立225945y kx x y =⎧⎨+=⎩可求得224559x k =+，2224559k y k =+，所以()22245159k OT k +=+， 将k 替换成59k −整理可得：222812559k OS k +=+，从而()2222224518125145959k k OS OT k k +++=+=++.解法2（极限位置分析法）：让点Q 无限接近1A ，此时S 无限接近1A ，T 无限接近椭圆的上顶点，所以22OS OT +无限接近9514+=，故选D. 【答案】D12.（★★★★）如下图所示，直线l 交双曲线2222:1x y C a b−=()0,0a b >>的右支于M 、N 两点，交x 轴于点P ，M 在第一象限，N 在第四象限，O 为原点，直线MO 交双曲线C 的左支于点Q ，连接QN ，若60MPO ∠=︒，30MNQ ∠=︒，则双曲线C 的离心率为______.【解析】如图，过点Q 作x 轴的平行线交MN 于点T ，由题意，又60MPO ∠=︒，所以60MTQ ∠=︒，又30MNQ ∠=︒，所以30TQN ∠=︒， 从而直线MN 和直线NQ的斜率分别为3−， 显然M 、Q 关于原点对称，由双曲线第三定义的推广，21MN NQ k k e ⋅=−，所以2113e ⎛−=−= ⎝⎭，故双曲线C的离心率e =13.（★★★★）如下图所示，1A 、2A 分别是椭圆22162x y +=的上、下顶点，点P 是椭圆上不与1A 、2A 重合的动点，点Q 满足11QA PA ⊥，22QA PA ⊥，则12PA A 与12QA A 的面积之比1212PA A QA A S S=_______.【解析】解法1：设直线1PA 的斜率为()0k k ≠，由椭圆第三定义的推广结论，1213PA PA k k ⋅=−，所以213PA k k =−，因为11QA PA ⊥，22QA PA ⊥，所以11QA k k=−，23QA k k =，显然(1A，(20,A ，所以直线1AQ的方程为1y x k=−+，直线2A Q的方程为3y kx =， 联立直线1AQ 和2A Q的方程可解得：231x k =+，所以点Q的横坐标231Qx k =+， 直线1PA的方程为y kx =22162x y +=消去y 整理得：()22310k x ++=，解得：0x =或，所以点P的横坐标px =，由图可知12123PA A P QA A QSx Sx ===.解法2（特值法）：不妨取P 为椭圆右顶点，此时P、Q 的位置如图所示，易求得1OA =OP =11tan OP OA P OA∠=，从而160OA P ∠=︒，结合11QA PA ⊥可得130OAQ ∠=︒，故11tan 3OQ OA OAQ =⋅∠=，所以12123PA A QA A S OP SOQ==【答案】314.（★★★★）已知双曲线2222:1x y C a b −=()0,0a b >>的左、右顶点分别为A 、B ，圆()222:2D x y a a +−=与双曲线C 在第一象限的交点为P ，记直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，若212k k −=，则双曲线C 的离心率为______.【解析】如图，记PAB α∠=，PBA β∠=，则1tan k α=，()2tan tan k πββ=−=−， 由题意，(),0A a −，(),0B a ，()0,D a ，所以ABD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形， 容易验证A 、B 两点都在圆D 上，所以124APB ADB π∠=∠=，从而tan 1APB ∠=，另一方面，()()tan tan tan tan tan 1tan tan APB αβπαβαβαβ+∠=−−=−+=−−，所以tan tan 11tan tan αβαβ+−=−①由双曲线第三定义，2121k k e =−，所以()2tan tan 1e αβ⋅−=−，从而2tan tan 1e αβ=−，又212k k −=，所以tan tan 2βα−−=，故tan tan 2βα+=−，代入式①可得()22111e −−=−−，解得：e =15．（★★★★）已知斜率为13−的直线l 与椭圆22197x y +=相交于不同的两点A 、B ，M 为y 轴上一点，且MA MB =，则点M 的纵坐标的取值范围是______.【解析】如图，设AB 中点为()00,N x y ，由中点弦结论，001739y x −⋅=−，所以0073y x =①，因为N 为AB 中点，所以点N 在椭圆内部，从而2200197x y +<将式①代入可解得：0x < 因为M 在y 轴上，且MA MB =，所以点M 是AB 的中垂线与y 轴的交点， 易求得AB 的中垂线的方程为()003y y x x −=− 即0033y x y x =+−，从而点M 的纵坐标003M y y x =−，将式①代入可得023M y x =−，因为044x −<<，所以22M y −<<.【答案】22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭。
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①-②得：
x12 x22 a2
y12
y
2 2
b2
0
(x1 x2 )(x1 x2 ) a2 (y1 y2 )(y1 y2 ) b2
kAB
.
y0 x0
b2 a2
kAB.kOM
b2 a2
（1）点差法求斜率及常用公式
中点弦问题
这是一个标准的点差法求斜率的例题，不过需要注意最后的结论，因为方法过程简单但是繁琐，在小 题里面可以直接利用结论来求出相关的斜率，常用结论如下：
AB
中点为
M (x0 , y0 ) ，则 k.kOM
b2 a2
，焦点在 y 轴上时有 k.kOM
a2 b2
3、斜率为 k 的直线 l 交抛物线 y2 2 px 于 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 两点且 AB 中点为
M (x0 , y0 ) ，则 k.kOM
p x0
（1）点差法求斜率及常用公式
那么如果点A的位置不在椭圆内而在椭圆上的话，从上面可知点A依旧是两椭圆的对称点，此时两个椭圆的位置
关系相切，如上图右。所以再重复一遍上面的 直接给出椭圆的切线方程： C : x2 y2 1
点差法我们得到过点A的直线其实就是原椭圆的切线，过程略。
16 9
（2）利用导数法求解中点弦问题
中点弦问题
因此我们可以得到以下结论：椭圆 C : x2 16
y2 9
1 上点 A(x0 ,
y0 ) 处的切线方程为
x0 x y0 x 1 a2 b2
所以上面的结论可以直接用来写出椭圆的切线方程，当然先用导数求得斜率，再用
点斜式写出切线方程也可以，只不过没有上面的 结论简洁直接，但是这跟用导数法求
斜率有什么关系？我们继续以这个例题为例：
例：过点
A(2,1) 作一条直线
例：过点
A(2,1) 作一条直线
l
交椭圆 x2 16
y2 9
1于点 P1, P2
，若点
A
恰好是弦 P1P2 的中
点，求直线 l 的方程。
解析：设 P1(x1, y1) ，用中点坐标公式求得 P2 (4 x1, 2 y1) ，因此代入椭圆中有：
x12 y12 1………………………………………………………….① 16 9
圆锥曲线中中点弦求斜 率问题
2020/8/18
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DIRECTORY
1 用点差法求斜率及常用公式
目 2 利用导数法求中点弦问题 录
3 典型例题解析
（1）点差法求斜率及常用公式
中点弦问题
在圆锥曲线中涉及弦中点问题，如果涉及斜率，则常用点差法求斜率，关于点差法求斜率的方法，证
明过程如下：
例：直线
y km b
2
根据中点弦结论可知 KMN
. K op
b2 a2
则
k
b a
,
H
(0,
bc ) a
，因为
H
是
F1N
的中点，可得
N(c,
2bc ) a
将 N 点代入椭圆方程中整理可得 a2 5c2 ，结合 b=2 解得 a2 5
故 F2MN 的周长为 4 5
（2）利用导数法求解中点弦问题
中点弦问题
探究：在点差法中我们设了两个点，每个点中又有两个量，能不能减少未知量的个数，利用中点坐标公 式我们2 1…………………………………….……②
16
9
①-②化简得： x1 2 y1 1 0 ………………………….…③
8
9
（2）利用导数法求解中点弦问题
接下来用图像反映三个式子的位置关系：
中点弦问题
从图左中可以看出点A其实是两个椭圆的对称点，而过A点的直线则是两个椭圆的公共弦，两个椭圆式子相减得 到公共弦，这跟两个圆方程相减得到相交弦方程一样。
求导，代入点求得过点A的直线的斜率。
（2）利用导数法求解中点弦问题
中点弦问题
例 3：过椭圆 x2 y2 1内一点 M(2,1) 引一条弦，使弦被 M 点平分，求这条弦所在的 16 4
直线方程。
解析：利用导数，对椭圆 x2 y2 1进行求导，可得 2x 2 y y' 0
1、斜率为
k
的直线
l
交椭圆
x2 a2
y2 b2
1于 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 两点且
AB
的中点为
M (x0 , y0 ) ，则 k.kOM
b2
a2
，焦点在
y 轴上时有 k.kOM
a2
b2
2、斜率为
k
的直线
l
交双曲线
x2 a2
y2 b2
1于 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 两点且
与椭圆
C
:
x a
2 2
y2 b2
1
交于A,B两点，M (x0, y0 ) 是弦AB的中点，求直线AB的斜率。
解析：设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，点 A,B 在椭圆上，所以
x12 y12 1 …………………………………….① a2 b2
x22 a2
y
2 2
b2
1…………………………………….②
中点，根据中点弦公式可得 kAB.kOM
p xM
2 ，所以 kAB
2
又因为 M (2, 2) 在直线上，可得 m 2
所以直线方程为 y 2x 2
接下来按照常规思路解得 AB 2 15, d 2 5 ，即可求出面积 5
（1）点差法求斜率及常用公式
例
2：如图，椭圆
x2 a2
y2 4
1的焦点为 F1, F2 ，过 F1 的直线交椭圆于点
M,N，交 y
轴于
点 H，若 F1 ，H 是线段的三等分点，则 F2MN 的周长为_______.
中点弦问题
解析：F2MN 的周长等于 4a ，直线 MN 斜率必定存在，设其为 k，则 MN : y k(x c)
可得 H(0,ck)
， F1
H
中点坐标为
P(
c, 2
ck 2
)
ck
所以 Kop
2 c
k
中点弦问题
例 1：已知双曲线 x2 y2 1的右焦点是抛物线 y2 2 px(p 0) 的焦点，直线 y km b 3
与抛物线相交于 A,B 两个不同的点，点 M (2, 2) 是 AB 的中点，则 AOB 的面积是
（）
A.4 3
B.3 13
C. 14
D.2 3
解析：双曲线和抛物线共焦点可得 p=4，抛物线的方程为 y2 8x ，点 M (2, 2) 是 AB 的
l
交椭圆 x2 16
y2 9
1于点 P1, P2
，若点
A 恰好是弦 P1P2 的中
点，求直线 l 的方程。
很多学生问点A又不在椭圆上，为什么求导可以直 接代入点A呢，其实很简单，点A虽然不在椭圆上， 但是一定在把椭圆按比例缩小的椭圆上，此时对缩 小之后的椭圆进行求导可以发现不改变原椭圆方程 求导之后的结果，因此可以直接对原椭圆方程进行