华南师范大学考研数学分析试题汇总

2000年华南师范大学数学分析

一、填空题（3*10=30分） 1.设_______

lim _______,lim ,,2,1,4

sin

)1(===+-=∞

→∞

→n n n n n n a a n n a 则 π；

2.设处连续；在则为无理数

为有理数

____)(, , ,)(=∈⎩⎨⎧-=x x f R x x x x x x f

3._____;1lim

1

=+⎰

∞

→dx x

x

n

n

4._________;

)cos (sin lim 1

=+→x x x x

5.方程)(032为实常数c c x x =+-在区间[0,1]中至多有_________个根；

6._______;

__________

),1()

(1122

=>+=

++⎰n n n

n I I n n a x

dx

I 的递推公式，写出为自然数设7.设_;__________)(,)(),(cos sin 0

==

⎰

+du t f dt t f y x u y

x 是可微函数，则

8.),(y x f 设在P 0(2,0)处可微，且在P 0处指向P 1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P 0处指向P 2(1,2)的方向导数是_____________;

9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：____;____________________sin 2=x 10.曲线π20,sin ,cos 33≤≤==t t a y t a x 的弧长s=___________________.

二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，)(lim x f x +∞

→存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取得最大值或

最小值.

三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程)(2

22y

z yf z y x =++所确定，其中f 是可微函数，试证：

xz y

z xy

x

z z y x 22)

(2

2

2

=∂∂+∂∂--.

四、（12分）求极限：)22

21

1(

lim 2

2

2

n

n n n n n n n ++

++++

++∞

→ .

五、（12分）已知a,b 为实数，且1

b b a ln ln )1(1+>+）（.

六、(12分)计算曲面积分：.3

2dxdy z dzdx y xdydz I S

++=⎰⎰

其中S 是球面1

222=++z y x 的外侧.

七、(10分)设0)(≥x u n ,在[a,b]上连续，n=1,2,…,∑∞

=1

)(n n x u 在[a,b]上收敛于连续函数f(x),证

明：∑∞

=1

)(n n x u 在[a,b]上一致收敛于f(x).

一、(12分)求极限).)

12)(12(1

5

313

11(

lim +-+

+⋅+

⋅∞

→n n n

二、(12分)设{}.,11,11:),(2

dxdy x y y x y x D D

⎰⎰

-≤≤-≤≤-=求积分

三、(12分)证明∑

∞

=+1

3

3

1n x

n nx 在[a,b]上一致收敛(其中，0

并证明：函数S(x)=∑

∞

=+1

3

3

1n x

n nx 在(0,+∞)上连续.

四、(12分)求第二型曲线积分dy x dx y L

3

3

3

13

2+

-

⎰，

其中，12:2

2=+y x L ，取逆时针方向。

五、(12分)f(x)是(a,+∞)上的连续函数，求证：如果)(lim x f a

x +

→和)(lim x f x +∞

→都存在(有限)，

那么，f(x)在(a,+∞)上一致连续。问：逆命题是否成立？如成立，请证明之；否则，请举反例。

六、(15分)设dx y x f a

⎰

+∞),(关于],[d c y ∈一致收敛，而且，对于每个固定的],[d c y ∈，f(x,y)

关于x 在[a,+∞)上单调减少。求证：当+∞→x 时，函数xf(x,y)和f(x,y)关于],[d c y ∈一致地收敛于0.

1.(12分)设,,2,1,)11( =+=n n

a n

n 证明数列{}n a 严格单调增加且收敛。

2.(12分)求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0

,00

,1sin )(2

x x x

x x f 的导函数，并讨论导函数的连续性。

3.(12分)求幂级数n

n n

n x n

)2

1(]

)1(2[1

-

-+∑

∞

=的收敛半径和收敛域。

4.(12分)求函数⎩⎨

⎧<≤<≤-=ππx x x f 0 ,00 ,1)(的Fourier 级数，并由此求数列级数：

++-+++-1

21

)

1(5

13

11n n

的和。

5.(12分)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0

b a b f f ln ln ))(()(--'='ηξξ。

6.(15分))(0M B r 是以),,(0000z y x M =为心，r 为半径的球，)(0M B r ∂是以M 0为心，r 为半径的球面，f(x,y ,z)在R 3上连续，证明：

dS z y x f dxdydz z y x f dr

d M B M B r r ⎰⎰

⎰⎰⎰

∂=

)

()(00),,(),,(