函数极限的四则运算.ppt
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第五节 函数极限的四则运算
定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
注 此定理证明的基本原则：
小结:当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有
lim
x
a0 xm b0 x n
a1 x m1 b1 x n1
am bn
0ab,00当,当n n
m m,
,
,当n m,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分
子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
x 1 1
例5
求 lim x0
lim f ( x) A f ( x) A ( x)
定理(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数
推论1
如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
12
n
12 n
lim(
n
n
2
n2
n2
)
lim
n
n2
1
n(n 1)
lim 2
n
n2
1 lim (1 n 2
1) n
1. 2
由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求
极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时， 有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有 时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的 关系求极限。
f ( x0 ).
若Q(x0 ) 0, 则商的法则不能应用 .
例2
求
lim
x 1
x
2
4x 1 2x
3
.
解 lim( x 2 2x 3) 0, x1 又 lim(4x 1) 3 0, x1
商的法则不能用 1
3
由无穷小与无穷大的关系,得
解: 或
lim ( x x 1
)x x
lim ( x 1
1
1
)x
1 e
x
lim ( x )x lim (1 1 )x
x 1 x
x 1 x
lim[(1 1 )(1x) ]1 (1 1 )1
x 1 x
1 x
e1 1 e1
例8
求
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2 ).
解 n 时,是无穷小之和． 先变形再求极限.
小 结: 极限的四则运算法则及其推论; 极限的常用求法:
a.多项式与分式函数代入法求极限;
b. 0 型 有理分式, 消去零因子法求极限;
0
c. 0 型无理式,分子或分母有理化后求极限;
0
d.无穷小因子分出法求极限;
e.利用无穷小运算性质求极限;
f.利用两个重要极限的结论;
g. 利用左右极限求分段函数极限.
极限性质
定理(保序性) 设 lim f ( x) A, lim g( x) B.
x x0
x x0
若 0,x U 0( x0 ,),有f ( x) g( x),则A B.
定理(保号性) 若 lim f ( x) A,且A 0(或A 0), x x0
则 0,当x U 0( x0 ,)时, f ( x) 0(或f ( x) 0).
(消去零因子法)
例4
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
解 x 时, 分子,分母的极限都是无穷大.( 型 )
先用x 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限.
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
lim
x
2 7
3
x 4
x
5 x3 1 x3
2. 7
(无穷小因子分出法)
x
解 lim x 1 1
x0
x
lim x 11 x0 x( x 1 1)
lim 1 1 x0 x 1 1 2
例6
求 lim 1 cosx
x0 x
2sin2 x
解:
lim 1 cosx lim
x0
x
x0
2 x
lim
sin
x 2
s in
x
0
x0 x
2
2
例7
求 lim ( x )x x 1 x
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
x3 1 x2 3x 5
lim x 3 lim 1
x2
x2
lim( x 2 3x 5)
23 1 3
7. 3
x2
小结: 1. 设 f ( x) a0 x n a1 x n1 an ,则有
lim
x x0
f
(
x)
a0
(
lim
x x0
x)n
a1
(
lim
x x0
x)n1
an
a0 x0n
a1
x n1 0
an
f ( x0 ).
2. 设
f (x)
P( Q(
x x
) )
,
且Q(
x0
)
0,
则有
lim P( x)
lim f ( x) x x0
x x0
lim Q( x)
x x0
P(x0 ) Q( x0 )
推论
若 lim x x0
f
(x)
A,且
0,当x U 0( x0 ,)时,
f ( x) 0(或f ( x) 0),则A 0(或A 0).
求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
4x 1
lim
x1
x2
2x
3
.
例3
求
lim
x1
x
2
x2 1 2x
3
.
解 x 1时,分子,分母的极限都是零. ( 0 型 ) 0
先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
x2 1
( x 1)( x 1)
lim
x1
x2
2x
3
lim
x1
(x
3)( x
1)
lim x 1 1 . x1 x 3 2
定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
注 此定理证明的基本原则：
小结:当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有
lim
x
a0 xm b0 x n
a1 x m1 b1 x n1
am bn
0ab,00当,当n n
m m,
,
,当n m,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分
子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
x 1 1
例5
求 lim x0
lim f ( x) A f ( x) A ( x)
定理(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数
推论1
如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
12
n
12 n
lim(
n
n
2
n2
n2
)
lim
n
n2
1
n(n 1)
lim 2
n
n2
1 lim (1 n 2
1) n
1. 2
由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求
极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时， 有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有 时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的 关系求极限。
f ( x0 ).
若Q(x0 ) 0, 则商的法则不能应用 .
例2
求
lim
x 1
x
2
4x 1 2x
3
.
解 lim( x 2 2x 3) 0, x1 又 lim(4x 1) 3 0, x1
商的法则不能用 1
3
由无穷小与无穷大的关系,得
解: 或
lim ( x x 1
)x x
lim ( x 1
1
1
)x
1 e
x
lim ( x )x lim (1 1 )x
x 1 x
x 1 x
lim[(1 1 )(1x) ]1 (1 1 )1
x 1 x
1 x
e1 1 e1
例8
求
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2 ).
解 n 时,是无穷小之和． 先变形再求极限.
小 结: 极限的四则运算法则及其推论; 极限的常用求法:
a.多项式与分式函数代入法求极限;
b. 0 型 有理分式, 消去零因子法求极限;
0
c. 0 型无理式,分子或分母有理化后求极限;
0
d.无穷小因子分出法求极限;
e.利用无穷小运算性质求极限;
f.利用两个重要极限的结论;
g. 利用左右极限求分段函数极限.
极限性质
定理(保序性) 设 lim f ( x) A, lim g( x) B.
x x0
x x0
若 0,x U 0( x0 ,),有f ( x) g( x),则A B.
定理(保号性) 若 lim f ( x) A,且A 0(或A 0), x x0
则 0,当x U 0( x0 ,)时, f ( x) 0(或f ( x) 0).
(消去零因子法)
例4
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
解 x 时, 分子,分母的极限都是无穷大.( 型 )
先用x 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限.
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
lim
x
2 7
3
x 4
x
5 x3 1 x3
2. 7
(无穷小因子分出法)
x
解 lim x 1 1
x0
x
lim x 11 x0 x( x 1 1)
lim 1 1 x0 x 1 1 2
例6
求 lim 1 cosx
x0 x
2sin2 x
解:
lim 1 cosx lim
x0
x
x0
2 x
lim
sin
x 2
s in
x
0
x0 x
2
2
例7
求 lim ( x )x x 1 x
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
x3 1 x2 3x 5
lim x 3 lim 1
x2
x2
lim( x 2 3x 5)
23 1 3
7. 3
x2
小结: 1. 设 f ( x) a0 x n a1 x n1 an ,则有
lim
x x0
f
(
x)
a0
(
lim
x x0
x)n
a1
(
lim
x x0
x)n1
an
a0 x0n
a1
x n1 0
an
f ( x0 ).
2. 设
f (x)
P( Q(
x x
) )
,
且Q(
x0
)
0,
则有
lim P( x)
lim f ( x) x x0
x x0
lim Q( x)
x x0
P(x0 ) Q( x0 )
推论
若 lim x x0
f
(x)
A,且
0,当x U 0( x0 ,)时,
f ( x) 0(或f ( x) 0),则A 0(或A 0).
求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
4x 1
lim
x1
x2
2x
3
.
例3
求
lim
x1
x
2
x2 1 2x
3
.
解 x 1时,分子,分母的极限都是零. ( 0 型 ) 0
先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
x2 1
( x 1)( x 1)
lim
x1
x2
2x
3
lim
x1
(x
3)( x
1)
lim x 1 1 . x1 x 3 2