高阶微分方程求解
可降解的高阶微分方程
得新函数z( x)的(n 1)阶方程
f ( x, z, z, , z(n1) ) 0.
例 4 求方程 x2 yy ( y xy)2 的通解.
解
设
y
e zdx ,
代入原方程,得
z
2 x
z
1 x2
,
解其通解为
z
1 x
C1 x2
,
原方程通解为
y
e
(
1 x
C1 x2
)
dx
C1
C2 xe x .
,
y
C1 120
x5
C2 6
x3
C3 2
x2
C4 x
C5
,
原方程通解为 y d1 x5 d2 x3 d3 x2 d4 x d5
二、 y(n) f ( x, y(k) , , y(n1) )型
特点： 右端不显含自变量 x.
解法： 设 y p( y) 则 y dp dy p dP ,
3、 y 3
y
,
y
x0
1,
y
x
0
2.
三、试 求 y x 的 经 过 点 M (0 , 1) 且 在 此 点 与 直 线 y x 1相切的积分曲线 . 2
练习题答案
一、1、 y
xe x
3e x
C1 2
x
C2 x
C3；
2、 y ln cos( x C1 ) C2 ；
3、 y arcsin(C2e x ) C1 ；
dy dx dy
y P 2 d 2 P P(dP )2 , ,
dy 2
dy
代入原方程得到新函数 P( y)的(n 1)阶方程，
求得其解为 dy dx
高阶常系数齐次线性微分方程的解法
高阶常系数齐次线性微分方程的解法
高阶常系数齐次线性微分方程（HCCLDE）是一类常见的微分方程，由一个高次项和多个常系数组成。
它可以用来描述许多物理系统的运动规律，如波动方程，动力学系统，电磁学系统等。
因此，解决高阶常系数齐次线性微分方程是一件重要而又复杂的工作。
首先，为了解决HCCLDE，需要根据给定的方程确定一
个基本的解，可以使用求解基本解的常用方法，如解析法、拉普拉斯变换、Fourier级数展开等。
其次，要求出方程的通解，需要对基本解进行叠加，也就是找到该方程的特解，可以采用求解特解的常用方法，如换元法、拉普拉斯变换、Laplace变
换等。
最后，将基本解和特解叠加，就可以得到高阶常系数齐次线性微分方程的通解。
为了求解HCCLDE，必须了解其特性，并利用相应的数
学方法。
根据HCCLDE的特性，可以把HCCLDE的解分为基本解和特解，并通过叠加这两类解得到它的通解。
此外，可以利用常用的方法求解基本解和特解，例如解析法、拉普拉斯变换、Fourier级数展开、换元法、Laplace变换等。
总之，解决高阶常系数齐次线性微分方程是一项复杂的任务，需要结合相关知识和技术，并利用一些常用的数学方法来解决。
通过了解HCCLDE的特性，可以将它的解分为基本解
和特解，并将它们叠加，最终得到HCCLDE的通解。
高阶线性微分方程
x
为 y1 = e x，
y ′ = ue
x
+ u ′e x ，
= ( u ′′ + 2 u ′ + u ) e x ，
x x x
1 x 代入原方程得 ( u ′′ + 2 u ′ + u ) e 2 ( u + u ′) e + ue = e x 1 整理得 u ′′ = u ′ = ln x + c1， u = x ln x + c1 x + c 2 x
y2
≠ 常数，
则 Y = c1 y1 + c2 y 2是 (3)的通解
证明
2
二 解的结构
2
设y = c1 y1 + c2 y2， (3)得 代入
(3) d2 y dy + p(x) + q(x)y = 0 2 dx dx
d y dy d y1 dy1 + p( x) + q( x) y = c1[ 2 + p(x) + q(x) y1] + 2 dx dx dx dx
d2y dy 再由定理 3得非齐次方程 + p( x) + q( x) y = f ( x) 2 dx dx 通解 : y = Y + y1 = C1 x 2 + C 2 e x + 3
三常数变易法
1.基本步骤 1)求出方程
( 3) d2y dy + p( x) + q ( x) y = 0 2 dx dx
知函数及其各阶导函数 都是线性的。
高阶线性微分方程的解法
高阶线性微分方程的解法实变量复值函数——预备知识常系数线性方程的解法求变系数齐线性方程特解的幂级数法要存在注意极限 ,) sin (cos )(t i t e e t t i b b a b a ±=± , )(21 t i t i e e t b b b -+=. )(21 sin t i t i e e t b b b --=; )()(lim 00t z t z t t =®)()()(t i t t z y j +=; )(lim )(lim )(lim 000t i t t z t t t t t t y j ®®®+=连续，若在0)(t t z 实变量复值函数——预备知识导数定义：; )()(lim )()(0000000dtt d i dt t d t t t z t z dt t dz t z t t )(+)(=--=º¢®y j,)()()]()([2121dt t dz dt t dz t z t z ＋=+,)()](dt t dz c t cz =.)()()()()]()(212121dt t dz t z t z dt t dz t z t ××=×＋,t k t k e =,)(2121t k t k t k k e e e ×=+,)3( t k tk ke .)( )4( tk n t k n n e k e dt d =的性质)( b i a k t k +=.(4.2)中所有系数都是),,2,1( )(n i t a i L =)()()( t i t t z x y j +==是它的复值解，则.)2.4( )( )(的解都是方程和共轭复值函数t z t y 非齐线性微分方程有复值解)( )(][ t V i t U x L +=、及解中的和这里)( )()(),,2,1( )(t u t 、V t U n i t a i L =分别是方程和虚部的实部都是实值函数，则该解)()( t v t u 的实)(t z , ))(][t U x L =)(][t V x L =和的解.变换法. 求常系数齐线性方程通解的特征根法(4.19)0][1111 =++++º---x a dtdx a dt x d a dt x d x n n n n n n L .,,2为实常数n a L 由希望它有指数函数形式的解,t e x l =, 0)( )(][111=º++++º--t t n n n n t e F ea a a e L l l l l l l l L 数方程(4.20) 0)(111 =++++º--n n n n a a a F l l l l L . 这个方程称为(4.19)对应的特征根.特征方程,它的根称为特征根是单根的情形.个解有 (4.19)n 个彼此不相等的的是特征方程 (4.20) ,,,21 n n l l L ,,,, 21t t t n e e e l l l L 无关的，从而组成方程的基本解组. 这时，若的通解为均为实根，方程(4.19)),,2,1(n i L =; 2121tn t t n e c e c e c x l l l +++=L 复也一定是特征根，则( b a l b a l i i -=+=)，它们对应方程(4.19)的两个实值解.sin ,cos t e t e t t b b a a 特征根有重根的情形.111(4.19)(4.20) k k 的重根，则它对应的是特征方程设 l 线性无关的解;,,,,1111112t k t t t e t e t te e l l l l -L;,,, ,,,3232m m k k k L L 的重数依次为l l l 则当 , )( , ),,,2,1 21j i n k k k n j i m ¹¹=+++l l L L 还有解;,,,,2222212t k t t t e te t te e l l l l -L .,,,,12tk t t t m m m m m e t e t te e l l l l -L L L L L n 个解, 是线性无关的, 构成了(4.19)的基本解组.b a l b a l l i i k -=+=则重复根是某个特征根,我们将用以下的2k 个实值解来替代：,cos ,,cos ,cos ,cos 12t e tt e t t te t e t k t t t b b b b a a a a -L . sin ,,sin ,sin ,sin 12 t e t t e t t te t e tk t t t b b b b a a a a -L. 0 44的通解=-x dtx d ,014=-l ., , 1, 14321i i -==-==l l l l .sin, cos , , t t e e t t -了4 个线性无关的解，故通解为.sin cos 4321t c t c e c e c x t t +++=-. 012167223的通解=-+x dtdx dt x d 出特征方程, 01216723=+－－l l l,0)1(2222246=+=++l l l l l , 0)2)(3(2=--l l ，2, 3321===l l l .)(23231t t e t c c e c x ++=. 02 224466的通解=++dt x d dt x d dt x d ., ,0654321i i -======l l l l l l 通解为.sin )(cos )(654321t t c c t t c c t c c x ++++=＋(4.32) )(]1111t f x a dtdx a dt x d a dt x d n n n n n n =++++º---L 最广泛而常见的右端函数是,]sin )(cos )([)( t t B t t A e t f t b b a +=次的实系数多项式，最高是t t B t A )(),(代数方程(4.20)仍然称为(4.32)对应的特征，)( )()(1110 m m m m t t b t b t b t b e t A e t f ++++==--L a a 时，即0=b 1.是单根的根时它的重数是特征方程a l a (0)(=F 是待定常数，将上是特征根m B B B k ,,, );0 10L =t 的同次项系数来确定.,]sin )(cos )([~ t k e t t Q t t P t x a b b +=),( ;0)(t P F i 的根时它的重数 是特征方程=+l b a .次实系数待定多项式. 13322的通解+=--t x dtdx dt 应的特征方程是, 0)1)(3( 0322=+-=--l l l l 或有形如下式的特解时，方程(4.32)0有如下形式的特解,)(~ 110t m m m k e B t B t B t x a +++=-L,0 13)( =+=b ，对应一般形式中的t t f ，故特解形式为不是特征根，因此00==k a .~Bt A x +=,13332+º---t Bt A B 系数，得îíì=--=-,132, 33A B B 特解为 ; 1 , 31-==B , 31~t x -=原方程通解为.31231+-+=-t e c e c x t t 的通解是因此对应的齐线性方程.1,321-==l l .231t t e c e c x -+=. 32 2的通解t e x dtdt -=--对应一，这里特征方程，特征根同上 ,)( t e t f -=确定正是单根，所以而, 11 , 1 , 0=-=-==k a a b .~ t Ate x -=一步，其余略.. )5(332233的通解-=+++-t e x dtdx dt x d dt x d t 特征方程为,0)1(133323=+=+++l l l l 形正是这三重根，故特解三重根 1; 1321-=-===a l l l ,)(~3 t e Bt A t x -+=其余步骤略.. 2cos 44 2的通解＋t x dtdt =+一特征方程为,0)2(4422=+=++l l l ，对应一般形右端函数 t t f 2cos )( , 2 21=-==l l 而; 0)(, 1)( , 2 ,ºº=t B t A b ii 2=+b a .故特解形式为2sin 2cos ~t B t A x +=化简得2sin 82cos 8t A t B º-从而特解是 同类项系数，得. 81,0==B A , 2sin 81~t x =.2sin 81)(221t e t c c x t ++=-二因为右端函数)Re(2cos )(2it e t t f ==的结论，先求方程itex dt dx dt x d 22244 =+＋再取其实部，就是原方程的解.不是特征根，故对应的右端函数i e it 22=a ,~2it Ae x =，得方程并消去因子 it e 2 , 8 18iA iA -==或为. 2sin 812cos 88~2t t i e i x it +-=-=原方程的实特解为{}, 2sin 81~Re t x =. 2sin 81)(221t e t c c x t ++=-。
高阶线性微分方程
知 u 0, 取 u t t ,
得齐次方程的通解为
则 x2 te1t ,
x t C1 C2t e1t ;
17
情形3 有一对共轭复根 ( 0) 特征根为
o
x x
为物体自由振动的微分方程。
2
若受到铅直干扰力 F H sin pt ,
d2x dx 2 2 n k x h sin pt 2 为强迫振动的方程 dt 2 dt d uc duc Em 2 Lc 2 2 0 uc sin t dt dt LC 为串联电路的振荡方程
可以证明: 若方程(1)中的系数
(2)
P1 t , P2 t , Pn t
以及F t 均在区间 a, b 连续，则方程（1）存在惟一的满 足初始条件（2）的解 x t , t a, b .
4
二、 线性微分方程解的结构
x
n
t Pn t x t F t (3) t P1 t x n1 t Pn1 t x
得齐次方程的通解为
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x t C1e1t C2e2t ;
16
x a1x a2 x 0
情形2 有两个相等的实根
( 0)
a1 1 2 , 特征根为 一特解为 2 设另一特解为 x2 u t e1t ,
x1 e1t ,
，x2 代入原方程并化简， 将 x2 ，x2
可利用微分算子的线性性质证得。
问题： 以上解的线性组合是否是方程的通解？
6
高阶线性微分方程
c1 y1 c2 y2 (c1 2c2 ) y1不是通解
I 内的 定义 设 y1 , y2 ,, yn 为定义在区间
n 个函数．如果存在 n 个不全为零的常数， 使得当 x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k 2 y2 k n yn 0 ，
I 内线性相关．否 那么称这n 个函数在区间
例如 y y 0,
y1 cos x, y2 sin x,
y C1 cos x C 2 sin x .
y2 且 tan x 常数, y1
推广
yn ( x ) 是齐次方程 如果 y1 ( x )， y2 ( x )，
y ( n ) a1 ( x ) y ( n1) an1 ( x ) y an ( x ) y 0( 2)
P ( x ) y1 )u 0, 令v u, 即 y1 u (2 y1
则有 y1v ( 2 y1 P ( x ) y1 )v 0,
P ( x ) y1 )v 0 v 的一阶方程 y1v (2 y1 1 P ( x ) dx P ( x ) dx 1 解得 v 2 e dx , u 2e y1 y1
特解 y e x .
如果只能观察一个解: y1(x), 则
y2 y1 1 P ( x )dx e dx , 2 y1
令 y2 u( x ) y1 证明: 设y1是方程(1)的一个非零特解，
代入(1)式, 得
P ( x ) y1 )u ( y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 )u 0, y1 u (2 y1
则称线性无关
x 2x 例如 当x ( , )时， e x， e , e 线性无关
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
微分方程第四节高阶线性方程
高阶线性方程的未来研究方向
高效求解算法研究
针对高阶线性方程的特点，研究更为高效和稳定的数值求解算法，以提ห้องสมุดไป่ตู้计算效率和精 度。
多物理场耦合的高阶偏微分方程组研究
随着科学技术的不断发展，多物理场耦合的问题越来越受到关注，研究这类问题需要发 展高阶偏微分方程组的方法。
非线性高阶方程的研究
非线性高阶方程在自然界和工程领域中广泛存在，研究这类方程的解的性质和求解方法 具有重要意义。
微分方程第四节高 阶线性方程
目录
• 高阶线性方程的定义与性质 • 高阶线性方程的解法 • 高阶线性方程的应用 • 高阶线性方程的扩展与展望
01
CATALOGUE
高阶线性方程的定义与性质
高阶线性方程的一般形式
高阶线性方程的一般形式为：$y^{(n)}(x) + a_{n1}(x)y^{(n-1)}(x) + a_{n-2}(x)y^{(n-2)}(x) + ldots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = f(x)$，其中$n geq 2$，$a_i(x)$ 和$f(x)$是已知函数，$y(x)$是未知函数。
延迟高阶线性方程
这类方程在描述物理、工程和经 济等领域的问题时具有广泛应用 ，如描述人口增长、信号传输等 。
非齐次高阶线性方
程
这类方程在解决实际问题时经常 出现，如求解波动方程、热传导 方程等。
耦合高阶线性方程
组
这类方程组在描述多个相互作用 的物理量时出现，如弹性力学、 流体力学等。
高阶线性方程与其他数学领域的联系
积分因子法
总结词
通过引入积分因子将高阶线性方程转化为可求解的一阶 微分方程组。
(完整版)高阶微分方程的降阶和幂级数解法
§ 4.3高阶微分方程的降阶和幕级数解法教学目的本章主要讨论高阶微分方程的降阶以及二阶线性方程的幕级数解法教学要求会把高阶微分方程降阶以及会用幕级数解法解某些二阶线性方程 教学重点一些高阶阶微分方程的降阶类型的解法；幕级数解法 教学难点二阶线性方程幕级数解法教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
一般的高阶微分方程没有普遍的解法，通常是通过变代换把高阶方程的求解问题转化为较低阶方程来求解，因为一般来说求解低阶方程比求解高阶方程方便些 ，本节主要介绍一些可降阶的方程类型和求特解的幕级数解法 •一.可降阶的一些方程类型n 阶微分方程的一般形式F(t,x (k),x (k1), ,x (n)) 0 件 57)1•不包含未知函数 x,或更一般地，不包含未知函数及其直到k — 1(k 仝1 )阶导数的方程是：F (t,y ,，y (nk))(4.58)如果能求得(4.58)的通解y(g,C 2, ,C nk )即x (k) (t,C i , ,C n k )对上式经过k 次积分即方程(4.57)的通解x (t ,c i, ,c n)这里G,C 2, ,C n为任常数..54d x 1 d x 门44例1求方程dt t dt 的解d4x4 解:令dt y，则方程化为dy 1dt -这是一个一阶方程，其通解为Ct，即有吟ctdt4积分四次得原方程的通解x qt5c2t3 c3t2C4t2•不包含自变量t的方程其一般形式是：F(x,x1, ,x(n))(4.59)此时，用y x作为新的未知函数而把x作为新的自变量.因为dxdtd2xdt2d3xdt3dy dydt dxd(y%dxdtdx dyd(y乎)dxdxdtdxdty^)2 y2豊dx dx用数学归纳法易得x(k)可用1dx和n）来表达，将这些表达式代入（4.59）可得:d n磴)2y20, 即有新方程G(x,y，¥dxn 1 J) dx它比原来的方程（4.59）降低了一阶:d2x例2求方程xdt2/dx、2 门()°dt的解解令x y要取X 作为新的自变量，于是原方程化为xy# y02x从而可得dy yy 0及 dx x这两方程的全部解是y Gx再代入原来变量得到所以原方程的通解是Gtx c 2e3)已知各线性方程的非要特解，进行降阶 ①设x x i°正二阶齐线性方程的非要解 令x x°则x X i y x y i代入(4.69)得X 』［2x i p(t)x 』y ［花 p(t)X i q(t)x 』y °引入新的未知函数z y方程变为dz X i[zx i p(t)X i ]z 0dt是一阶线性方程解之得c p(t)dtz因而dx dyGx乎 P(t)签 q(t)x °(4.69)x i y2x 1 x 1 yx i y(2x iP (t)x i ］y °1 P (t)dtxx/G c —e dt]X 2这里c ic是任意常数。
高阶微分方程求解
* 将 y , ( y ) , ( y ) 代入原方程比较系数得 * *
1 1 a , b , 6 2
[(C0 C1 x C k 1 x k 1 ) cos x ( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]e x
若是k重共轭 复根 j
4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x )
二阶常系数非齐次线性方程
y c1 cos x c2 sin x x
例4 设 f (x) 具有连续的二阶导数试确定f (x) 使曲线积分
( 常数) 与路径无关 解 由曲线积分与路径无关的条件得
f ( x ) e x 2 f ( x ) f ( x )
即
x f ( x) 2 f ( x) f ( x) e
1 x f ( x ) (c1 c2 x )e e ( 1)2
x
例5
解
1 求解方程 y 2 y y ( x cos 2 x ). 2 2 r 4 0, 特征方程
特征根
r1, 2 2i ,
对应的齐方的通解为 Y C1 cos 2 x C2 sin 2 x .
(1) ( 2) 设 y x k e x [ Rm ( x ) cos x Rm ( x ) sin x ],
m maxl , n 其中 R ( x ), R ( x )是m次多项式，
(1) m ( 2) m
; 0 j不是特征方程的根时 k . 1 j是特征方程的单根时
常微分方程43高阶微分方程的降阶和幂级数解法
x' xky' xk' y x'' xky'' 2xk ' y' xk ''y
(4.70)
第三步: 令 c 1 0 ,c 2 = 1 得 与 x 1 线 性 无 关 一 个 解 :
第四步:
x2 x1 x112ep(t)dtdt,
(4.69)的通解为
xx1[c1c2 x 1 1 2ep(t)dtdt],
这 里 c1,c2是 任 常 数 .
(4.70)
( 不 失 一 般 性 , 可 设 x 0 0 )
常微分方程
定理10 若 方 程 ( 4 . 7 2 ) 中 系 数 p ( x ) 和 q ( x ) 都 可 展 成 x 的
幂 级 数 , 且 收 敛 区 间 为 x R ,则 方 程 (4 .7 2 )有 形 如
y= anxn,
(4.73)
且 z i (x x k i) ',i 1 ,2 , ,k 1 是 ( 4 .6 7 ) 的 k 1 个 线 性 无 关 的 解
事实上 由 x 1 ,x 2 ,,x k 1 为 ( 4 . 2 ) 的 解 及 以 上 变 换 知 ,
2019/11/11
z
( x xk
)'或常x微分方x程k
将这些表达式代入(4.59)可得:
F(x,y,ydy,y(dy)2y2d2y, )0 dx dx dx2
高阶线性微分方程
热传导与热辐射的综合问题
对于同时涉及热传导和热辐射的复杂问题，可以通过建立高阶线性微分方程组来描述物体内部的温度分 布和表面的辐射特性，进而分析物体的热平衡状态、热效率等问题。
05
高阶线性微分方程的数值 解法
对于难以找到解析解的非线性微 分方程，数值方法成为求解的主 要手段，如有限元法、有限差分 法等。
分数阶微分方程的研究动态
分数阶导数定义
研究者们对分数阶导数的定义进行了深入研究，提出了多种不同的定义方式，如Riemann-Liouville定 义、Caputo定义等。
分数阶微分方程的解析解
对于某些特定的分数阶微分方程，研究者们尝试寻找其解析解，并取得了一定的成果。
高阶线性微分方 程
目录
• 引言 • 高阶线性微分方程的基本理论 • 高阶线性微分方程的求解方法 • 高阶线性微分方程的应用举例 • 高阶线性微分方程的数值解法 • 高阶线性微分方程的前沿研究与
发展趋势
01
引言
背景与意义
微分方程的重要性
微分方程是数学的一个重要分支，广泛 应用于物理、工程、经济等领域。高阶 线性微分方程作为微分方程的一种特殊 类型，具有重要的理论和应用价值。
线性微分方程的解的性质
叠加原理
若y1和y2分别是线性微分方程的解， 则它们的线性组合c1y1 + c2y2（c1 和c2为任意常数）也是该方程的解。
齐次方程的解的性质
若y1和y2是齐次线性微分方程的解， 则它们的差y1 - y2也是该方程的解。
非齐次方程的解的性质
非齐次线性微分方程的通解可以表示 为对应齐次方程的通解加上一个特解。
高数 第三节 高阶微分方程
线性无关. 线性无关 则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关 例如， 在(−∞ , +∞ )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关 线性相关; 线性相关 又如， 必需全为 0 , 若在某区间 I 上 在任何区间 I 上都 线性无关 线性无关.
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则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
1 y1 = 2 ( y1 + y2) = eα x cos β x 1 y2 = 2i ( y1 − y2) = eα x sin β x
因此原方程的通解为
y = eα x (C cos β x +C2 sin β x) 1
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2
y
x =0
=1, y′
x =0
=3
代入方程得
(1+ x )p′ = 2xp
2
分离变量
2
积分得 ln p = ln(1+ x ) + ln C , 1 利用 y′
= 3, 得C = 3,于是有 y′ = 3(1+ x2 ) x =0 1
3
两端再积分得 y = x +3x +C2 利用 y
x =0
, =1, 得C2 =1 因此所求特解为
第三节 高阶微分方程
一、 y
(n)
第六章
= f (x) 型的微分方程
二、线性微分方程的解的结构 三、二阶常系数线性齐次微分方程
一、1、y(n) = f (x) 型的微分方程 、
令 z=y
(n−1)
,
因此
z = ∫ f (x)dx + C 1
ode45求解多元高阶微分方程组
ode45求解多元高阶微分方程组ODE45求解多元高阶微分方程组的文章随着人们对复杂现象的研究、深入探讨，高阶微分方程组的求解变得越来越重要。
ODE45是一种使用步长控制的方法，用于求解高阶微分方程组。
本文将介绍ODE45的一些基础知识、其求解微分方程组的过程以及应用。
一、ODE45的基本概念ODE45是一种常用的求解常微分方程数值解的算法。
它的名称来源于Matlab里面的函数名ode45，其中ode代表ordinary differential equation，45则表示算法采用了五阶精度和四阶精度两种情况来控制步长。
ODE45方法是一种单步迭代法，即每一步的求解只依赖于上一步的求解值。
它的核心思想是通过计算Taylor展开式中的前若干项来逼近真实解，并通过逐步调整步长使逼近的误差保持在允许的范围内。
ODE45具有精度高、计算速度较快等特点。
二、ODE45的求解微分方程组过程对于一个高阶微分方程组，ODE45方法将其转化为一个一阶微分方程组的形式:$$y^{'}(t)=f(t,y(t))$$其中，y(t)表示未知函数，y'(t)表示其一阶导数，f(t,y(t))表示已知函数。
对于一个n阶微分方程组，可以通过以下步骤转化为一阶微分方程组：1、令y1(t)=y(t)，y2(t)=y’(t)，···，yn(t)=y(n)(t)，其中y’(t)，y’’(t)分别表示y(t)的一阶和二阶导数，y(n)(t)表示y(t)的n阶导数。
2、将原微分方程组转换成一个n个未知函数的一阶微分方程组：$$y_1^{'}(t)=y_2(t)\\y_2^{'}(t)=y_3(t)\\\vdots\\y_{n-1}^{'}(t)=y_{n}(t)\\y_{n}^{'}(t)=f(t,y_1(t),y_2(t),...,y_{n}(t))$$以上将直接使用ODE45求解n元一阶微分方程组，一步步递推下去，直到求解出原微分方程组y(t)。
7.1—高阶线性微分方程(2) ...
tI
由(2 4)可知, x(t) 满足初值条件 x(t0 )=x(t0 )= =x（n-1) (t0 )=0 而x 0 也是满足上述初值条件的解,由解的存在唯一性定理可知
x(t) C1*x1 C2*x2 Cn*xn =0 即 x1(t), x2 (t) xn (t) 线性相关,则
tI
t I若W ( t )=0， x1(t), x2 (t) xn (t) 线性相关,矛盾！
得通解为 x t C 1e 1t C 2e 2t ;
情形2 特征方程有重根 1 2
得 通解为 x t (C 1 C 2t )e t ;
情形3 特征方程有共轭复根 1 i ; 2 i 则
x1 e1t e i t , x2 e2t e i t为方程的复基本解组 故 etcos t, etsin t为 方程实的基本解组
dv
V
ax22dv
V
y2 b2
dv
V
z c
2
2dv
解
因为 M
V
x2 a2
y2 b2
z2 c2
dv
V
x2 a2
d
v
V
y2 b2
dv
V
z c
2
2dv
而
V
x2 a 2 dv
a x2 a a2 dx Dx dydz
其中
Dx
dydz等于
椭圆
y2 b2
z2 c2
1
x2 a2
的面积
:
b
1
x2 a2
wt0 称为解组x1t , x2 t ,, xn t 在t0处的Wronski 行列式。
x(n)(t) P1(t)x(n1)(t) Pn1(t)x(t) Pn(t)x(t) 0 (4)
微分方程高阶方程降解 (2)
微分方程高阶方程降解引言在微积分学中，微分方程是研究变量之间关系的方程。
其中，高阶微分方程是指方程中的未知函数具有多个阶的导数。
解决高阶微分方程可以通过将其降解为一系列一阶微分方程来简化问题。
本文将介绍高阶微分方程的降解方法，并通过示例来说明具体的步骤和技巧。
高阶微分方程的降解方法1. 代换法代换法是将高阶微分方程中的未知函数进行变量代换，将高阶微分方程转化为一阶微分方程的方法。
代换法的基本思想是通过选择适当的变量代换，将高阶微分方程转化为一阶微分方程，从而解决问题。
例如，考虑一个二阶线性微分方程：y'' + p(x)y' + q(x)y = 0我们可以通过代换u = y'将其转化为一阶微分方程u' + p(x)u + q(x)y = 0，然后再通过一阶微分方程的解法求解。
2. 分解法分解法是将高阶微分方程进行分解，将其分解为一系列一阶微分方程的方法。
分解法的基本思想是将高阶微分方程拆分为一阶微分方程的线性组合，通过求解这些一阶微分方程来获得高阶微分方程的解。
例如，考虑一个三阶线性微分方程：y''' + p(x)y'' + q(x)y' + r(x)y = 0我们可以将其分解为三个一阶微分方程：y1 = yy2 = y'y3 = y''然后通过求解这些一阶微分方程来获得原方程的解。
3. 特解法特解法是将高阶微分方程转化为特殊的形式，通过求解这种特殊形式的微分方程来获得高阶微分方程的特解。
特解法的基本思想是通过观察高阶微分方程的形式，选择适合的特殊形式，然后将其代入方程，化简得到特解。
例如，考虑一个四阶线性微分方程：y'''' + p(x)y''' + q(x)y'' + r(x)y' + s(x)y = 0我们可以假设y = e^(mx)为特殊解形式，代入方程，解出m的值，然后将特解代入原方程，得到特解。
关于高阶微分方程的解法
关于高阶微分方程的解法
高阶微分方程是指次数大于等于2的微分方程，解法相对于一阶微分方程更为复杂。
一般来说，高阶微分方程的解法需要用到一些特殊的技巧和方法，以下是一些常见的解法：
1. 常系数齐次线性微分方程的解法：这类方程的特征方程是一
个关于未知函数的二次方程，通过求解特征方程的根可以得到方程的通解。
2. 非齐次线性微分方程的解法：这类方程需要先求解对应的齐
次线性微分方程的通解，然后再通过常数变易法来求解非齐次方程的特解，最终得到方程的通解。
3. 变量分离法：对于一些可化为变量分离形式的高阶微分方程，可以通过变量分离法来求解。
这类方程需要将变量分离后，再进行积分求解。
4. 幂级数法：对于一些特殊的高阶微分方程，可以通过幂级数
法来求解。
这种方法需要将未知函数表示为幂级数的形式，然后带入方程求解。
5. 特殊函数法：对于一些含有特殊函数的高阶微分方程，可以
通过特殊函数的性质和定义来求解。
例如，对于一些含有Bessel函
数的方程，可以通过Bessel函数的性质来求解。
总的来说，高阶微分方程的解法需要掌握一些特殊的技巧和方法，需要对微积分和常微分方程有比较扎实的掌握。
- 1 -。
可降阶的高阶微分方程
p( x) 1 p2
即
dp
1 p2 dx
积分得
1
dp p2
dx
9
即 arctan p x C 1 , 故这个方程的通解为
p tan( x C1 )
再将 y p( x)代入， 得
y tan( x C1 )
故原方程的通解为
y (tan( x C1 )dx
ln cos( x C1 ) C2
再积分, 得原方程的通解
y C1( 1 x2 )dx
C1
(
x
1 3
x3
)
C2
以条件 y x0
1， y x0
3
代入得
C1 3 ，
C2
1
故所求特解为 y x3 3x 1
18
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即
y
p
C y2
故这个方程的通解为
y3 C1 x C2
(C1
,
C
为任意常数)
2
14
内容小结
可降阶微分方程的解法
—— 降阶法
1. y(n) f ( x) 逐次积分
2. y f ( x, y)
令 y p( x), 则 y dp dx
3. y f ( y, y)
2020/6/11
令 y p( y),
xy y x 2 0 的通解.
解 由于方程中不显含未知函数 y ，是属于
型. 设 y p, 则 y p, 代入方程得
y f (x, y)
p 1 p x x
这是一个未知函数为 p 的一阶线性微分方程，由通解公
式(10.2.12)，得
7
p
e
1 x
dx
第十四讲(1) 高阶线性微分方程
的通解.
解 :特征方程为 r 2 3r 2 0
常 微 分 方 程
解得
r1 1, r2 2
则所求方程通解为 y C1e x C2e2 x
杨建新
高阶线性微分方程
6 解:
求
2 y y y 2e x
2
的通解 .
常 微 分 方 程
特征方程为 2r r 1 0, 特征根为 1 r1 1, r2 齐次方程的通解: y C1e x C2e x /2 2 f ( x) 2e x , p( x) 2 是零次多项式 ，
x
代入 f "( x) f ( x) 2e
x
x f ( x ) e c 0 得 ,于是
杨建新
高阶线性微分方程
(2)
由于 y f ( x ) f (t )dt e
2 2 0 x2
x
x2
x
0
e dt
t 2
则 y ' 2 xe
常 微 分 方 程
x
0
e dt 1
再由
f '( x) f ( x) 2e x 得 2C1e x C2 1, C2 0. 故
f ( x) e x
杨建新
高阶线性微分方程
3
解方程
y 6 y 9 y 0
解 : 特征方程
r 6r 9 0 解得
2
r1 r2 3
9
已知函数 f ( x) 满足方程 f "( x) f ( x) 2e x ,
f "( x) f '( x) 2 f ( x) 0.
(1)求 f ( x) 的表达式;
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[ex 2xf ( x) f ( x)]ydx f ( x)dy L
( 常数) 与路径无关
解 由曲线积分与路径无关的条件得 f ( x) ex 2 f ( x) f ( x)
即 f ( x) 2 f ( x) f ( x) ex
这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程
齐通解 y (c1 c2 x)ex
1时 y* 1 x2ex 2
f
(x)
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y 0 特征方程为 r n P1r n1 Pn1r Pn 0
特征方程的根 通解中的对应项
若是k重根r
(C0 C1 x Ck1 xk1 )erx
若是k重共轭 复根 j
[(C0 C1x Ck1xk1)cosx (D0 D1x Dk1xk1 )sinx]ex
a 1, b 1,
6
2
原方程的一个特解为 y* x3 e x x2 e x , 62
故原方程的通解为
y
(C1
C2 x)e x
x3 6
ex
x2 2
ex.
y(1) 1,
(C1
C2
1 )e 3
1,
y
[
(C1
C2)
(C2
1)x
x3 ]e x , 6
y(1) 1,
(C1
2C2
5)e 6
特点 不显含自变量 x. 解法 令 y P( x), y P dp ,
dy 代入原方程, 得 P dp f ( y, P).
dy
2、线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y 0
(1)
若y1 , y2是解,则y c1 y1 c2 y2也是解 若y1, y2是两无关解,则y c1 y1 c2 y2是通解
dP 1 P 2
P
,
dy 2 y
解得， 1 P2 C1 y,
P C1 y 1,
即 dy dx
C1 y 1,
故方程的通解为 2 C1
C1 y 1 x C2.
例2 求特解 y 2 y y xex e x , y(1) y(1) 1.
解 特征方程 r 2 2r 1 0, 特征根 r1 r2 1,
1,
由
C1
C2
1 e
1, 3
解得
C1
2C2
1 e
5, 6
C1
2 e
1 6
,
C
2
1 2
1, e
所以原方程满足初始条件的特解为
y [2 1 (1 1)x]e x x3 e x x2 e x .
e6 2e
62
例3 设二阶非齐次线性方程的三个特解为
y1 x, y2 x sin x, y3 x cos x 求其通解
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y f ( x)
(2)
非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解
非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解
若f ( x) f1( x) f2( x)则y y1 y2
若y y1 jy2是f ( x) f1( x) jf2( x)的特解 则y1, y2分别是f1( x), f2( x)的特解
y py qy 0
特征方程为 r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
设
y
x
k
e
x
[
R(1) m
(
x
)
cos
x
R(2 m
)
(
x
)
sin
x
],
其中
R(1) m
(
x),
R(2) m
(
x)是m次多项式，m
maxl
,
n
0 j不是特征方程的根时;
k 1
j是特征方程的单根时.
二、典型例题
例1 求通解 y 1 y2 . 2y
解 方程不显含 x .
令 y P, y P dP , 代入方程，得 dy
对应的齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x)e x .
设原方程的特解为 y* x2(ax b)e x ,
则 ( y* ) [ax3 (3a b)x2 2bx]e x , ( y* ) [ax3 (6a b)x2 (6a 4b)x 2b]e x ,
将 y* , ( y* ), ( y* ) 代入原方程比较系数得
Байду номын сангаас
3、二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y f ( x)
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0 二阶常系数齐次线性方程 y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程 解法 待定系数法.
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型
0 不是根 设 y xkexQm ( x) , k 1 是单根 ,
2 是重根
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
高阶微分方程 习题课
一、主要内容
高阶方程
可降阶方程
线性方程解的结构
待 定 系 数
二阶常系数线性 方程解的结构
特 征 根
法
法
f(x)的形式及其 特解形式
特征方程的根 及其对应项
微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
高阶方程
作变换
分离变量法
非非
全微分方程
变全 量微
积分因子 可 分
常数变易法
分方
离程
特征方程法
幂级数解法 待定系数法
1、可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y(n) f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解．
(2) y f ( x, y) 型
特点 不显含未知函数 y. 解法 令 y P( x), y P, 代入原方程, 得 P f ( x, P( x)).
(3) y f ( y, y) 型
解 由解的结构知非齐方程的任二解之差是 相应齐方程的解
故 y2 y1 sin x y3 y1 cos x
是齐方程的两个解 且线性无关
齐通解 Y c1 cos x c2 sin x
非齐通解 y c1 cos x c2 sin x x
例4 设 f (x) 具有连续的二阶导数试确定f (x)