浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值

浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值

99数学本四班 莫少勇 指导教师 孙丽英

摘 要 本文从菲波那契数列出发，通过探究其数学内涵和它在实际生活中的应用，提高学生对数学的欣赏能力，初步建立数学建模的思想，从而提高用数学知识分析实际问题的能力。

关键词 Fibonacci 数列 黄金数 优选法

数学美不仅有形式的和谐美，而且有内容的严谨美；不仅有语言的简明、精巧美，而且有公式、定理的结构整体美；不仅有逻辑、抽象美，而且有创造应用美。古希腊的毕达哥拉斯学派，首先从数的比例中求出美的形式，发现了黄金数。神奇的菲波纳契数列正是黄金数之后的一大发现，它又被誉为“黄金数列”。

一． F ibonacci 数列的由来

Fibonacci 数列的提出，当时是和兔子的繁殖问题有关的，它是一个很重要的数学模型。这个问题是：有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔，而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后亦每月生产小兔一对，假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对？

对于n=1，2，……，令F n 表示第n 个月开始时兔子的总对数，B n 、A n 分别是未成年和成年的兔子（简称小兔和大兔）的对数,则F n = A n +B n

根据题设，有 显然，F 1=1，F 2=1，而且从第三个月开始，每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和，于是按此规律我们得到一个带有初值的递推关系式：

⎩⎨

⎧==∈≥+=1

F 1,F Z)n 3,(n F F F 212-n 1-n n

若我们规定F 0=1，则上式可变为

⎩⎨

⎧==∈≥+=1

F 1,F

Z)n 2,(n F F F 102-n 1-n n 这就是Fibonacci 数列的通常定义，也就是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……，这串数列的特点是：其中任一个数都是前两数之和。

这个兔子问题是意大利数学家梁拿多（Leomardo ）在他所著的《算盘全集》中提出的，而梁拿多又名菲波纳契（Fibonacci ），所以这个数列称作菲波纳契数列，其中每一项称作Fibonacci 数。

它的通项是F n =

5

1[(251+)n+1-(251-)n+1

]，由法国数学家比内（Binet ）求出的。

二．Fibonacci 数列的内涵

（1）Fibonacci 数列的通项的证明我们可以通过求解常系数线性齐次递推关系或者利用生成函数法来实现。 证法一：

∵菲波纳契数列是一个2阶的线性齐次递推关系，它的递推方程是x 2-x-1=0，

特征根是

2

5

1± ∴通解是F n =C 1(

251+)n +C 2(2

51-)n

代入初值来确定C 1、C 2，得方程组

⎪

⎩⎪

⎨⎧=-++=+125

12

511

2121C C C C 解这个方程组得 C 1=

51251+, C 2=5

1-251- ∴原递推关系的解是 F n =

5

1[(251+)n+1-(251-)n+1]

证法二：

设F n 的生成函数为 F(x) ，则有

F(x)=F 0+F 1x+F 2x 2+……+F n x n +……

x(F(x)-F 0)= F 1x 2+F 2x 3+…F n-1x n +……

x 2F(x)= F 0x 2+F 1x 3+……

把以上式子的两边由上而下作差得

F(x)(1-x-x 2)+x=F 0+F 1x+(F 2-F 1-F 0)x 2+(F 3-F 2-F 1)x 3+…… =1+x+0+0+……

∴F(x)=

2

11

x x --=

)2511)(2511(1

x x --+-=

x A

2511+-+

x

B

2

511--

由⎪⎩

⎪

⎨⎧=++-=+0)25

1()251(

1

B A B A 解得A=5251+，B=5215- ∴F(x)=525

1+k k k x )251(0∑∞

=+-5215-k

k k x )251(0

∑∞=- ∴取x=1,k=n ，则F n =

5

1[(251+)n+1-(251-)n+1

]

（2）在Fibonacci 数列中，前后两项的比值

1

+n n

F F 是以黄金数0.618为极限的。 记b n=

1+n n F F ，则有b 0=10F F =1 b 1=21F F =2

1

b 2=

32F F =32b 3=43F F =53

b 4=

54F F =8

5b 5=65F F =138

………… b n =

1

111-+

n b

在求数列{}n b 的极限之前我们首先来证明以下两个命题：

（i ）引理：Fibonacci 数列的任意相邻四项满足 F n-2F n+1-F n F n-1=(-1)n ， n ≥3

证明：根据行列式与线性方程组的关系，

方程组⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-=+++=-+

++11

)251(251)251(251n n y x y x 的解是 x=

25

11

2511

25

1)251(251)2

51(11+-++--++n n =51[(251+)n -(251-)n ]=F

n-1

y=2

511

25

11

)

251(1)2

51(

111

+-+-++n n =51[(251+)n+1-(251-)n+1]=F n