向量在中学数学中的应用

向量在中学数学中的应用

1、向量与图形

运用向量解决、研究图形问题，一般情况下，有两种途径：一是选择适当的基底，其它有向线段用基底线性表示，然后通过向量的运算求解；二是建立适当的坐标系，运用向量或点的坐标运算求解。究竟用哪一种方法，可视具体问题而定。下面举例说明之。

例1 已知P 、Q 过△OAB 的重心G ，OP :OA=m ，OQ :OB=n, 求证： 1m +1n =3。 分析 这是涉及到比例的问题，运用向量的加法、数乘运算即可。 图7-23中有众多的线段，不妨以不共线的向量→OA

、→OB 为基底，其它有向线段用基底线性表示。

设 →OA

=a ，→OB =b ， 则 →OD =12( a +b ), →OG =13( a +b )，→OP

=m →OA ,→OQ =n →OB 。 →PG =→OG -→OP =(13-m) a +13

b , →PQ

=→OQ -→OP = n b –m a 。 ∵P 、Q 、G 共线，

∴存在λ，使→PG

=λ→PQ ，

即(13-m) a +13

b =λ（n b –m a ）。 整理，得(13-m+λm)a +（13

–λn ）b =0，

于是，13

-m+λm=0， 13

–λn=0， 消去λ，得1m +1n

=3。 例2 已知△ABC 中，AM :AB=1:3，AN :AC=1:4,，BN 与CN 交于点E ，AB=m ，AC=n, ∠BAC=60°，求AE 之长.

解 问题涉及到比例，长度与距离，因此必须运用向量的三种运算求解。

选择 →AB =a ， →AC =b 为基底，则→NB = a －14b , →CM =13

a －

b 。 因N 、E 、B 共线, C 、E 、M 共线，故存在实数λ,μ，使

→NE =λ→NB =λ(a -14b ), →CE =μ→CM =μ(13a -b )。

∵→NC

+→CE +→EN =0 ， ∴34b +μ(13a -b )- λ( a -14b )=0 ， (34－μ+14λ)b + (13

μ－λ)a =0 。

∵a ,b 不共线，

∴{34--μ+14λ=0 13

μ-λ=0 解得λ=311，μ=911 。 ∴→AE =→AN +→NE =14b +311(a -14b )= 311 a + 311

b |→AE |=111(3a +2b )2 =111

9m 2+4n 2+6mn 。 例3 在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 中点，求证：

平面AED ⊥平面A 1FD 1。

证 欲证明两个平面垂直，只须证明这两个平面的法向

量相互垂直即可。

由于ABCD- A 1B 1C 1D 1是个正方体，故可建立坐标系，

应用向量坐标的运算来解决。

以A 为原点，分别以→AB 、→AD 、→AA 1

所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图7-25），则D(0,1,0)、E(1,

0,12) 、F(12

,1,0) 、A 1(0,0,1)、D 1(0,0,1)，于是→AD =(0,1,0), →AE =(1, 0,12), →A 1D 1

=(0,1,0), →D 1F =(12,1,0) 。 设平面ADE 的法向量为n 1=(x,y,z)，而→AD 、→AE 在平面ADE 内，所以有n 1⊥→AD , n 1

⊥→AE

， 求得y=0，x=-12

z, 所以平面ADE 的一个法向量为 n 1= (－12

,0,1) 。 同理，求得平面A 1F 1D 1的一个法向量n 2= (—1, 0,—12

) 。 ∵n 1 . n 2=0, ∴n 1⊥ n 2。

平面ADE ⊥平面AFD 1。

例4 在正四面体ABCD 中，E 、M 分别是AB ，

AC 的中点，N 为面BDC 的中心（图7-26），求DE ，

MN 之间的夹角。

解 令→DA =a , →DB =b , →DC =c ，则→DE =12(a+b )， →NM =→ND +→DC +→CM =—13(b+c ) +c +12

(a —c ) =-13b + 16c +12

∵|→DE |=3 2|→NM |=12

， →DE .→NM =12(-13b + 16c +12a ).( a+b )= 524

， ∴cos<→DE ,→NM >=→DE →NM |→DE

||→NM | =53 18。 从上述例子可以看出，运用向量求直线与直线，直线与平面或两个平面的夹角，基本途

径相同，寻找能表示两个元素方向的向量a 、b ，然后利用公式cos=a ·b |a||b|

。 例5 已知正四棱锥S —ABCD 两相对侧面SAD 和SBC 相互垂直，求两相邻侧面SAB

和SBC 所成二面角的大小。（图7-27）

解 求平面夹角的问题可以转化为求平面的法向量的夹角问题。

以底面ABCD 中心O 为坐标原点，建立如图所示的坐标系Oxyz ，Ox//AD ，Oy//AB 。

设底面边长为2a ，高为h ，则→DA

=(2a ,0,0), →AS =(-a ,a ,h)

设平面SAD 的一个法向量为n 1=(x,y,z)，则由n 1⊥

→DA

、 n 1⊥→SA ，得平面SAD 的一个法向量n 1=(0,-h,a ) , 又

→CB

=(2a ,0,0) ,→BS =(-a ,-a ,h) ， 同理求得平面SBC 的一个法向量n 2=(0,-h,-a ) 。

∵平面SAD ⊥平面SBC, ∴n 1⊥n 2

得h 2=a 2，h=a 。

此时n 1= (0,-1,-1)， n 2= (0,-1,-1) 。

又∵→AB

=(0,2a , 0) ，→AS =(-a ,a , h)，,同理求得平面SAB 的一个法向量n 3= (1,0,1)， ∴cos< n 2, n 3>=n 2 n 3| n 2|| n 3| =-12 2

=—12。 平面SAB ，SBC 所成二面角的度数为120°。

从此例可以看出，用向量求二面角，可避免寻找二面角的平面角的麻烦。

向量除了用来求角度，还可以用来求各种距离，前面已举过这方面的例子，不再赘述，最后举几例在高考或高考摸拟中出现的向量综合题。