图论基础与网络流习题集锦

<vi,vj> ∈ E且<vj,vi> ∈ E。
图论简介
平行边：即重边。 环：即自环。 简单图：不含平行边且不含环的图。
度：无向图中，与某点关联的边的数量。 入度，出度：有向图中，与某点关联的入边和出边 的数量。 K-正则图：无向简单图中所有点的度数都为K。 握手定理：所有点度数之和等于2*|E|。
同样的，我们可以定义边覆盖集（即用边覆盖所有 点）与边独立集（即任意两条边之间没有共同点）。
割与流，匹配
匹配：G的一个边独立集，又被称为G的一个匹配。 极大匹配与最大匹配。
二部图（二分图）：若无向图G的点集V可以分割 成两个互不相交的子集，并且对于边集E中的所有 边(vi,vj)所关联的两个顶点vi和vj都分属这两个子集， 那么图G就被称为一个二部图。
图论基础与网络流习题集锦
北京大学 朱睿
图论部分： 1.图论简介 2.生成树与生成树计数 3.欧拉回路与哈密顿回路 4.割与流，匹配
网络流问题部分： 1.习题 2.习题 3.更多的习题
大纲
图论简介
一个无向图G一般被抽象为一个二元组<V,E> 1.V是一个集合并被称为G的点集。 2.E是V的无序积的多重子集，被称为G的边集。其 元素被称为无向边。
对于一个无向图G = <V,E> 点独立集：V的一个子集 使得该集合中任意两点之 间没有边。 点支配集：V的一个子集 使得任意V中元素要么属 于该集合，要么与该集合中点有边相连。 点覆盖集：V的一个子集 使得任意E中元素都与该 集合中某个或某两个元素相关联。
极大/最大点独立集，极小/最小点支配集，极小/最 小点覆盖集。
二部图匹配的霍尔定理（婚姻定理）：设有二部图 G=<V1,V2,E>且|V1|<=|V2|，则该图有完美匹配的 充要条件是，对于任意V1的子集S，设|S|=k，则与 S相连的点集大小 不小于k。
推论：若G为k-正则二部图，那么G中存在k个边不 同的完美匹配。
网络流习题集锦：欧拉回路
给定一张包含N个点M条边的图，其中有些边是单向 边有些边是双向边。问是否存在欧拉回路。 N和M范围不限定，试给出尽量优秀的算法。
同构：两个无向图<V1,E1>与<V2,E2>，若存在双 射函数f:V1->V2，使得对于任意vi,vj ∈ V1,f(vi),f(vj) ∈ V2时， <vi,vj> ∈ E1当且仅当<f(vi),f(vj)> ∈ E2， 则称这两个无向图同构。
生成树与生成树计数
生成树：一个连通无向图的极小连通子图，被称为 这个图的生成树
到目前为止，还没Hale Waihona Puke Baidu一个简明的条件能作为判断一 个图是否存在哈密顿回路的充要条件 T T
这里给出一个充分条件： 若对于无向简单图G，任意两个不相邻点的度数之 和大于或等于n-1，则该图存在哈密顿通路。 若对于无向简单图G，任意两个不相邻点的度数之 和大于或等于n，则该图存在哈密顿回路。
割与流，匹配
流： 假设G(V,E) 是一个有限的有向图，它的每条边 (u,v)∈E都有一个非负值实数的容量c(u,v) 。如果 (u,v)不属于E，我们假设c(u,v) = 0 。我们区别两个 顶点：一个源s和一个汇t。一个网络流是一个对于 所有结点u和v都有以下特性的实函数f:V×V→R 其满足以下三个要求： 1.容量限制：f(u,v) <= c(u,v) 2.斜对称：f(u,v) = -f(v,u) 3.流守恒：除非u=s或u=t，否则Σ(w∈V) f(u,w) = 0 则该网络流的流量为s的总输出（或t的总输入）
最小生成树：一个边带权的连通无向图的极小连通 子图，同时包含最小的边权 —Prim算法 —Kruskal算法
生成树计数问题：如何求出一个连通无向简单图的 不重复生成树个数？
生成树与生成树计数
Matrix-Tree（矩阵树）定理： 假设图G是一个包含n个点无向图。
定义G的度数矩阵D[G]为一个n*n的矩阵，并且对于 任意i ≠ j，有Dij=0；当i=j时，Dij为节点i的度数。
欧拉回路： 对于一个连通图，遍历所有边并回到起点的路径被 称为是一条欧拉回路。 无向图欧拉回路的充要条件： 连通并且每个点的度数都为偶数。 有向图欧拉回路的充要条件： 强连通并且每个点的入度和等于出度和。
欧拉回路与哈密顿回路
哈密顿回路：遍历图中所有点一次且仅一次并最终 回到起点的路径被称为哈密顿回路。 哈密顿通路：遍历图中所有点一次且仅一次的路径 被称为哈密顿通路。
割：设Ci为网络N中一些弧的集合，若从N中删去Ci 中的所有弧，即：使得从顶点Vs到顶点Vt的路集为 空集时，称Ci为Vs和Vt间的一个割。
割与流，匹配
最大流：从s到t的所有可行的网络流中，流量最大 的网络流。 最小割：从s到t的割中，删除边权和最小的割。 对于一个给定的s和t，最大流=最小割
割与流，匹配
网络流习题集锦：欧拉回路
解答：首先我们知道，若该混合图有欧拉回路，一定 有一种方法使得给该图中所有无向边定向后的有向图 仍然有欧拉回路。那么我们首先给所有无向边随意定 一个向。
有向图欧拉回路的充要条件：每个点的入度和等于出 度和。那么此时该图至少要保证入度和-出度和是一个 偶数。
然后使用网络流，源点向所有入度和>出度和的点连 一条大小为|入度和-出度和|/2的边，所有出度和>入度 和的点连一条|出度和-入度和|/2的边。
一个有向图D一般被抽象为一个二元组<V,E> 1.V是一个集合并被称为D的点集。 2.E是V的卡氏积的多重子集，被称为D的边集。其 元素被称为有向边。
图的阶：即|V|。
零图：|E| = 0。
基图：将D的有向边改为无向边，成为一个无向图。
无向完全图：简单无向图中每个点都与其他点相邻。
有向完全图：简单有向图中对于任意vi,vj ∈ V都有
定义G的邻接矩阵A[G]为一个n*n的矩阵，并且对于 任意<i,j>属于G的边集时，Aij为1；否则为0。
定义G的Laplace算子(Kirchhoff矩阵)为C[G]=D[G]A[G]。
那么图G的生成树个数为C[G]的任意一个n-1阶主子 式（即去掉第r行第r列，r任意）的行列式之绝对值。
欧拉回路与哈密顿回路