2019高考数学模拟试题二

13．设 a 0 ，e 是自然对数的底数，函数 f (x)
和不大于 6，则 a 的取值范围为 ▲ ．
aex x, x 0,
有零点，且所有零点的
x2 ax a, x 0
π
1
14．若对任意实数
x 和任意
θ∈[0， 2]，恒有
(x+2sin
2
θcosθ) +(
x+
asinθ+
acosθ) 2≥
8
，
则实数 a 的取值范围是 ▲ ．
1 （2）若 p 2 ，且 { a2n 1 } 是递增数列， { a2n } 是递减数列，求数列 { an } 的通项公式．
数学 Ⅱ（附加题）
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
21．【选做题】在 A 、B、C 、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共 20 分．请在答．题． 卡．指．定．区．域．内． 作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
点．又因为
a 2 4a 0 ，故 f ( x) 在 (0, ) 上也没有零点 .因此不满足题意．
（2） 1 a 4 时， f (x) 在
1 , ln 上单调递减，在
1 ln ,0
上单调递增，
a
a
f ln 1 1 ln a 0 ，所以 f ( x) 在 a
,0 上没有零点．又因为
( 0, ) 上也没有零点 .因此不满足题意．
的一个特征值为 3，求 M 的另一个特征值及对应的一个特征向量．
2x
C．选修 4— 4：坐标系与参数方程
x 2cos
已知点 P 是曲线 C：
（ 为参数，
y 3sin
线 OP 的倾斜角为 ，求点 P 的直角坐标．
3
2 ）上一点， O 为原点．若直
D．选修 4— 5：不等式选讲
已知实数 x， y， z 满足 x + y + z = 2 ，求 2x 2 3 y2 z2 的最小值．
1．已知集合 M { x / x2 2x 0, x R} ， N { x / x 2 2x 0, x R} ，
则M N
▲ ．
2．已知复数 z 满足 z ＝ i ，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的虚部为 3＋ 2i
▲ ．
3．某校共有 400 名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩的频率分布直方图如图所示．成绩
（2）证明： f x1x2 0 （ f ( x) 为函数 f (x) 的导函数）；
（3）设点 C 在函数 y f ( x) 的图象上，且△ ABC 为等腰直角三角形，记 求 ( a 1)( t 1) 的值．
x2 1 t ， x1 1
20． (本小题满分 16 分 )
已知数列 { an } 满足 a1 1,| an 1 an | pn , n N * . （1）若 { an } 是递增数列，且 a1,2 a2, 3a3 成等差数列，求 p 的值；
17． (本小题满分 14 分 ) 某生物探测器在水中逆流行进时，
所消耗的能量为 E cvnT ，其中 v 为探测器在静水中
行进时的速度， T 为行进时的时间（单位：小时） ， c 为常数， n 为能量次级数．如果水的 速度为 4 km/h ，该生物探测器在水中逆流行进 200 km ． （1）求 T 关于 v 的函数关系式； （2） (i) 当能量次级数为 2 时，求该探测器消耗的最少能量；
a2 4a 0 ，故 f (x) 在
（3） a 4 时， f ( x) 条件．
4ex x, x ≤ 0 ， f ( x) 在 x2 4 x 4, x 0
,0 上没有零点，零点只有 2，满足
（4） a 4 时， f ( x) 在 ,0 上没有零点，在 (0, ) 上有两个不相等的零点，且和为 a， 故满足题意的范围是 4 a ≤ 6．
（1）记 “选出 2 人参加义工活动的次数之和为 4”为事件 A，求事件 A 的发生的概率；
（2）设 X 为选出 2 人参加义工活动次数之差的绝对值， 求随机变量 X 的分布列和数学期望．
23．（本小题满分 10 分）
在集合 A { 1，2，3，4，… ， 2n } 中， 任取 m（ m n ， m ， n N* ）元素构成集合 Am ．若 Am 的所有元素之和为偶数， 则称 Am 为 A 的偶子集， 其个数记为 f ( m) ；若 Am 的所有元素之 和为奇数，则称 Am 为 A 的奇子集，其个数记为 g (m) ．令 F ( m) f (m) g (m) ． （1）当 n 2 时，求 F (1)， F (2) ，的值； （2）求 F ( m) ．
奇数的概率是
▲ ．
5．运行如图所示的流程图，则输出的结果
S是 ▲ ．
开始
S← 2， i← 1
Y
i≥ 2018
N
6．已知等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn．若 S15＝ 30， a7＝ 1，则 S10 的值为 ___▲_____． 7．已知 y f ( x) 是 R 上的奇函数，且 x 0 时， f ( x) 1 ，则不等式 f ( x2 x) f (0) 的
分组为 [50 ， 60)，[60 ， 70)，…， [90 ，100] ，则在本次竞赛中，得分不低于 80 分的人数
为▲ ．
频率 组距
0.030 0.025
0.015
0
50 60 70 80 90 100
成绩
(第 3 题)
4．在标号为 0， 1，2， 4 的四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为
2019 高考数学模拟试题（ 2） 数学 I 答案
一、填空题答案
1. {0}
2. 3
3. 120
1
4.
2
1
5.
2
6. － 5
7. （ 0， 1）
8. y2＝ 2x
9. 3π
10. 3
11. 25 8
解：因为直线 l ： x 2 y 0 与圆 C ： (x a)2 ( y b)2 5 相切，
| a 2b | 所以
2019 高考数学模拟试题（ 2）
数学 I
注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求
1．本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题～第 14 题）、解答题（第 15 题～第 20 题）．本卷满
分为 160 分，考试时间为 120 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用
二、解答题答案
15.解：（ 1）由三角函数定义， x1 cos ， x2 cos(
)， 3
1
因为 ( , ) ， cos
，所以 sin
62
3
1 cos2
22
.
3
x2 cos(
) 1 cos 32
3 sin 2
1 26
.
6
（ 2）依题意， y1 sin ， y2 sin(
1
1
所以 S1 x1y1 cos sin
（1）若 AB
16
，求直线 AB 的倾斜角；
5
（2）当直线 AB 变化时，求 PN 长的最小值 .
19． (本小题满分 16 分 )
设函数 f (x) ex ax a( a R) ，其图象与 x 轴交于 A( x1 ，0) ， B( x2，0) 两点，且 x1＜ x2． （1）求 a 的取值范围；
解集为
▲．
8．在直角坐标系 xOy 中，双曲线 x2－y32＝ 1 的左准线为 l ，则以 l 为准线的抛物线的标准方
程是 ▲ ．
9．四面体 ABCD 中， AB 平面 BCD ， CD 平面 ABC ，且 AB BC CD 1cm ，则四面
体 ABCD 的外接球的表面积为
▲ cm 2 .
10. 已知 0
A．选修 4— 1：几何证明选讲 如图，圆 O 的直径 AB＝ 8，C 为圆周上一点， BC＝4，过 C 作圆的切线 l ，过 A 作直线
l 的垂线 AD， D 为垂足， AD 与圆 O 交于点 E，求线段 AE 的长．
D
E
C
l
A
O
B
(第 21 题 A)
B．选修 4— 2：矩阵与变换
12
已知矩阵 M ＝
5
5
又因为圆心 C 在直线 l 的上方，所以 a 2b 0 ， 所以 a 2b 5 ， 5 a 2b 2 2ab,
所以 ab 的最大值为 25 ． 8
12. 6
解：利用 AC 在 AE 上的投影得， AC AE
12 AE =6．
2
13．
,0 4,6
解：① a 0
x ≤ 0 时， f ' (x) aex 1 0 ，所以 f ( x) 在 ( ,0) 单调递减， 且 f ( 0) a 0 ，所以 f (x) 在 ( ,0) 有一个小于 0 的零点．
y1)， B(x2， y2).
（1）若 x1
1 3 ，求 x2 ；
（2）分别过 A，B 作 x 轴的垂线，垂足依次为 C， D，
，交单位圆于点 B，记 A(x1，
3
记△ AOC 的面积为 S1，△ BOD 的面积为 S2，若 S1 2S2 ，
求角 的值 .
.
16.（本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， AC⊥ BC， BC=BB1，D 为 AB 的中点 . （1）求证： BC1∥平面 A1CD ； （2）求证： BC1⊥平面 AB1C.
(ii) 当能量次级数为 3 时，试确定 v 的大小，使该探测器消耗的能量最少．
18． (本小题满分 16 分 )
如图，椭圆
x2 C:
4
y2 1 的右焦点为 F ，右准线为 l，过点 F 且与 x 轴不重合的直线交椭
3
圆于 A，B 两点， P 是 AB 的中点，过点 B 作 BM⊥ l 于 M ，连 AM 交 x 轴于点 N，连 PN.
0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及
答题卡的规定位置．
3．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作
答一律无效．
4．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
参考公式：
球体的体积公式： V＝ 4 R3 ，其中 3
为球体的半径．
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分 . 不需写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上）
x 0 时， f ( x) 在 ( 0, ) 单调递增， 因为 f (1) 1 ，所以 f ( x) 在 (0, ) 有一个小于 1 的零点．
因此满足条件． ②a 0
（ 1） 0 a ≤ 1 时， f ( x) 在 ( ,0) 单调递减， f (0) a 0 ，所以 f ( x) 在 ,0 上没有零
2
2
)， 3 1 sin 2 ， 4
1
1
S2
x2 y2
cos(
2
2
) sin( 3
1 ) - sin( 2 34
2 )
3,
依题意， sin 2
2sin(2
2 ) ，化简得 cos 2
0，
3
因为
6
，则
2
2
3
，所以 2
，即
2
4.
16.证明：（1）在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， CC1⊥平面 A1B1 C1， 四边形 ACC1A1 为矩形，
综上所述， a 的取值范围为
,0 4,6 ．
7 14. a≤ 6或 a≥2
2
解：因为 a2 b2 (a b) 对任意 a 、 b 都成立 ， 2
所以， (x+2sin θcosθ)2+(x+asinθ+acosθ) 2≥12 (2sin θcosθ- asinθ- acosθ)2，
(2sinθcosθ- asinθ- acosθ)2≥14，
二、解答题 （本大题共 6 小题， 计 90 分 .解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤，
请把答案写在答题卡的指定区域内）
15． (本小题满分 14 分 ) 如图，在直角坐标系 xOy 中，角 的顶点是原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边交单
位圆于点 A，且
( , ) . 将角 的终边按逆时针方向旋转 62
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答．卷．卡．指．定．区．域．内． 作答．解 答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分 10 分）
某小组共 10 人，利用暑期参加义工活动，已知参加义工活动次数为
1，2， 3 的人数分别
为 3， 3， 4，现从这 10 人中选出 2 人作为该组代表参加座谈会．
即对任意
π θ∈[0， 2]，都有
a
3 2sin cos sin cos
1 2 或a
3 2sin cos sin cos
1 2
，
1
3 2sin cos 因为
2 sin
cos
5
1
sin cos
2 sin cos ,
π
当 θ∈ [0， 2]时， 1 sin cos
2，
所以Baidu Nhomakorabeaa
7 2
，
同理
a≤
6.
因此，实数 a 的取值范围是 a≤ 6 或 a≥72．
y
x
π，且 tan x tan y
2 ， sin xsin y
1 3
，则
x
y
▲.
11．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l ： x 2y 0 与圆 C ： (x a) 2 ( y b)2 5 相切， 且圆心 C 在直线 l 的上方，则 ab 的最大值为 ▲ ．
12．正五边形 ABCDE 的边长为 2 3 ，则 AC AE 的值为 ▲ ．