函数的极值与导数PPT教学课件

当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 .
变式
求下列函数的极值:
(1) f (x) 6x2 x 2;
(2) f (x) x3 27x;
(3) f (x) 6 12x x3;
(4) f (x) 3x x3.
解: (1)
f
( x )
12x 1, 令
f (x)
0,
解得 x
y
y f (x)
x2 x3
a x1 O
x4 x5
x
x6
b
探究：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？
yy
分析yx3
yf(x)
由f (x) x3,得f '(x) 3x2，
O
x 在x 0处，f（' 0） 0,
O a x1 x2x 0是x3极值点吗？ b x
f (x1)=0 f (x2)=0 f (x3)=0
1 . 列表: 12
x
(, 1 )
1
( 1 ,)
12
12
12
f (x) –
0
+
f (x) 单调递减
49
单调递增
24
所以, 当 x 1 时, f (x)有极小值 f ( 1 ) 49 .
12
12 24
求下列函数的极值:
(1) f (x) 6x2 x 2;
(2) f (x) x3 27x;
◆函数的极大值与极小值统称为极值.
(极值即峰谷处的值）
（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间 而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大 值或极小值
（2）极大值不一定比极小值大
（3）ຫໍສະໝຸດ Baidu导函数f(x),点是极值点的必要条件是在该 点的导数为0
例：y=x3
总结
• 1．理解极值概念时需注意的几点 • (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅
(2)只有f(x0) =0且x0两侧单调性不同 ， x0才是极值点. (3)求极值点，可以先求f(x0) =0的点，再列表判断单调
性
例1 求函数 f (x) 1 x3 4x 4的极值. 解: 因为 f (x) 13x3 4x 4, 所以 f (x) x2 4. 3
令 f (x) 0, 解得 x 2, 或 x 2. 当 f (x) 0 , 即 x 2 , 或 x 2 ;
当 f (x) 0 , 即 2 x 2 .
当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:
x (–∞, –2) –2 (–2, 2)
2 ( 2, +∞)
f (x) +
0
–
0
+
f (x) 单调递增 28 / 3 单调递减 4 / 3 单调递增
所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ;
对某一点的左右两侧附近的点而言的．
• (2)极值点是函数定义域内的点，而函数定 义域的端点绝不是函数的极值点．
• (3)若f(x)在[a，b]内有极值，那么f(x)在[a， b]内绝不是单调函数，即在定义域区间上 的单调函数没有极值．
• (4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个 函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大 值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大 值．(如图(1))
(3) f (x) 6 12x x3;
(4) f (x) 3x x3.
解:
(2) 令f (x) 3x2 27 0,解得 x1 3, x2 3.列表:
x (–∞, –3)
f (x) +
f (x) 单调递增
–3 (–3, 3)
0
–
54 单调递减
3 ( 3, +∞)
0
+
54 单调递增
所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .
3.3.2函数的极值与导数
复习:函数单调性与导数关系 设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导，
f(x)增函数
f(x)减函数
y
y=f(x)
y
y=f(x)
f '(x)<0
f '(x)>0
oa
bx
oa
bx
如果在某个区间内恒有 f (x) 0 ,则 f (x)为常数.
巩固：
f(x)
1
x3
-
1
x2
7
单调区间
结论:极值点处，如果有切线，切线水平的.即: f (x)=0
思考;若 f (x0)=0，则x0是否为极值点？
进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?
极大值
极小值
即: 极值点两侧单调性互异
探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?
y yf(x)
极大值点两侧 x
f (x)>0
f(x)
f (x)<0 f(x)
使函数取得极值的 y 点x0称为极值点
o
x0
x
o
x0
x
设函数f(x)在点x0附近有定义，
•如果对X0附近的所有点，都有f(x)<f(x0),
则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)；
•如果对X0附近的所有点，都有f(x)>f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；
观察图像：
在x1 、 x3处函数值f(x1)、 f(x3) 与x1 、 x3左右近旁各点处的
函数值相比,有什么特点?
f (x2)、 f (x4)比x2 、x4左右近旁各点处的函数值相比呢?
y f (x1)
yf(x) f(x3)
f(x2)
f(x4)
O a x1 x2 x3 x4
bx
函数的极值定义
y
X<x2
f(x) >0
增
x2
X>x2
f(x) =0 f(x) <0
极大值 减
f (x)<0
f (x)>0
Oa
x1
极小值点两侧
x2
bx
结论：极值点处，f(x) =0
x X<x1
f(x) f(x) <0
f(x) 减
x1
f(x) =0
极小值
X>x1
f(x) >0
增
注意:(1) f(x0) =0， x0不一定是极值点
• (5)若函数f(x)在[a，b]上有极值，它的极值点的 分布是有规律的(如图(2)所示)，相邻两个极大值 点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小 值点之间必有一个极大值点．
• 2．导数为0的点不一定是极值点．
练习：
下图是导函数 y f (x) 的图象, 试找出函数 y f (x)
的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.
解：
32 2
（第一步）定义域R,f′(x)=x2-x=x(x-1)
（第二步）令x(x-1)>0, 得x<0或x>1， 则f(x)单增区间（－∞，0）,（1，+∞）
（第三步）令x(x-1)<0,得0<x<1, f(x)单减区(0,2).
注意: 求单调区间: 1:首先注意 定义域,
2:其次区间不能用 ( U) 连接