非线性鲁棒控制

非线性鲁棒控制

1. 课题意义

针对机机械手的不确定性有两种基本控制策略:自适应控制和鲁棒控制。当受控系统参数发生变化时，自适应控制通过及时的辨识、学习和调整控制规律，可以达到一定的性能指标，但实时性要求严格，实现比较复杂，特别是存在非参数不确定性时，自适应控制难以保证系统的稳定性;而鲁棒控制可以在不确定因素一定变化范围内，做到“以不变应万变”，保证系统稳定和维持一定的性能指标，它是一种固定控制，比较容易实现，在自适应控制器对系统不确定性变化来不及做辨识以校正控制律时更显鲁棒控制的重要。

鲁棒控制(Robust Control)方面的研究始于20世纪50年代。在过去的20年中，鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点。所谓“鲁棒性”，是指控制系统在一定(结构，大小)的参数摄动下，维持某些性能的特性。以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器。鲁棒控制的基本特征是用一个结构和参数都固定不变的控制器，来保证即使不确定性对系统的性能品质影响最恶劣的时候也能满足设计要求．不确定性可分为两大类，不确定的外部干扰和系统的模型误差，其中，模型误差受系统本身状态激励，同时又反过来作用于系统的动态。由于工况变动、外部干扰以及建模误差的缘故，而系统的各种故障也将导致模型的不确定性，实际工业过程的精确模型很难得到，在设计鲁棒控制器时，所有的不确定性可以是不可量测的，但是必须属于某个可描述集．鲁棒控制器就是基于标称系统数学模型和不确定的描述参数来设计的．因此可以说模型的不确定性在控制系统中广泛存在。如何设计一个固定的控制器，使具有不确定性的对象满足控制品质，也就是鲁棒控制，成为了国内外科研人员热衷的研究课题。

2. 发展与研究现状

μ方法。1981年Zames首次提出了著名的鲁棒控制理论发展的最突出标志是H∞和

H∞控制思想。Zames考虑了这样一个单输入、单输出系统的设计问题，即对于属于一个有限能量集的干扰信号，设计一个控制器使得闭环系统稳定且干扰对系统期望输出影响最小。由于传递函数H∞的范数可以描述有限能量到输出能量的最大增益，所以表示上述影响的传递函数H∞范数作为目标函数对系统进行优化设计，这就可使具有有限功率谱的干扰对系统期望输出的影响最小。

目前线性系统的鲁棒控制理论主要集中在进一步寻求行之有效的解法，从而使控制系统设计更加精确，更加实用，更加符合实际的需要，并将所得理论和方法进一步向Lurie系统、线性跳跃系统和关联系统扩展

3. 改进方法

变结构控制，其基本思想是在误差系统的状态空间中，寻找一个合适的超平面，以该超平面为基准不断切换控制器的结构，并保证超平面内所有的状态轨迹都收敛于零．这样，控制系统的行为就完全由滑模表面的特性所确定，而与系统本身的行为无关，因而变结构控制对于外界的干扰和模型误差是不敏感的，具有很强的鲁棒性能。由于变结构控制本身的不连续性，容易引起“抖振”现象，它轻则会引起执行部件的机械磨损，重则会激励未建模的高频动态响应。利用变结构的思想强迫状态轨迹趋于边界层，而在时变的边界层内，保持控制的平滑。这实际上达到了控制带宽和控制精度的最优折衷，这样就消除了控制的“抖振”，增加了系统对未建模动力学的不敏感性，

鲁棒自适应控制方法结合了自适应与鲁棒控制方法两者的优点在抗千扰能力以及克服“抖振”现象等方面都要比单独的自适应控制方法和变结构控制方法强，自适应控制律的鲁棒性增强方法

4. 理论依据

机械手一般模型为

()(,)()(,)M q q c q q q g q q q τ+++∆= (1) [()2(,)]0T x M q c q q x -= (2)

其中，

[]

12,T

q q q =为系统广义坐标(如图1所示)；()M q 为惯量矩阵，其中()0M q >，即

()M q 正定；(,)c q q q 为向心力和哥氏力矢量；()g q 为重力矢量；(,)q q ∆为外部扰动变量，

且有

(,)(,)

q q e e ρ∆≤；τ为力矩。

图1.二元机械手模型

对于 给定()

d q t ，设计τ，使得

()()

d q t q t →。设位置跟踪误差

d

e q q =-，转矩τ满

足，

()(,)()d d u M q q c q q q g q τ=+++，代入(1)简化后的状态方程为

Me ce u ++∆= (3)

令e e σα=+，0α>，代入式(3) ，

c M e c e u σαα =-++-∆+ (4)

令w M e c e αα=+，代入式(4)， (Filter-error dynamics)

取u K w v σ=---，

2

v σρσρε

=

+，0ε>，

1

200K K K ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

，

10

K >，

20

K >。

Lyapunov 预选函数为1

(,)2T V t M σσσ

=

2

2

12V λσ

λσ

≤≤

10λ>，20λ> (5)

取

312min{,}K K λ=，30λ> (6)

式(5)代入式(6)，可得

取

32λλλ=

σ≤

t →∞时。

证明：该控制律为全局一致最终稳定的 V V λε≤(-)+，0λ> 解微分不等式

取

2

2111(0)c λεσλλλ=

+，21c ελλ=

则

2

12

t c e c λσ-≤+

解微分方程

12e e e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，12σσσ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

()0

(*)(0)t

t

t s i e e e

e ds

αασ---≤+⎰，1i =，2。

又有

()i

i

e e *≤∑，

i i

e e ≤，

i σσ

≤

则

()0

(0)t t t s i i i i

i

i

e e e e e ds

αασ---≤≤+∑∑∑⎰

因为有，

2

t

λ

σ-≤≤

则有，

()

2

02(0)2t

s t t s e e e

e

ds λ

αα----≤+⎰

其中，

32(0)2

c e =--

，

42c =

，

5c ==

5. 机械手鲁棒控制器设计 机械手控制框图：