2020届高三全国高考数学理科专题训练：空间向量(无答案)

空间向量 ●
高考复习
考点知识汇集
一、空间向量的含义
1、定义：空间中，具有大小和方向的量。

向量的大小叫做向量的长度或模。

2、规定：①长度为0的向量叫做零向量，记为0
；
②模为1的向量称为单位向量；
③与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量。

记为a
④方向相等且模相等的向量称为相等向量。

3、性质：向量具有平移不变性。

二、空间向量的坐标表示
1、空间直角坐标系Oxyz 是过空间定点O （原点）作三条互相垂直的数轴，具有相同的单位长度。

①三条数轴分别称为x 轴(横轴：单位长度i
)、y 轴(纵轴：单位长度j )、z 轴(竖
轴：单位长度k
)，统称为坐标轴；
②由坐标轴确定的平面叫坐标平面。

2、设点P 为空间的一个定点，过点P 分别作垂直于x 、y 、z 轴的平面，依次交x 、y 、z 轴于点M 、Q 、R 。

设点M 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标分别为x 、y 、z ，那么就得到与点P 对应惟一确定的有序实数组 z y x ，，。

3、向量P （O 为原点）的坐标记作：
= z y x ，， = k z j y i x。

4、①点A （x ，y ，z ）：关于x 轴的对称点为（x ，y ，z ）；关于xOy 平面的对称点为（x ，y ，z ）。

②在y 轴上的点设为（0，y ，0）；在平面yOz 中的点设为（0，y ，z ）。

5、若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长度为1，这个基底叫单位正交基底，用
k j i ，，表示。

空间中任一向量 z y x k z j y i x a ，，。

三、空间向量的直角坐标运算公式
设： 321a a a a ，，
， 321b b b b ，，
1、法则
①向量和运算： 332211b a b a b a a b b a ，，
向量差运算： 332211b a b a b a b a ，，
数乘运算： 321a a a a ，，
R
数乘分配律：
b a b a
332211b a b a b a ，，
R
数量积运算、交换律：332211b a b a b a a b b a • •
；
2a = 2
3
2221a a a a a •
b a b a b a
• • •
②不满足乘法结合律：
c
b a
c b a
•• ••
2、共线向量
①含义：空间中，有向线段所在的直线平行或重合，这些向量叫共线向量或平行向量。

②定理：b a
// 存在实数 ，使b a
3
322
11b a b a b a 0321 b b b ③三点共线：A 、B 、C 三点共线
1 v x
④与a
共线的单位向量为a
a
3、共面向量
①定义：一般，能平移到同一平面内的向量叫共面向量。

（空间任意的两向量都共面）
②定理：如果两个不共线向量a 、b ，p 与a 、b
共面的条件是：存在实数x 、y ，使
b y a x p。

③四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面
1 z v x
4、向量垂直
b a
0332211 b a b a b a
四、空间向量的基本定理
1、定理：如果三个向量a 、b 、c
不共面，那么对空间任一向量p ，存在实数组x 、y 、z ，
使c z b y a x p。

三个向量a 、b 、c 不共面，我们把{a ，b ，c }叫空间的一个基底，a 、b
、c
叫基向量。

空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

2、推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x 、
v 、z ，使。

五、空间向量的应用
★设： 111z y x A ，，， 222z y x B ，，；
= 321a a a a ，，
，
= 321b b b b ，，
★垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。

每一个平面存在无数个法向量。

1、向量的模长
两点间距离∣∣
=
221221221z z y y x x
2、向量的中点坐标
的中点坐标：
222
212121z z y y x x ，，
3、定比分点公式
=
：则 z y x P ，，坐标为
111212121z z y y x x ，，；
存在 111z z y y x x ，， = z z y y x x 222，， 。

4、向量间夹角
向量间夹角 2
3
22212322213
32211cos b b b a a a b a b a b a b
a b a b a •
••
，
5、空间向量与立体几何
①线线夹角 900， 两线的方向向量1n 、2n
的夹角或夹角的补角：
21cos cos n n
，
②线面夹角 900， ：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可；
若为钝角，则取其补角：n AP
，cos sin
③面面夹角（二面角） 900， ：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量1n
、
2n 的夹角；若两面的法向量同进同出，则二面角等于两法向量1n 、2n
的夹角的补角：
21cos cos n n
，
④点面距离h ：求点 00y x P ，到平面 的距离：在平面 上取一点 y x Q ，，得向量
，
计算平面的法向量n
，接着求h 。

（线面距离、面面距离转化为点面距离求）
6、△ABC的五心
①内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。

②外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。

③垂心P：高的交点。

④重心P：中线的交点，三等分点。

⑤中心P：正三角形的所有心的重合。

海选实战特训题
1-2019京理、如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD//BC ，PA = AD = CD = 2，BC = 3。

E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且
3
1
PC PF 。

（1）求证：CD ⊥平面PAD ；（2）求二面角F-AE-P 的余弦值；（3）设点G 在PB 上，且3
2
PB PG 。

判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由。

1-2018苏理、如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB = AA 1 = 2，点P 、Q 分别为A 1B 1、BC 的中点。

求（1）异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值；（2）直线CC 1与平面AQC1所成角的正弦值。

1-2018国理Ⅱ、如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，AB = BC =
2
1
AD ，∠BAD = ∠ABC = 90°，E 是PD 的中点。

（1）证明：直线CE//平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角45°，求二面角M-AB-D 的余弦值。

1-2016国理Ⅰ、在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF = 2FD，∠AFD = 90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°，如图。

（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E-BC-A的余弦值。

1-2015津理高二、如图，在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB = 1，AC = AA 1 = 2，AD = CD =5，且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点。

（1）求证：MN ∥平面ABCD ；（2）求二面角D 1-AC-B 1的正弦值；（3）设E 为棱A 1B 1上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为3
1
，求线段A 1E 的长。

1-2013京理、如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形。

平面ABC⊥平面AA1C1C，AB = 3，BC = 5。

（1）求证：AA1平面ABC；（2）求证二面角A1-BC1-B1的余弦值；（3）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1
1-2013宁、琼理、如图，已知点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上，∠PDA = 60°。

（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小。

1-2007川理、如图，梯形PCBM是直角梯形，∠PCB = 90°，PM//BC，PM = 1，BC = 2，又AC = 1，∠ACB = 120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°。

（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求二面角M-AC-B的大小；（3）求三棱锥P-MAC的体积。