2020届高三全国高考数学理科专题训练：空间向量(无答案)

空间向量 ●

高考复习

考点知识汇集

一、空间向量的含义

1、定义：空间中，具有大小和方向的量。向量的大小叫做向量的长度或模。

2、规定：①长度为0的向量叫做零向量，记为0

；

②模为1的向量称为单位向量；

③与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量。记为a

④方向相等且模相等的向量称为相等向量。 3、性质：向量具有平移不变性。

二、空间向量的坐标表示

1、空间直角坐标系Oxyz 是过空间定点O （原点）作三条互相垂直的数轴，具有相同的单位长度。

①三条数轴分别称为x 轴(横轴：单位长度i

)、y 轴(纵轴：单位长度j )、z 轴(竖

轴：单位长度k

)，统称为坐标轴；

②由坐标轴确定的平面叫坐标平面。

2、设点P 为空间的一个定点，过点P 分别作垂直于x 、y 、z 轴的平面，依次交x 、y 、z 轴于点M 、Q 、R 。设点M 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标分别为x 、y 、z ，那么就得到与点P 对应惟一确定的有序实数组 z y x ，，。

3、向量P （O 为原点）的坐标记作：

= z y x ，， = k z j y i x

。

4、①点A （x ，y ，z ）：关于x 轴的对称点为（x ，y ，z ）；关于xOy 平面的对称点为（x ，y ，z ）。

②在y 轴上的点设为（0，y ，0）；在平面yOz 中的点设为（0，y ，z ）。 5、若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长度为1，这个基底叫单位正交基底，用

k j i ，，表示。空间中任一向量 z y x k z j y i x a ，，

。

三、空间向量的直角坐标运算公式

设： 321a a a a ，，

， 321b b b b ，，

1、法则

①向量和运算： 332211b a b a b a a b b a ，，

向量差运算： 332211b a b a b a b a ，，

数乘运算： 321a a a a ，，

R

数乘分配律：

b a b a

332211b a b a b a ，，

R

数量积运算、交换律：332211b a b a b a a b b a • •

；

2a = 2

3

2221a a a a a •

b a b a b a

• • •

②不满足乘法结合律：

c

b a

c b a

•• ••

2、共线向量

①含义：空间中，有向线段所在的直线平行或重合，这些向量叫共线向量或平行向量。

②定理：b a

// 存在实数 ，使b a

3

322

11b a b a b a 0321 b b b ③三点共线：A 、B 、C 三点共线

1 v x

④与a

共线的单位向量为a

a

3、共面向量

①定义：一般，能平移到同一平面内的向量叫共面向量。（空间任意的两向量都共面）

②定理：如果两个不共线向量a 、b ，p 与a 、b

共面的条件是：存在实数x 、y ，使

b y a x p

。

③四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面

1 z v x

4、向量垂直

b a

0332211 b a b a b a

四、空间向量的基本定理

1、定理：如果三个向量a 、b 、c

不共面，那么对空间任一向量p ，存在实数组x 、y 、z ，

使c z b y a x p

。

三个向量a 、b 、c 不共面，我们把{a ，b ，c }叫空间的一个基底，a 、b

、c

叫基向量。空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

2、推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x 、

v 、z ，使

。

五、空间向量的应用

★设： 111z y x A ，，， 222z y x B ，，；

= 321a a a a ，，

，

= 321b b b b ，，

★垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。 1、向量的模长

两点间距离∣∣

=

221221221z z y y x x

2、向量的中点坐标

的中点坐标：

222

212121z z y y x x ，，

3、定比分点公式

=

：则 z y x P ，，坐标为

111212121z z y y x x ，，；

存在 111z z y y x x ，， = z z y y x x 222，， 。 4、向量间夹角

向量间夹角 2

3

22212322213

32211cos b b b a a a b a b a b a b

a b a b a •

••

，

5、空间向量与立体几何

①线线夹角 900， 两线的方向向量1n 、2n

的夹角或夹角的补角：

21cos cos n n

，

②线面夹角 900， ：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可；

若为钝角，则取其补角：n AP

，cos sin

③面面夹角（二面角） 900， ：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量1n

、

2n 的夹角；若两面的法向量同进同出，则二面角等于两法向量1n 、2n

的夹角的补角：

21cos cos n n

，

④点面距离h ：求点 00y x P ，到平面 的距离：在平面 上取一点 y x Q ，，得向量

，

计算平面的法向量n

，接着求h 。（线面距离、面面距离转化为点面距离求）