高考总复习数学直接证明与间接证明

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第六篇 第六节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标A版·数学（文）
(2)适宜用反证法证明的数学命题有：
基
①结论本身以否定形式出现的一类命题；
础 知
识
②关于唯一性、存在性的命题；
回 顾
③结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；
考
点
④结论的反面比原始结论更具体、更容易研究的命题；
互 动
探
⑤要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出 究
考情分析
数学证明题在高考中占据重要地位，除在立体几何中考查空间位
基 础
知
置关系的判定外，还常与函数，数列、圆锥曲线相结合进行考查，
识
回
要求学生具备较强的逻辑思维能力、推理论证能力．本节在高考
顾
中一般不会直接命题，往往是以其他知识为载体作为一种方法考
考 点
互
查相关内容．如 2013 年江苏卷 19 等．
考 点
互
就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性.
动 探
究
课 时 作 业
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已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋
基
1a＋1b＋1c2≥6 3，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
础 知 识 回
顾
考 点 互 动 探 究
动 探
预测与备考：预计 2015 年高考对本节知识的考查主要是导数及
究
其应用，不等式及其证明，数列的递推公式及通项公式，题型多
课
时
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为解答题，分值约为 12 分．备考时应关注与这部分知识的交汇，
作 业
关注不等式的放缩技巧.
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基础
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课 时 作 业
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【证明】 因为 a，b，c 均为正数，由基本不等式得
基
a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
础 知
识
所以 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①
回 顾
同理a12＋b12＋c12≥a1b＋b1c＋a1c，②
(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3 时，③式等号成立．
回 顾
即当且仅当 a＝b＝c＝314时，原式等号成立．
考 点 互
动
探
究
课 时 作 业
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综合法往往以分析法为基础，是分析法的 基
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问题探究1：综合法与分析法的思维特点是什么，有何联
基
系？
础 知
识
提示：综合法是从条件推结论，分析法是逆向思维，从结
回 顾
论出发逐步寻求结论成立的条件，两种方法各有优缺点，在证 考
点
题时一般用分析法分析用综合法写出过程.
互 动
探
究
课 时 作 业
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基
础
知
考纲要求
识 回
顾
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解 考
点
分析法和综合法的思考过程、特点．
互
动
探
2．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法 究
的思考过程、特点.
课
时
作
业
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考 点 互
动
故 a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2
探 究
≥ab＋bc＋ac＋3a1b＋3b1c＋3a1c≥6 3.③
课 时 作
业
所以原不等式成立
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当且仅当 a＝b＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当 a＝b
基
＝c，
础 知
识
基
础
知
识
回
顾
知识回顾
考
点
互
感悟教材 · 学与思
动
探
究
(对应学生用书 P144)
课 时 作 业
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1.直接证明
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高考总复习·课标A版·数学（文） 基 础 知 识 回 顾 考 点 互 动 探 究 课 时 作 业
结论的线索不够清晰.
课
时
作
业
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(3)用反证法证明问题时要注意的问题：
基
①必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈
础 知
识
现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能， 回
顾
反证都是不完全的；
考
点
②反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作
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2.间接证明
基
(1)反证法定义：假设原命题 不成立 (即在原命题的条件
础 知
下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出 矛盾 ，因此
识 回 顾
说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反 考
点
证法.
互 动
探
究
课 时 作 业
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第
六
不等式 推理与证明
篇
(必修 5 第三章 选修 1－2 第二章)
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第六篇 不等式 推理与证明
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第六节
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基 础 知 识 回 顾
直接证明与间接证明
考
点
互
动
探
究
课 时 作 业
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动
探
究
(对应学生用书 P144)
课 时 作 业
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考点1
综合法
基
础
综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，
知 识
回
推导出所要证明的等式或不等式成立.因此，综合法又叫做顺推 顾
证法或由因导果法.其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这
互 动
探
为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论， 究
不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.
课
时
作
业
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问题探究2：利用反证法证明问题的关键是什么？可能出现
基
的矛盾是什么？
础 知
识
提示：反证法证明问题的关键是推出与假设矛盾的结论，
回 顾
从而说明假设错误，结论成立，可能出现的矛盾：与假设，与 考
点
已知，与数学公理，定理，公式，定义或已证明的结论矛盾，
互 动
探
与公认的简单事实矛盾.
究
课 时 作 业
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考点
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基
础
知
识
回
顾
互动探究
考
点
互
核心突破 · 导与练