第5章 脆值理论

BM位置（系统中缓冲体变形的极限位置），am ——
内装物（刚性）
恢复力——C（加速度为0）——惯性力和恢复
力——内装物往复运动—— x, a 下降很多—
—略去C点以后的运动——单向加速度脉冲
内装物的速度变化量 外包装箱接受脉冲时的速度变化量
2.常用的脉冲形式
（1）矩形波 （2）半正弦波
（3）锯齿波
冲击时间τ2＝0.41（s）。试比较：（1）这两种情况下产品受
到的平均冲击力； （2）若冲击力呈半正弦波形；F (t) 况下的最大冲击力。
Fm sin
t
，求以上两种情
解：（1） 2gh 29.81.5 5.42(m/ s)
F1

1
1
m0
(v)
1 50 5.42 0.01
Am
2 22
1


1 2
2
(t ) 2
Am

Gc Gm
Gc AmGm
Am要从Am和 Am 中取大者
5.水平冲击
水平冲击本质上和垂直冲击相同。如果水平冲击速度 为υ1，其效果与垂直冲击速度为υ1时相同，由 1 2gh 可经从υ1算出h，h 12
mg (H xm )
xm p(x)dx
0
p(x)――作用在产品上的弹簧反力
(H+xm)――相对于最大压缩位置 的跌落高度，近似记作H；
P（x)＝kx mgH 1 kx2
2
P(x) 2mgH x
由牛顿第二定律， F ma P(x) ma a P(x) 2H g
令 G 2H x
（3）冲击的分类
• 0<e<1时为弹性冲击。 • e=1时称作完全弹性冲击。 • 非弹性冲击（塑性冲击），这种情况对应于e＝0。
3.速度增量——引起破损的三个相关因素之一
2gh
u e
(1 e) (1 e) 2gh
速度增量的定义：冲击开始瞬时 的速度（冲击速度υ）与冲击结 束瞬时的速度（回弹速度u）的绝
受能力愈强，在设计防振包装时，选择刚度大些的材料，反之 ，则意味着产品对外力的承受能力愈差，设计时应慎重考虑。
•
Gc
ac g
3.破损定义:
ac—— 产品破损前的临界加速度
Gc —— 产品脆值（国内外一致认可的）
丧失了合格品质量指标之一的就叫破损。
4.破损的分类
(1)失效: 又叫严重破损，指产品丧失使用功能且不可逆转。

27.110 3
N

27 .1k N
落到聚苯乙烯泡沫垫平均冲击力：
F2

1
2
m0 (v)
1 0.4
50 5.42

677 .5N
F1 40F2

F1 F2
40
2 0.4 40 1 0.04
（2）
F (t)

Fm

sin

t
mu
m
Gg
mx 显然2H >>x，故G>>1 P GW
当P超过产品极限时，产品发生损坏或者失效。G是表征产品反抗
破损能力的唯一因素。
产品不发生破损的最大加速度值叫脆值Gc。它是由产品特征所确 定的，与外部环境因素无关。即，对具体的产品，Gc是常数。
2.实际产品的包装模型
包装件：由多个具有不同弹性和阻尼的零部件 每个零件的响应不同
(2)失灵：轻微破损，指产品功能虽已丧失，但可以恢复。
(3)商业性破损：指不影响产品使用功能而仅在外观上造成的破
损,虽可使用，但也降低商品的价值。
5.许用脆值 [G] Gc n 1
n
6．最大加速度
α、αm、αc 分别表示产品加速度,最大加速度和极限加速度。
G a g
Gm

am g
[G] [am ] Gc gn

xmax xst

1
2

1
s
in
2n 1 1
2
2

0t
2
Am依赖于频率比 1 / 2
（2）恢复阶段（研究反弹后m1相对于m2 位移的可能性）
从
x

2

2 2
2gh
12
12
sin 1t


sin 2t

(0 t ) 可知 2
当 1 2 时，x在

0
x(0) x1 (0) x2 (0) 0
将 x2代入上式并应用初始条件得：
x
k1 m1
x

x2
2
2gh sin2t
解得：
x

2 22
2gh
12

2 1
sin 1t


sin 2t

(0 t ) —相对位移 2
(
2 2
12 )
1 2 2
于是： 22
x
4gh(1 cos 1 )
2
1
(
2 2
12 )
sin(1t


1 22
)
(t t 0) 2
放大系数 Am A / xst
以Gc代表易损件的最大加速度αc/g
2 1 cos1
对于m1来说，输入是m2给予它的，当 x2 在经历一段时间达到
x2max 2 2gh 时，如果相当于 F m1 x2max m12 2gh
静力F作用在m1上，在m1上引起的静位移xst为：
F k1xst m12 2gh
xst

2 12
2gh
得放大系数：
1
Am
2.恢复系数
（1）冲击过程
变形阶段：冲击开始υ 0，动量max 0 物体变形从0—— max ，以S1表示变形阶段的冲量：
0 (m) S1
恢复阶段： 物体变形从max 0
速度0 u(回弹速度，物体反弹时脱离固定面瞬间的速度)
动量0 max
u 1

S2表示恢复阶段的冲量： mu 0 S2

0 (m)

m


0
Fm
sin t
dt

2
Fm
F1m

m 2 1

3.14 50 5.42 2 0.01

42500
N

42 .5k N
F2m

m 2 2

3.14 50 5.42 2 0.4
1064 N
由此可见冲击力峰值远远大于它的平均值。如果冲击力峰值过 高，产品会遭到破坏。
临界零件，关键零件，易损件
3.脆值的确定: 冲击试验机（GB/T15099-1994） 跌落试验机（GB81710-1987）
4.脆值的标准
各国的脆值标准不完全相同，原因：试验方法未规范， 产品质量区别。
5.传统脆值理论的缺点 最大加速度——评价破损情况
实际产品破损原因：冲击加速度的大小，冲击脉冲的 形状，冲击脉冲持续时间，产品的共振频率——破损边 界理论。
0t 2
内没有最大值
因此很可能大位移发生在 t 。
2
•反弹后的运动微分方程
反弹后m1相对于m2的运动是自由振动。
m1x k1x 0
xt0 xt0
x t / 2

xt / 2

x′代表自由振动时的m1、m2的相对位移 开始反弹（离地）时刻为计时t′原点
因此，影响产品最大加速度响应的参数为： 冲击脉冲的波形；脉冲持续时间；产品的固有频率； 冲击加速度峰值。
4.冲击谱
2
1
Am

xmax xst

1
2

1
sin
2n 1 1
1
2
2
——冲击放大系数
f1/ f 2 fn / fh
1/6 1
3
f n 较小时(k较小，弹簧较软)， f 1/ f 2 fn / fh <1/6时，产品的
由于冲击过程中的一般外力远远小于冲击力，所以冲击
过程中的一般外力（包括重力）可以不计。而平均冲力
则可表示为：
F

1

(mu

mv)

1


W g
u

W g


例1
某产品重W＝50kg，从1.5m高自由落下，受地面冲击速度减到零
所经历时间为τ1＝0.01（s），若是跌落到聚苯乙烯泡沫垫上，
Gc

ac g
Gm 决定于冲击速度、缓冲材料、产 品重量 和跌落高度
Gm
[G]

GC n
Gc 决定于产品，产品一定Gc就一定
二.传统脆值理论（基于产品的破坏性跌落试验规定）
1.冲击脆值
• 模型简化
• 能量守恒定理：从H高跌落到弹簧受 压发生最大变形xm，产品具有的位能 mgH转化为弹簧的变形能(略去产品 在xm上拥有的位能)，其大小等于产 品克服弹簧反作用力所做的功，即：
12
12
sin 1t


sin 2t


(0 t )
2
得：
xmax

2gh
1
(
1 2
1)
sin
2n 1 1 2
(0 t ) 2
• 放大系数 Am
Am

xmax x st
xmax ——m1在冲击中最大的动态响应
xst ——m1上引起的静位移xst
三.破损边界理论
1.冲击传递过程
1968年美国学者R.E.Newton提出了产品破损的边界条件论——破损边界理论。 包装物跌落停止时，外包装箱由于突然减速——很大的 加速度——介质（衬垫或填充物）——传递到内装物的 加速度减少——加速度达到最大的时间延时
BM——内装物的最大加速度值
外包装
如果不考虑能量损失，则两块阴影部分的面积相等
第5章 脆值理论
第1节 冲击理论基础
1. 冲量定理 2. 恢复系数 3. 速度增量 4. 冲击放大系数与易损关键部件 5. 水平冲击
1. 冲量定理
一般用于冲击过程的基本定理是动量定理的积分形式：

mu mv 0 Fdt S
式中： v, u 分别为冲击开始和结束时的速度；
S 为冲量；τ为冲击作用时间； F 为冲击力。
1
k1 m1
• 求相对位移的幅值
x
2

2 2
2gh
12
(2
cos1t
2
cos2t)

0
因为 1 2 ，所以 1t 2n 2t
t 2n 1 2
cos1t cos2t 0
(n 0,1, )
代入式
x

2 22
2gh
对值之和 ，即： u
0 e 1 2gh 2 2gh
4.冲击放大系数与易损关键部件
（1）冲击刚要开始的瞬间
如果不计阻尼，冲击刚要开始的瞬时，m1和m2的速度
为 2gh ，k2未受压缩不变形，位移x1和x2都还是零。考虑
m1《m2的情况，系统可当作单自由度问题处理 ：
u S2
S1
冲击过程有能量损失（发热、发声、残余变形等）
e u

e 为“恢复系数”，它表明冲击后速度恢复 的程度，也表明了物体变形的程度。一般情
0 e 1
况下e的取值范围为：0.3<e<0.5。
（2）恢复系数的测定
小球，待测材料制成
e u 2gh2 h2

2gh1
h1
平板，待测材料制成， 质量很大

)
2
dm
2W2 h k2
产品的最大位移
W2=m2g

• 以 m1为研究对象
运动微分方程为： m1x1 k1(x1 x2 )
令 x x1 x2
则
x1 x x2
m1
m1(x x2 ) k1x 0
k1（x1-x2）
m1x k1x m1x2 x(0) x1 (0) x2 (0)
•以m2为研究对象:
m2 k2
2
k2 m2
研究冲击刚开始的
解得：
时候，取半个周期
x2
2gh
2 sin 2t
2gh k2
sin 2t

2W2 h k2
sin
2t

m2

d m sin 2t

x2 2
2gh
sin 2t


2 2
d
m
sin 2t
(0 t
Hale Waihona Puke Baidu2g
也就是说，以水平速度υ1进行的水平冲击，等效于从
跌高h进行的自由跌落垂直冲击。由水平冲击速度υ1
算出的跌高 h 12
2g
称为等效跌高。
第2节 产品脆值
一．产品脆值 1.定义: 产品经受振动和冲击时用以表示其强度的定量指标。 又称为产品的易损度。此值表示产品对外力的承受能力。
2.表示方法: • 用重力加速度的倍数G表示。G值愈大，表示产品对外力的承
3.破损因素
包装设计中，用产品最大加速度响应来评价
包装的破损情况，xm [G]——影响 xm因素
（1）正弦脉冲作用下的响应 •
•
（2）矩形脉冲作用下的响应
（3）后峰锯齿脉冲作用下的响应
结论：1. 同一脉冲波形，不同的产品（频率不同），响应不同； 2. 同一产品，作用的脉冲波形不同，响应不同；
解以上常微分方程初值问题，得：
x(t) Asin(1t )
x(0) x |t 2

2

2 2
2gh
12

2

c os1
2

2 cos

A1 cos

2 2
A
4gh(1 cos 1 ) 2
1