一元一次方程(组)及其应用

解得， x 2
将 x 2 代入③得， y 1
所以原方程组的解为，xy
2 -1
2x 3y 1 ①
用加减消元法求方程组
x
2
y
2
②
解：将②×②得，2x 4y 4 ③
由①－③得： y 5
将 y 5 代入②得， x 8
所以原方程组的解为，xy
8 5
考点6 一次方程(组)的应用
1.审
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第3章例|3复习解下列方程：
(1)2x＋ 4 1－1＝x－101x2＋1；
(2)344312x－14－8＝32x. 解：(1)去分母，得 3(2x＋1)－12＝12x－(10x＋1)． 去括号，得 6x＋3－12＝12x－10x－1. 移项，得 6x－12x＋10x＝－1－3＋12. 合并同类项，得 4x＝8. 系数化为 1，得 x＝2.
其他常用关 系量
(1)甲、乙合做的工作效率＝甲的工作 效率＋乙的工作效率；(2)通常把工作
总量看作“1”
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命题角度： 1．利用一元一次方程解决生活实际问题； 2．利用二元一次方程组解决生活实际问题．
例 1、 为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正 在修建贯穿星城南北、东西的地铁 1、2 号线．已知修建地铁 1 号线 24 千米和 2 号线 22 千米共需投资 265 亿元；若 1 号线每千 米的平均造价比 2 号线每千米的平均造价多 0.5 亿元．
1.已知x=3是关于x的方程2x-a=1的解,则a的值为 ( ) A.-5 B.5 C.7 D.-7 答案:B
考点3 一元一次方程的解法
一元一次方程的定义：只含有____一____个未知数，且未知 数的最高次数是_____1___次的整式方程，叫做一元一次方程．
一元一次方程的一般形式_a_x_＋__b__＝__0_(a_≠_0_)_．
)
去括号，得 9x＋15＝4x－2；(__去__括_号__法__则_或__乘__法_分__配_律__)
(____移_项_____)，得 9x－4x＝－15－2；(__等__式_性__质__1_)
合并，得 5x＝－17；(_合_并__同__类_项_)
(__系__数__化_为__1_)，得 x＝－157.(___等__式_性__质__2__)
0.3㎏ 1㎏
(1)利用这些材料能制作A.B两种工艺品各多少件?
(2)若每公斤甲.乙种材料分别为8元和10元,问制 作A.B两种型号的工艺品各需材料多少钱?
3.总量不变问题
1.某汽车生产厂接受了一份订单，要在 规定的日期内生产一批汽车，如果每天 生产35辆，则差10辆完成任务，如果每 天生产40辆，则可提前半天完成任务， 问订单要多少辆汽车，规定日期是多少 天？
解：设甲、乙两地间的、 距离为S千米，规定
时间为t小时,根据题意得方程组
s 50
t
2 5
s
75
t
2 5
例2.甲乙二人以不变的速度在环形路上 、
跑步,如果同时同地出发,相向而行,每隔2 分钟相遇一次;如果同向而行,每隔6分钟 相遇一次.已知甲比乙跑得快,甲乙每分
、
钟各跑多少圈?
解：设甲、乙二人每分钟各跑x、y圈，根据
(1)求 1 号线、2 号线每千米的平均造价分别是多少亿元？ (2)除 1、2 号线外，长沙市政府规划到 2018 年还要再建 91.8 千米的地铁线网．据预算，这 91.8 千米地铁线网每千米的平均 造价是 1 号线每千米的平均造价的 1.2 倍，则还需投资多少亿 元？
解 析 (1)假设1号线，2号线每千米的平均造价分别是 x亿元，y亿元，根据“修建地铁1号线24千米和2号线 22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价 比2号线每千米的平均造价多0.5亿元”分别得出等式求 出即可；
3．二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一 次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
4．二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程 的公共解．
注意：二元一次方程组的解应写为xy＝＝ab，的形式．
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mx＋ny＝7， 例 已知关于 x，y 的方程组 2mx－3ny＝4的解为
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考点7 常见的几种方程类型及等量关系
基本量之间 的关系
路程＝速度×时间
行程 问题
相遇问题 追及问题 流水问题
全路程＝甲走的路程＋乙走的路程 若甲为快者，则被追路程＝甲走的路
程－乙走的路程 v 顺＝v 静＋v 水，v 逆＝v 静－v 水
基本量之间 的关系
工作总量 工作效率＝工作时间
工程 问题
解:设订单要辆x汽车，规定日期是y天,根据
题意得方程组 35y x 10
40( y 0.5) x
x 220
解这个方程组，得
y
6
答：订单要220辆汽车，规定日期是6天
4.销售问题:
标价×折扣=售价 售价-进价=利润
利润率=
利润 进价
售价 进价 进价
(2)去括号，得12x－14－6＝32x.
移项，合并同类项，得－x＝614.
系数化为 1，得 x＝－614.
数学· 新课标（R J）
考点4 二元一次方程(组)的有关概念
1．二元一次方程：含有___两_____个未知数，并且含有 未知数的项的次数都是___1_____的整式方程．
2．二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边 的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
一次方程(组)及其应用
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考点1 等式的概念与等式的性质
等式的概念 表示___相百度文库_等___关系的式子，叫做等式
等式的 性质
性 等式两边加(或减)同一个数或同一个整式
质 所得的结果仍相等．如果 a＝b，那么 a±c
1
＝b±c
等式两边都乘(或除以)同一个数(除数不
性 为 0)所得的结果仍是等式．如果 a＝b，那
列二元一次方程组解应 用题专题训练：
1.行程问题:
1.相遇问题:甲的路程+乙的路程=总的路程 (环形跑道):甲的路程+乙的路程=一圈长
2.追及问题:快者的路程-慢者的路程=原来相距路 程
(环形跑道): 快者的路程-慢者的路程=一圈长 3.顺逆问题:顺速=静速+水(风)速
逆速=静速-水(风)速
例1.某人要在规定的时间内由甲地赶往 乙地,如果他以每小时50千米的速度行 驶,就会迟到24分钟,如果他以每小时75 千米的速度行驶,就会提前24分钟 到达 乙地,求甲、乙两地间的距离.
质 2
么 ac＝bc，ac＝bc(c≠0)
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考点2 方程的概念
1．方程的概念：含有未知数的 等
________叫做方程．
式
2．方程的解：使方程左右两边的值相
等的未知数的值叫做方程的解，也叫它的
根．
3．解方程：求方程解的过程叫做解方
程．
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考点梳理 自主测试
(2)根据(1)中所求得出建91.8千米的地铁线网每千米的 造价，进而求出即可．
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用方程或方程组解决实际问题，关键是先分析出 实际问题中的等量关系，一个方程需要一个等量关 系，方程组则需要两个等量关系．
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x＝1， y＝2，求 m，n 的值．
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考点5 二元一次方程组的解法 二元一次方程组的解法有：代入法，加减消元法．
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2x y 5 ①
用代入消元法求方程组
3 x
4
y
2
②
解：由①得， y 2x 5 ③
将③代入②得： 3x 4(2x 5) 2
题意得方程组 2(x y) 1
解得
x
y
1 3 1 6
6(x y) 1
答:甲、乙二人每分钟各跑
1 、 1 圈，
36
2.图表问题
1.某学校现有甲种材料3５㎏,乙种材 料29㎏,制作A.B两种型号的工艺品, 用料情况如下表:
需甲种材料
需乙种材料
1件A型工艺品 1件B型工艺品
0.9㎏ 0.4㎏
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依据下列解方程0.3x＋0.5＝2x－1的过程，请在前面
0.2
3
的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依 据．
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3x＋5 2x－1 解：原方程可变形为 2 ＝ 3 ；(_分__式__的_基__本__性_质_)
去分母，得 3(3x＋5)＝2(2x－1)；( 等式性质2
2.设
3.列 4.解 5.验 6.答
列方程(组)解应用题的一般步骤 审清题意，分清题中的已知量、未知量 设未知数，设其中某个未知量为x，并注意 单位．对于含有两个未知数的问题，需要设
两个未知数 根据题意寻找等量关系列方程
解方程(组) 检验方程(组)的解是否符合题意
写出答案(包括单位)
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