高二数学组合2PPT课件
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（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙
例3
求证 :Cm n nmm 1Cm n1.
证:明 Cm n m（ ! nn ！ m） !,
n m m 1C m n 1n m m 1(m 1 )(n !n !m 1 )!
m1
n!
(m1)!(nm)n (m1)!
A C A 根 据 分 步 计 数 原 理 ， 3 4
3 3
4 3 .
A 从 而 C A
3
3 C4 3
4
P43 34
P33 3
概念讲解
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的 排列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个
元素的组合数
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A
2 3
6
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙 3
问题一
从已知的3 个不同元素 中每次取出2 个元素,按 照一定的顺 序排成一列.
有
顺
序
排列
问题二
从已知的3个 不同元素中 每次取出2个 元素,并成一 组
n! m!(n m)!
作业P27 习题1.2 2、 9
组合应用
【练习】
1.用m、n表示 C
m n
2.从8名乒乓球选手中选出3名打团体赛，共 有 种
不同的选法；如果这三个选手又按照不同顺序安排，
有
种方法.
3.10名学生，7人扫地，3人推车，那么不同 的分工方 法有 种；
例1. 在产品检验中，常从产品中抽出一部分 进行检查.现有100件产品，其中3件次品，97件 正品.要抽出5件进行检查，根据下列各种要求， 各有多少种不同的抽法？
C
．m
n
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 A
m n
．
根据分步计数原理，得到：AnmCnmAm m
因此：C n mA A m n m mnn 1 n2 m !nm 1
这里m,n是自然数，且 mn ，这个公式叫做组合
数公式．
从 n个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
１）元素相同； ２）元素排列顺序相同.
元素相同
思考三:组合与排列有联系吗?
构造排列分成两步完成，先取后排； 而构造组合就是其中一个步骤.
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的
子集有多少个?
组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备
的所有组合个数是:
C
2 3
3
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出
两个元素的所有组合个数是：
C
2 4
6
练一练
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有 组合
c bd ac d b cd
abc ， abd ， acd ，bcd .
组合
排列
abc
abc bac cab acb bca cba
组合数公式:
C n mA A n m m mn(n1)(n2 m )! (nm1)
Cnm
n! m!(n m)!
我 们 规 定 ： Cn01.
例题分析
例1、计算：⑴
C
4 7
⑵
C
7 10
C A （3）已知：
3
n
2 n
，求n的值
⑴ 35
(2) 120
例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，
（1）列出所有各场比赛的双方； （2）列出所有冠亚军的可能情况. 解：（1） 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
无
顺
组合
序
概念讲解
组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
?
排列与组合的 概念有什么共 同点与不同点？
概念讲解
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
n! m!(nm)!
Cmn .
●思悟小结
1.理解组合的定义，区别排列与组合之间的关系.
（1）有序与无序的区别
（2）同是从n个元素中取m个元素，但是组合 一旦取完就结束，而排列还要继续进行排序
2.理解组合数的的定义与公式
（1）C n mA A n m m mn(n1)(n2 m )! (nm1)
（2）Cnm
多少种车票?
排列问题
有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共
需握手多少次?
组合问题
组合是选择的结果，排列 是选择后再排序的结果.
概念理解
1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的 所有组合分别是: ab , ac , bc (3个)
2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-3
1.2.2《组合》
教学目标
• 1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式； • 2.能正确认识组合与排列的联系与区别 • 教学重点： • 理解组合的意义，掌握组合数的计算公式
情境创设
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
abd
abd bad dab
你发现ad了b bda dba
acd
什么ac?d cad dac
adc cda dca
bcd cbd dbc
ຫໍສະໝຸດ Baidubcd
bdc cdb dcb
（三个元素的）1个组合，对应着6个排列
A 对于
3 4
，我们可以按照以下步骤进行
C 第 一 步 ，3（ 4 ） 个 ； 4
A 第 二 步 ，3（ 6 ） 个 ； 3
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合．
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.
概念理解 思考一:aB与Ba是相同的排列 还
是相同的组合?为什么?
思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同 的组合呢?
素的所有组合.
a
b
c
b cd
cd
ab , ac , ad , bc , bd , cd
d
(6个)
概念讲解
组合数
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m
个元素的组合数，用符号 C nm表示.
注意：
C
m n
是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素
例3
求证 :Cm n nmm 1Cm n1.
证:明 Cm n m（ ! nn ！ m） !,
n m m 1C m n 1n m m 1(m 1 )(n !n !m 1 )!
m1
n!
(m1)!(nm)n (m1)!
A C A 根 据 分 步 计 数 原 理 ， 3 4
3 3
4 3 .
A 从 而 C A
3
3 C4 3
4
P43 34
P33 3
概念讲解
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的 排列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个
元素的组合数
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A
2 3
6
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙 3
问题一
从已知的3 个不同元素 中每次取出2 个元素,按 照一定的顺 序排成一列.
有
顺
序
排列
问题二
从已知的3个 不同元素中 每次取出2个 元素,并成一 组
n! m!(n m)!
作业P27 习题1.2 2、 9
组合应用
【练习】
1.用m、n表示 C
m n
2.从8名乒乓球选手中选出3名打团体赛，共 有 种
不同的选法；如果这三个选手又按照不同顺序安排，
有
种方法.
3.10名学生，7人扫地，3人推车，那么不同 的分工方 法有 种；
例1. 在产品检验中，常从产品中抽出一部分 进行检查.现有100件产品，其中3件次品，97件 正品.要抽出5件进行检查，根据下列各种要求， 各有多少种不同的抽法？
C
．m
n
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 A
m n
．
根据分步计数原理，得到：AnmCnmAm m
因此：C n mA A m n m mnn 1 n2 m !nm 1
这里m,n是自然数，且 mn ，这个公式叫做组合
数公式．
从 n个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
１）元素相同； ２）元素排列顺序相同.
元素相同
思考三:组合与排列有联系吗?
构造排列分成两步完成，先取后排； 而构造组合就是其中一个步骤.
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的
子集有多少个?
组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备
的所有组合个数是:
C
2 3
3
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出
两个元素的所有组合个数是：
C
2 4
6
练一练
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有 组合
c bd ac d b cd
abc ， abd ， acd ，bcd .
组合
排列
abc
abc bac cab acb bca cba
组合数公式:
C n mA A n m m mn(n1)(n2 m )! (nm1)
Cnm
n! m!(n m)!
我 们 规 定 ： Cn01.
例题分析
例1、计算：⑴
C
4 7
⑵
C
7 10
C A （3）已知：
3
n
2 n
，求n的值
⑴ 35
(2) 120
例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，
（1）列出所有各场比赛的双方； （2）列出所有冠亚军的可能情况. 解：（1） 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
无
顺
组合
序
概念讲解
组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
?
排列与组合的 概念有什么共 同点与不同点？
概念讲解
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
n! m!(nm)!
Cmn .
●思悟小结
1.理解组合的定义，区别排列与组合之间的关系.
（1）有序与无序的区别
（2）同是从n个元素中取m个元素，但是组合 一旦取完就结束，而排列还要继续进行排序
2.理解组合数的的定义与公式
（1）C n mA A n m m mn(n1)(n2 m )! (nm1)
（2）Cnm
多少种车票?
排列问题
有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共
需握手多少次?
组合问题
组合是选择的结果，排列 是选择后再排序的结果.
概念理解
1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的 所有组合分别是: ab , ac , bc (3个)
2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-3
1.2.2《组合》
教学目标
• 1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式； • 2.能正确认识组合与排列的联系与区别 • 教学重点： • 理解组合的意义，掌握组合数的计算公式
情境创设
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
abd
abd bad dab
你发现ad了b bda dba
acd
什么ac?d cad dac
adc cda dca
bcd cbd dbc
ຫໍສະໝຸດ Baidubcd
bdc cdb dcb
（三个元素的）1个组合，对应着6个排列
A 对于
3 4
，我们可以按照以下步骤进行
C 第 一 步 ，3（ 4 ） 个 ； 4
A 第 二 步 ，3（ 6 ） 个 ； 3
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合．
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.
概念理解 思考一:aB与Ba是相同的排列 还
是相同的组合?为什么?
思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同 的组合呢?
素的所有组合.
a
b
c
b cd
cd
ab , ac , ad , bc , bd , cd
d
(6个)
概念讲解
组合数
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m
个元素的组合数，用符号 C nm表示.
注意：
C
m n
是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素