-微分方程及其解几何意义、分离变量方法

律如下 x2 (t) = −g t2/2 + 20 ； (3) 在时刻 t=0，假设落体位置 x(0)=10, 落体速度是 x'(0) = 10 ，则从 10 米处先上抛再自由
下落，规律如下 x3 (t) = −g t2/2 +10 t +10 ； (4) 在时刻 t=0，假设落体位置 x(0)=10, 落体速度是 x'(0) = −10 ，则从 10 米处先下抛后下
1.2 微分方程基本概念及其几何解释
[教学内容] 1. 介绍微分方程及其解的概念、方程分类; 2.介绍一阶微分方程及其解的几何解 释; 3. 引入变量分离方法求解一阶微分方程; 4. 介绍积分常数由来引入微分方程定解条件-初值条件和边值条件. [教学重难点] 重点是知道微分方程分类和定解条件，难点是如何根据如何从几何角度来理 解一阶微分方程及其解. [教学方法] 自学 1、2；讲授 3、4，5 课堂练习 [考核目标] 1. 会分清常微分方程和偏微分方程、能认清线性微分方程和非线性微分方程、能知道微分 方程的阶数; 2. 会用分离变量方法求解一阶微分方程通解及其初值问题 ; 3. 知道函数相关 性和函数无关性，并会用 Jacobi 矩阵来判别; 4. 会用方向场和等倾线方法来描述微分方程解 的性质.
⎧ ̇ẋ = −g
初始位置.
相应地称研究 ⎩⎨x(t0 ) =
x0, x'(t0 ) =
的解问题为初值问题或柯西问题；
x1
⎧̇ẋ = −g
称研究
⎨ ⎩
x(t
0
)
=
x0,
x(t1 )
=
x1
的解问题为边值问题.
一般情形下定义（参见教材 P18 表达
式(1.42)式和 P370 表达式(1)-(4)）.
（*）的通解.
例 14. 验证 x = gt 2/2 + c1t + c2 为二阶方程 ̇ẋ = −g 的通解.
解：
x
=
gt
2/2
+
c1t
+
c2
，
x'
=
gt
+
c1
，
det(
∂(x, x') ∂(c1, c2 )
)
=
t 1
1 0 = −1 ≠ 0 , 因此， (c1, c2 ) 是
独立的, 因此， x = gt 2/2 + c1t + c2 为二阶方程的通解.
落，规律如下 x4 (t) = −g t2/2 −10 t +10 .
(5) 经观察在时刻 t=0，落体位置 x(0)=10, 在时刻 t=2，落体位置为 x(2)=20，则先上抛再下
落，规律如下 x5 (t) = −g t 2/2 + 20 t +10 ，这里取 g=10 m/s2 .
在上述 5 中情形下方程的解都是确定的，其中(1)-(4)是给出了初始时刻的位置和速度，也就 是给出某个时刻的未知函数及其一阶导数的值，这组条件就称之为初值条件； (5)中给出了 两个不同时刻的位置，也就是给出了 x(0)和 x(2)的值，这组条件称之为边值条件.
练习 9. 教材 P26 习题 1.
2. 微分方程的解与定解条件 考察落体问题，以铅直向上的方向建立直线坐标系，设落体在 t 时刻位置为 x，则由牛顿第
二定律知，
̇ẋ
=
−g
，其中
g
为重力加速度，负号是由于力方向和
x
轴正向相反，
̇ẋ
=
d2x dt 2
.
考察函数 x = φ(t) = − g t2 , x = ψ(t) = − g t2 − t +1，将上述两个函数代入方程 ̇ẋ = −g ，易
这里大家很快发现：微分方程 ̇ẋ = −g 解不唯一，有无穷多个. 这里原因是确定解的条件不
足. 解释如下：(1) 在时刻 t=0，假设落体位置 x(0)=10, 落体速度是 x'(0) = 0 ，则从 10 米处
自由下落，规律如下 x1(t) = −g t2/2 +10 ； (2) 在时刻 t=0，假设落体位置 x(0)=20, 落体速度是 x'(0) = 0 ，则从 20 米处自由下落，规
d dx
dx
dx
dx
∫ ∫ 改写方程为微分形式 ( ) = −g, d( ) = - gdt,
dt dt
dt
d( ) = dt
- gdt, dt = −g t + c1 ，
∫ ∫ dx = (−g t + c1) dt, dx = (−g t + c1) dt, x = −g t2/2 + c1 t + c2 ，其中 c1, c2 为积分常数.
∂(u, v)
u = u(x, y), v = v(x, y) ，进而 z = z(u, v) = ~z(x, y) = 1− x2 − y2 ，因此，变量 z 与变量 x,
y 函数相关.
一般地，考察 n 阶微分方程 F(t, x, x',⋯, x(n) ) = 0, (*) ，若有解 x = φ(t, c1, c2,⋯, cn ) ，其
dy (2) 设 y=y(x)为方程 = f(x, y) 一个特解，则其图像称为方程的一条积分曲线，若 y=y(x,c)
dx
为方程的通解，则其图像为一族积分曲线.
(3) 由上述定义知，方程 dy = f(x, y) 任一条积分曲线上每点切线与该点线素重合；反过来， dx
变量 x 和 y 就不独立了，它们是函数相关的，即 y= sin x. 再比如，设(u,v)为平面上任一点，变量 x= u cos v, y= u sin v， 则问变量 x, y 是否独立？
从形式上看，这个变换是极坐标变换，由 ∂(x, y) = u ≠ 0 知，(u,v)是(x,y)的函数，因此变量 ∂(u, v)
为一个方阵.
(2) 隐函数定理和反函数定理：（参见《数学分析下》P148 定理 18.1 和 P155 定理 18.5） (3) 变量的函数相关性：高等代数中介绍过向量的线性相关性和线性无关性 . 后面也会提到
函数的线性相关性和线性无关性. 这里介绍变量独立和变量的函数相关性.
举一个例子，整个平面上点(x,y)，这里 x 和 y 就是独立的；对于曲线 Γ : y = sin x 上点(x,y)，
2
2
见：左端 = 右端. 于是我们称 φ(t), ψ(t) 为方程的两个解.
一般地，考察微分方程 dy = f(x, y) . 若已知函数 y = ϕ(x) 代入上述方程使得微分方程等式 dx
成立，则称ϕ(x) 为微分方程的一个解.
练习 10. 教材 P27 习题 2.（5）、(6)； 习题 3. (2)、(6).
1. 认识微分方程及其类型
(1) dy = 2x, (2) dy = y, (3) dy = (sin x) ⋅ y + ex , (4) dy = y2 +1, (5) y = x ⋅ dy + sin( dy )
dx
dx
dx
dx
dx dx
(7)
d2y t
dt 2
+ 1− t
dy − 1 y = t −1, dt 1− t
练习 12.
d2y 验证教材 P27 习题 2 中(5)和(6)都是二阶方程 dx2
+ ω2y
= 0 的通解.
4. 方向场、积分曲线、等倾线
(1)
dy
方向场：考察方程
= f(x, y) ，在 f(x,y)定义区域 G 内每一点(x,y)作小直线段，其中斜
dx
率为 k=f(x,y), 箭头方向表示 x 增加的方向，称所得的小切线段为线素，称画出所有线素后 所得到图像为方程所定义的方向场；称所有具有相同斜率 k 的点全体为等倾线.
(2) 由题意知，y(1)=4，于是 4 = 12 + c, c = 3 ，因此所求特解为 y = x 2 + 3 . dy
(3) 直线 y = 2x + 3 斜率为 k = 2 ，于是由相切条件知 = 2x = 2 ，解得 x=1，相应地 dx
y = 2 + 3 = 5 . 于是相切点为(1, 5)，也就是解通过点(1, 5). 于是 5 = 12 + c, c = 4 . 所求特解
下的 Jacobi 矩阵
⎜⎛ ∂y1 ⋯ ∂y1 ⎟⎞
∂(y1, y2 ,⋯, ym ) ∂(x1, x2 ,⋯, xn )
=
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
∂x1 ⋮ ∂y m ∂x1
⋯
∂x n ⋮
∂y m ∂x n
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
，特别地，若
m=n，则
∂(y1, y2 ,⋯, ym ) ∂(x1, x2 ,⋯, xn )
为 y = x2 +4.
∫ ∫ (4)
1
ydx =
1 (x 2
+ c)dx
=
1
+c=
2,
c
=
5 ，所求特解为 y
=
x2
+5/3.
0
0
3
3
(5) 图像为抛物线 y = x2 经向上多次适当平移所得, 如图.
dx 2
作业 11. 给定一阶方程 =
. (1) 求出方程的通解；(2) 分别求出过点(0,1)和(2,1)的特
dy 例 13. 给定一阶微分方程 = 2x ，(1) 求出它的通解； (2) 求通过点(1, 4)的特解； (3) 求
dx
1
∫ 出与直线 y=2x+3 相切的解；(4) 求出满足条件 y dx = 2 的解；(5) 绘出(2)-(4)解的图像. 0
∫ ∫ 解：(1) 改写方程为 dy = 2x dx, dy = 2x dx, y = x2 + c 为所求通解.
一般地，我们称含有 两个 独立任意常数 c1, c2 的解为 x = −g t 2/2 + c1 t + c2 为二阶 方程
̇ẋ = −g 通解，称在给定初值条件或边值条件下的解为方程的 特解, 初值条件和边值条件统
称为定解条件，用来确定通解中相应独立常数 . 在该例题中 c1 对应于初始速度， c2 对应于
(8)
⎛ ⎜
dy
3
⎞ ⎟
+
t
dy
+
y
=
0,
⎝ dt ⎠ dt
d4x d2x (9) dt4 + 2 dt2 + x = 0,
∂u ∂u
(10)
α ∂x
+β ∂y
= 0,
(11)
yz x
− xzy
= 0,
(12)
∂2u ∂x 2
+
∂2u ∂y 2
+
∂2u ∂z 2
=
0, (13) α
∂u ∂x
+β
∂u ∂y
中 ∀(c1, c2 ,⋯, cn ) ∈ R n ，我们知道初始条件 x(t0 ), x'(t0 ),⋯, x(n−1) (t0 ) 应该是 n 个独立变
量，可以任意选取，就像落体那个例子所呈现的. 下面的问题是考虑任意初始条件能否对应
于确定的 (c1, c2 ,⋯, cn ) 呢？
∂(x, x',⋯, x(n-1) ) 这 就 看 在 某 个 邻 域 内 ∂(c1, c2 ,⋯, cn ) 是 否 行 列 式 不 为 零 . 若 行 列 式 不 为 零 ， 则 称 解 x = φ(t, c1, c2 ,⋯, cn ) 中常数 (c1, c2 ,⋯, cn ) 是独立的，称具有 n 个独立常数的解为 n 阶方程
dt t2 −1
解；(3) 画出上述特解的图像.(定义域、单调性、凸凹性)
3. Jacobi 矩阵、变量之间的函数相关性、变量独立性和 n 阶方程的通解
(1) Jacobin 矩阵：设有 n 个自变量的多元函数 yi = fi (x1, x 2 ,⋯, xn ), i = 1,2,⋯, m ，定义如
+ u2
=
0பைடு நூலகம்
(1) 方程：是含有 ”未知” 的等式，象 2 + 3 = 5 虽是等式但不是方程. 若未知的是一个数，
那就是代数方程；若未知的是一个函数，那就是函数方程. 上面 13 个等式都是方程，未知 的都是函数，因此上面 13 表达式都是函数方程. (2) 常(偏)微分方程：函数方程中未知的是一元函数且含有其导函数，则称其为常微分方程 （如上例(1)-(9)）；若函数方程未知的是多元函数且含有偏导数，则称为偏微分方程.(如上例 (10)-(12)) (3) 线性(非线性)微分方程：若方程中出现的未知函数及其导函数或偏导函数都是一次的， 则称其为线性微分方程，这里分类不管方程中自变量以何种函数形式出现。(1)-(3)、(7)、(9)、
x, y 是独立的，它们可以在允许范围内独立任意取值.
再举上半球面 x = sin u cos v, y = sin u sin v, z = cos u ， u ∈ (0, π/2), v ∈ (0,2π) .
∂(x, y)
这里三个变量 x, y, z 真正独立的只有两个，因为
= sin u ≠ 0 ，可以由隐函数定理知
(10)-(12)都是线性的；(4)-(5)、(8)、（13）不是，出现未知函数 y2 和 sin y ' .
(4) 方程的阶数：微分方程中出现的未知函数导函数或偏导函数最高阶数称之为方程的阶数. 例如(1)-(5)、(8)、(10)、(13)都是一阶微分方程；(7)、(12)是二阶微分方程；(9)是四阶微分 方程.