公因数与最大公因数

1.5 公因数与最大公因数

知识点1：公因数和最大公因数的概念

几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，称为这几个数的最大公因数。

几个数的公因数必须包含它们公有的素因数（至少一个），而几个数的最大公因数必须包含它们全部公有的素因数。

例题 求18和30的最大公因数

解法1 18的因数有1，2，3，6，9，18

30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30

18和30的公因数有1，2，3，6

最大的公因数是6

拓展 以上的例题3有没有更快捷的方法呢？

解法2：把18和30分别分解素因数

18=2×3×3

30=2×3×5

可以看出，18和30全部共有的素因数是2和3，因此2和3的乘积6就是18和30的最大公因数

求几个整数的最大公因数，只要把它们所有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数

解法3 为了简便，也可以用短除法计算

18和30的最大公因数是2×3=6

知识点2： 互素

如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素。

注：互素是指两个数之间的关系，与素数没有因果关系。

在以下情况下可以判断两个数是互素：

（1）两个不同的素数互素；

（2）1和任何正整数互素；

（3）两个相邻的正整数互素 （除到两个商 互素为止）

（用公用的素因数3除）（用公用的素因数2除）53159323018

（4）一个素数和一个合数，且没有倍数关系，它们是互素。

知识点3 求最大公因数的方法

（1）列举法：分别列出两个数的因数，从公因数中找出它们的最大公因数。（2）分解素因数法：把两个数分解素因素，最大公因数就是它们公有素因素的乘积。

（3）短除法：用两个数的公因数去除，除到商是互素为止，所有除数的乘积就是这两个数的最大公因数。

（4）特征法：如果两个数是互素，它们的最大公因数是1。

如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公

因数。