人教版九年级数学上册圆周角

人教版九年级数学上册
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
BAC 1 BOC 2
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圆心O在∠BAC的内部
A
A
A
O
OO
O
B
B
C
D
D
BAD 1 BOD 2
BAC
BAD DAC
1
1
(BOD DOC ) BOC
2
2
C
D
DAC 1 DOC 2
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
E
∴∠ADB=90°∴，AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴BD=CD.
B
DC
∵AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
BD DE （同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）.
课堂小结
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角与直 线的关系
圆周角定理
圆周角定理 的推论
1.顶点在圆上， 2.两边都与圆 相交的角（二 者必须同时具 备）
∠B+ ∠D=180º
想一想： 如何证明你的猜想呢？
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证明猜想
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
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想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
圆周角和直径的关系： 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.
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典例精析
例1 如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求
∠ABC的大小.
AC
解：∵AB是☉O的直径，
O
∴∠ACB=90°（直径所对
的圆周角等于90°.）
B
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB =180°-90°-80°=10°.
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例5：如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交 ⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O， ∴∠FGD＝∠ACD. 又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E， ∴AB垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠FGD＝∠ADC.
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： ACB 1 AOB,
2
BAC 1 BOC,
O
2
∠AOB=2∠BOC，
A
C B
∴∠ACB=2∠BAC
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9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到
暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两
点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁 危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全 区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？
果∠BOD=130°,则∠BCD的度数是
（ C）
B
A 115° B 130°
C 65° D 50°
P
5.如图，等边三角形ABC内接于⊙O，
P是AB上的一点，则∠APB=120°. A
C O
AD C
B
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6.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角
∠ACB= 130° ，∠ADB= 50° .
70°＝100°.
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三 圆内接四边形
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这 个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边 形的外接圆.
探究性质 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
⊙O为四边形ABCD的外接圆. 猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间 的关系为：∠A+ ∠C=180º，
的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？
解：∵OA=OB=OC，
C
∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.
A
∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.
O·
B
又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.
∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.
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知识要点
圆周角和直径的关系
解：当船位于安全区域时， 即船位于暗礁区域外（即 ⊙O外） ，与两个灯塔的夹 角∠α小于“危险角”.
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拓展提升：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?
A
(2)求证：BD DE .
解:BD=CD.理由是:连接AD,
(2)若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？
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知识要点
圆周角定理的推论
同弧或等弧所对的圆周角相等.
A2
A1
A
3
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试一试： 1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、 C所在直线的同侧，∠BAC=35º.
(1)∠BOC= 70 º，理由 是 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ; (2)∠BDC= 35 º，理由是 同弧所对的圆周角相等 .
半圆或直径所 对的圆周角都 相等，都等于 90°（直角）.
在同圆或等圆中，同 弧或等弧所对的圆周 角相等，都等于该弧 所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的 弧相等.
1.90°的圆周角所 对的弦是直径；
2.圆内接四边形的 对角互补.
方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关 系的重要依据．
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练一练
如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝ 120°，那么∠BCD是( A )
A．120° B．100° C．80° D．60°
解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝ 180°－60°＝120°，故选A.
导入新课
复习引入
问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？ A 顶点在圆心的角叫圆心角, ∠BOC.
问题2 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点? ∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、 C两点.
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视频引入
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思考： 图中过球门A、C两点画圆，球员射中球门的 难易程度与他所处的位置B、D、E有关（张开的角度 大小）、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点 的位置射门更有利？
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例2 如图，分别求出图中∠x的大小.
x 60°
20° B Dx
E
30°
A FC
解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°. (2)连接BF， ∵同弧所对圆周角相等，
∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°. ∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
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例4 如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P, ∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度数.
解:连接BC,则∠ACB=90°,
∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝
90°－60°=30°.
A
C
.O
P
B
又∵∠BAD=∠DCB=30°,
D
∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋
∴∠A＋∠C＝180°，
D
同理∠B＋∠D＝180°， A
延长BC到点E，有
O
∠BCD＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
B
CE
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归纳总结
推论：圆的内接四边形的任何一个外
角都等于它的内对角.
D
A O
B
CE
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练一练
1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°， ∠B=80°，则∠C= 70º ，∠D= 100º . 2．⊙O的内接四边形ABCD中， ∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D= 90º .
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第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
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学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
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2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD
为四边形ABCD的对角线.
D
(1)完成下列填空：
∠1= ∠4. ∠2= ∠8.
78
A
1 2
34
O6
5
C
∠3= ∠6.
B
∠5= ∠7.
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想一想
如图，线段AB是☉O的直径，点C是 ☉O上的任意一
点（除点A、B外），那么，∠ABC就是直径AB所对
∵BD平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB ,∠BAC=∠BDC .
∴ ∠BAC=∠ACB,
∴AB=BC.
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
B
AB BC 2 AC 2 10 5 2(cm).
2
2
归纳 解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条 件，则考虑构造直角三角形来求解.
3.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于 点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（A ） A.30° B.40° C.50° D.60°