浅谈微分中值定理及其应用

f (b))的弦 。 综上所述 , 这三个中值定理归纳起来 , 用几何解
释为 :在区间[ a , b ] 上连续且除端点外每一点都存
在不垂直于 x 轴的切线的曲线 , 它们有个共同的特 征 ——— 在曲线上至少存在一点 , 过该点的切线平行
于曲线端点的连线 。
2 .4 微分中值定理的深层阐述
2 .4 .1 罗尔定理
2 .4 .1 .1 罗尔定理的证明是借用最值定理及
费马定理
从罗尔定理的证明中我们可得到 :(1)符合罗
尔定理条件的函数在开区间(a , b )内必存在最大值
或最小值 。
(2)在开区间(a , b)内使 f′(x)=0 的点不一
定是极值点 。
例如函数
f (x )=
x3 4
(5
-3 x )在闭区间[
2010 年 2 月 第 10 卷第 1 期
廊坊师范学院学报(自然科学版) Journal of Langfang Teachers College(N aturnal Science Edition)
Feb .2010 V ol.10 No .1
浅谈微分中值定理及其应用
党艳霞
(驻马店职业技术学院 , 河南 驻马店 463000) 【摘 要】 多角度阐述 微分中值定理及其三个定理之间的关系 , 并举例说明 微分中值定理的应用 。 【关键词】 微分中值定 理 ;极值 ;介值定理
设在点 ξ∈ (a , b )处 , 有 f′(ξ)=0 , 不妨设导 函数 f ′(x)是严 格单 调减 少 的函 数(否 则 , 讨 论 g(x)=-f (x)即可)。因为 f′(ξ)=0 , 故当 x <ξ 时 , f′(x)>0 ;当 x >ξ时 , f′(x)<0 。因而函数 y = f (x )在点 ξ处取的极大值 。根据极大值的定义 ,
连续 , 在开区间(a , b)内可导 , 且导函数 f′(x )是严 格单调函数 , 则在点 ξ∈ (a , b)处 , 有 f′(ξ)=0 的 充分必要条件是存在 α, β ∈ [ a , b] , α< ξ< β , 使 得 f (α)= f (β)。
证明 首先 , 由罗尔定理可以保证充分 性成 立 。下面证必要性成立 。
可取点 ξ的邻域[ ξ-δ, ξ+δ] [ a , b] , 使得在此
邻域内有 f (x)< f (ξ), 当 x ≠ ξ时 ,
①若 f (ξ-δ)= f (ξ+δ), 则取 α= ξ-δ, β
= ξ+δ, 就有 f (α)= f (β)。
②若 f (ξ- δ) < f (ξ+ δ), 则作辅 助函 数
数)上 可 导 , 且 lim f (x ) = c(c 为 常 数), 则 x ※+∞ lim f′(x )=0” 这一命题正确吗 ? x ※+∞
证明 设 x 为任意正数 , 由题设知 f (x)在闭
区间[ x , 2 x] 上连续 , 在开区间(x , 2 x)内可导 , 由
拉格朗日定理知 , 至少存在一点 ξ∈ (x , 2 x ), 使得
连续 , 在开区间(a , b)内可导 , 且导函数 f′(x)是严
格单调 函数 , 则对任意 ξ∈ (a , b), 一定 存在 α, β ∈ [ a , b] , α < ξ < β , 使 得 f′(ξ) = f (β)β --αf (α)。
证明 不妨设导函数 f′(x)是严格单调增加
函数 , 取点 ξ的邻域[ ξ-δ, ξ+δ] [ a , b] ,
①若 f (ξ+δ)2-δf (ξ-δ)= f ′(ξ), 则取 α= ξ-δ, β = ξ+δ, 就有
f′(ξ)= f (β)β - -fα(α)。
②若
f
(ξ+δ)-f 2δ
(ξ-δ)>
f′(ξ), 则作辅助
函数
F(x)=
f
(x x
)--(ξf (-ξδ-)δ)-f′(ξ),
于是
F(ξ+δ)= f (ξ+δ)2-δf (ξ-δ)-f ′(ξ)>0 ,
1 引言
微分中值定理是构成微分学基础理论的重要内 容 , 是微分学中的基本定理 , 是研究函数性质的有力 工具 。 它不仅沟通了函数与其导数的关系 , 而且也 是微分学理论应用的 桥梁与基石 。 但其理论性较 强 , 内容抽象 , 在教学过程中又容易照本宣科 , 导致 学生学习兴趣不大 , 而且难于理解和应用 , 容易得出 错误结论 。 下面针对这一现状 , 着重论述微分中值 定理及其应用 。
On Differential Mean Theorem and Its Application
D A NG Y an-xia
【Abstract】 This ar ticle deeply expounds the relationship between differential mean theorem and its other theorems fro m several perspectives and illustrates the differential mean theorem applications with examples . 【Key words】 differential mean theo rem ;extreme ;intermediate value theorem 〔中图分类号〕 O 172 〔文献标识码〕 A 〔文章编号〕 1674-3229(2010)01 -0028 -04
y = x 3 在[ - a , a] 上连 续 , 在(-a , a)内可导 ,
f ′(0)=0 , 但是不存在 α, β ∈ [ -a , a] , α< β , 使
得 f (α)= f (β)。 但如果加强条件 , 下述定理成立 : 定理 2 设函数 y = f (x )在闭区间[ a , b ] 上
=0 了。
例如
函数
f
(x
)
=
sin x x
2
满足 lim f (x )= x ※+∞
0,且
f′(x)=2cos x 2
-
1 x2
sin
x
2
在(0 ,
+ ∞)内存
在 , 但 lim f′(x )= lim
x ※+∞
x ※+∞
2 cosx 2
-
1 x2
sin x 2
并不
存在 , 当然 lim f′(x)=0 不会成立 。 x ※+∞ 2 .4 .2 .2 对问题的条件稍作补充后得到的结
[ 收稿日期] 2009 -12-08 [ 作者简介] 党艳霞(1973-), 女 , 驻马店职业技术学院公共基础部讲师 , 研究方向 :高等数学 、线 性代数 。
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第 10 卷·第 1 期
党艳霞 :浅谈微分中值定理及其应用
2010 年 2 月
点 , 过该点的切线平行于过曲线两端 点的弦(或 x
-1 ,
2] 上 满 足 罗 尔 定 理 的 三 个 条 件 , 由 f′(x) = 3x 2(5/ 4 -x), 显然 ξ=0 , 有 f′(ξ)=0 成立 , 但 ξ=0 不是 f (x)的极值点 。但加强条件 , 可得如下
定理 :
定理 1 若函数在闭区间[ a , b] 上满足罗尔定 理的三个条件 , 且在开区间(a , b)内只有唯一的一
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间[ a , b] 上连续 , 在开区间(a , b)内可导 , 若在点 ξ∈ (a , b )处 , 有 f′(ξ)=0 , 则存在 α, β ∈ [ a , b] ,
α< ξ< β , 使得 f (α)= f (β)。 例 函数 y = x 3 , x ∈ [ -a , a] (a >0), 显然
③若 f (ξ-δ)>f (ξ+δ), 作辅助函数 F(x)
= f (x)-f (ξ-δ), 采用上述方法 , 同理可证 , 故原
命题成立 。
2 .4 .2 拉格朗日定理
2 .4 .2 .1 拉格朗日定理结论中的点 ξ不是任
意的
请看下例 :
问题 “若函数 f (x)在(a , +∞)(a 为任意实
轴)。
拉格朗日定理 在曲线 y = f (x)上存在这样 的点 , 过该点的切线平行于过曲线两端点的弦 。
柯西中值定理
在曲 线
X Y
= =Ff ((xx))(其中 x
为参数 , a ≤ x ≤ b)存在一点 , 使曲线过该点的切
线平行于过曲线两端点 A (F(a), f (a)), B (F(b),
2 微分中值定理
2 .1 微分中值定理的基本内容 微分中值定理是反映导数值与函数值之间的联
系的三个定理 , 它们分别是罗尔定理 、拉格朗日定理 和柯西中值定理 。具体内容如下 :
2 .1 .1 罗尔定理 如果函数 y = f (x )满足 : (1)在闭区间[ a , b] 上连续 ; (2)在开区间(a , b)内可导 ; (3)在 区间 端 点 的函 数 值 相等 , 即 f (a) = f (b), 那么在区间(a , b)内至少有一点 ξ(a < ξ< b), 使函 数 y = f (x)在该 点的 导数 等于 零 , 即 f ′(ξ)=0 。
2 .1 .2 拉格朗日定理 如果函数 y = f (x )满 足:
(1)在闭区间[ a , b] 上连续 ; (2)在开区间(a , b)内可导 , 那么在区间(a , b) 内至少有 一 点 ξ(a < ξ< b ), 使 等 式 f′(ξ) = f (b)b --fa(a)成立 。 2 .1 .3 柯西中值定理 如果函数 f (x)及 F(x) 满足 : (1)在闭区间[ a , b] 上连续 ; (2)在开区间(a , b)内可导 ; (3)对任意 x ∈ (a , b), F′(x)≠ 0 , 那么在区间(a , b)内至少有一点 ξ(a < ξ< b), 使等式Ff ((bb))--Ff ((aa))= Ff′′((ξξ))成立 。 2 .2 三个定理之间的关系 在拉格朗日定理中 , 如果 f (a)= f (b), 则变成 罗尔定理 ;在柯西中值定理中 , 如果 F(x )= x , 则 变成拉格朗日定理 。因此 , 拉格朗日定理是罗尔定理 的推广 , 柯西中值定理是拉格朗日定 理的推广 。反 之 , 拉格朗日定理是柯西中值定理的特例 , 罗尔定理 是拉格朗日定理的特例 。 2 .3 几何解释 罗尔定理 在曲线 y = f (x)上存在这样的
F (x)= f (x )-f (ξ+δ),
于是 F(ξ-δ)= f (ξ-δ)- f (ξ+δ)<0 ,
F (ξ)= f (ξ)-f (ξ+δ)> 0 。
根据介值定理 , 至少存在一点 α∈ [ ξ-δ, ξ] ,
使得 F(α)=0 , 即 f (α)= f (ξ+δ), 则取 β =ξ+
δ, 就有 f (α)= f (β)。
个点 ξ, 使 f ′(ξ)=0 成立 , 则点 ξ必是 f (x)的极值
点。
完全按照罗尔定理的证 法 , 即可证得使 f′(ξ)
=0 成立的唯一点 ξ就是 f (x )在(a , b)内的最值
点 , 当然是极值点 。
2 .4 .1 .2 罗尔定理的逆命题不成立
罗尔定理的逆命题 设函数 y = f (x)在闭区
第 10 卷·第 1 期
lim f′(ξ)=0 。
x ※+∞
上述证明是错误的 , 原因在于 ξ是随着 x 的变 化而变化 , 即 ξ=ξ(x ), 但当 x ※+ ∞时 , ξ(x)未 必连 续地 趋 于 + ∞, 可 能 以某 种 跳 跃方 式 趋于
+ ∞, 而这时就不能由 f′(ξ)趋于 0 推出 lim f′(x) x ※+∞
论
定理 3 若函数 f (x)在(a , +∞)(a 为任意实
数)上可导 , 且 lim f′(x )存在 , 若 lim f (x)= c(c
x ※+∞
x ※+∞
为常数), 则 lim f′(x )=0 。 x ※+∞
2 .4 .2 .3 如何才能使 ξ具有任意性的结论
定理 4 设函数 y = f (x)在闭区间[ a , b] 上
F(ξ)= f (ξ)-fδ(ξ-δ)-f′(ξ)
f′(ξ)=
f
(2
x)x
f
(x
), 又因为
lim f (x)=
x ※+∞
c
,
故
lim
x ※+∞
f (2 x)-f x
(x)=0 。由于
ξ夹在 x
与2x
之间 ,
当 x ※+ ∞ 时 , ξ也趋于 + ∞, 于是 lim f ′(x )= x ※+∞
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廊坊师范学院学报(自然科学版)