信号与系统课件(郑君里版)第四章 PPT课件
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t
0 1 1 则 f () d F ( s ) f () d s s
1 t 例： vC (t ) iC ( )d C
1 1 0 VC ( s) I C ( s) iC ( )d sC sC
1 Ic(s) sC
+
1 vC (0 ) s +
1 f () t f () t [ F () s Fs () ] 1 2 1 2 2 j
s 域卷积定理
（十）s 域微分与积分
若 则
f () t Fs ()
d tf (t) F(s) d s
f( t) F ( ) d s t
20 s 2 ( s 02 )2 s 2 02 L[t cos(0t )u (t )] 2 ( s 02 )2
f (t)
0
F1 ( s) e
st0
1 s 2 12
t
f1 ( t )
×
0
f1 (t ) sin[1 (t t0 )]u(t t0 ) f (t ) sin[1 (t t0 )] sin(1t 0 )
t0
t
cos(0 )sin(1t ) sin(0 )cos(1t ) 1 cos(0 ) s sin(0 ) F (s) 2 2 0 1t0 2 2 s 1 s 1
则
例：
1 tu (t ) 2 , s
te
t
1 u (t ) ( s ) 2
te u(t 5)
t
（六）尺度变换
若
f () t Fs ()
1 s 则 f( a t )F ( ) ( a 0 ) a a
例： 已知
L [ f ( t )] F ( s ), 若 a 0 , b 0 , 求 L [ f ( at b ) u ( at b )
0
0
0
tu (t )
s in ( t) ut () 0
c o s ( t) ut () 0
t e s i n ( tut ) () 0
t e c o s ( tut ) () 0
0 s 2 02 s s 2 02 0 2 ( s ) 2 0 s 2 (s )2 0
1 j s t F ( s ) e d s j 2 j
F ( s) L [ f (t )] f (t )e st dt 0 1 j -1 st f (t ) L [ F ( s)] F ( s ) e ds 2 j j
_
vL (t ) L
dt
VL (s) sLI L (s) LiL (0 )
d d t , cos t u ( t ), [cos t ], [cos t u ( t )] 例2：求 cos 0 0 0 0 dt dt
的拉氏变换。
（三）时域积分特性
若
f () t Fs ()
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析
§4.1 §4.2 §4.3 §4.4 §4.5 §4.6 §4.7 §4.8 §4.9 §4.10 §4.11 §4.12 §4.13 引言 拉普拉斯变换的定义、收敛域 拉氏变换的基本性质 拉普拉斯逆变换 用拉普拉斯变换法分析电路、s 域元件模型 系统函数（网络函数）H( s ) 由系统函数零、极点分布决定时域特性 由系统函数零、极点分布决定频响特性 二阶谐振系统的 s 平面分析 全统函数与最小相移函数的零、极点分布 线性系统的稳定性 双边拉氏变换 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
t
j 1 ( j ) t F ( ) e d ( j ) 1 j 2 j
f1 (t ) f (t )e t
F ( s) f (t )e st dt
0
f1 (t )e jt dt
0
F1 ( )
§4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域 （一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1. 拉氏变换是傅里叶变换的推广 当 f (t ) 满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换
j t F ( ) f () te d t
（1）系统求解中的激励 e ( t ) 、响应 r ( t ) 的非零取值往往是从 t 0 时刻开始的。
t 1 ) u ( t 1 ), t 1 , t 1 , ( t 1 ) u ( t 1 ), 例2：求 ( t tu ( t 1 ), eu ( t 2 ) 的拉氏变换。
例3：书P255,4-19
（五）s 域平移
若
f () t Fs ()
t f() te F ( s )
§4.1 引言
拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具，优点如下：
（1）求解步骤得到简化,可以把初始条件包含到变换式里， 直接求得全响应； （2）拉氏变换分别将时域的“微分”与“积分”运算转换为 s 域的
“乘法”和“除法”运算，也即把微积分方程转化为代数方程；
（3）将指数函数、超越函数等复杂函数转化为简单的初等函数； （4）将时域中的卷积运算转化为 s 域中的乘法运算，由此建立 起系统函数 H(s) 的概念； （5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统 性能的许多规律。
若 f 1 ( t ) 绝对可积，则存在傅里叶变换
t j t F ( ) f () t e d t f ( t)e e d t 1 0 1
j t
0
f (t)e
0
(j )t
d t f (t)est dt
0
s j
1 2 2 tu ( t ) 2 , t u ( t ) 3 s s
1 1 j 1 1 t j t sin tu ( t ) ( e e ) u ( t ) 2 2 j 2 j 2 s j s j s 1 1 j 1 1 s t j t cos tu ( t ) ( e e ) u ( t ) 2 2 2 2 s j s j s
§4.3 拉氏变换的基本性质 （一）线性 若 f ( t ) F ( s ) ,ft ( ) F ( s ) 1 1 2 2
则
1 11 1 s j t j t 例： cos tu ( t ) ( e e ) u ( t ) ( ) 2 2 2 2 s j s j s （二）时域微分特性
Fs ( ) f () te d t
s t 0
s t F ( s ) f () t e d t B
单边拉氏变换
双边拉氏变换
2. 拉氏逆变换
1 jt f ( t ) fte ( ) F () ed 1 1 2 1 ( j ) t f() t F ( ) e d 1 2
L [ f ( t b ) u ( t b )] F ( s ) e sb 1 s sa L [ f ( at b ) u ( at b )] F ( ) e a a 1 s L [ f ( at ) u ( at )] F ( ) a a L [ f ( at b ) u ( at b )] b b L f [ a ( t )] u [ a ( t )] a a 1 s sa F ( )e a a
3s 2 F (s) s 1 2 s 2s 1
3 s 2 f( 0) l i Leabharlann Baidu s2 3 s s 2 s 1
2 s (s ) 2 例2： F ，求 f( 0 ), f( ) s 2 s2
2 2 s f ( 0 ) lim sF ( s ) lim 2 2 s s s 2 s 2
s
2
0
1 L [ ( t )] ( t ) e dt 1 , u ( t ) 0 s
st
(s a ) t eu ( t) F ( s ) e e dt e dt at at st 0 0
1 1 (s a ) t e | 0 s a s a
2 2 s f ( ) lim sF ( s ) lim 0 2 s 0 s 0 s 2 s 2
（九）卷积定理
若 则
f ( t ) F ( s ) ,ft ( ) F ( s ) 1 1 2 2
时域卷积定理 f ( t ) u ( t ) f ( t ) u ( t ) F ( s )( F s ) 1 2 1 2
t t ( ) t l i m e e l i m e 0
t t
（5）对于一些比指数函数增长更快的函数，如 行拉氏变换。
e
t2
，不能进
（四）常用函数的拉氏变换
(t)
u (t)
e
t
1
1
整个 s 平面
u (t )
1 s
1
s
b b
方法一： 由延时性质得： 再由尺度性质得： 方法二： 由尺度性质得： 由延时性质得：
15
（七）初值定理
t 0
lim f ( t ) f ( 0 ) lim sF ( s )
s
应用条件： F ( s ) 为真分式 否则
F (s) M (s) F1 (s) s的多项式 真分式
f (t ) 原函数
F ( s ) 象函数
（3）随时间 t 成正比增长或随 t 成正比增长的信号 0 0 ，收敛域为 s 右半平面
n
limtet 0, limtnet 0, 必须有 0
t
t
（4）按指数阶规律 e
t
增长的信号
0 ，收敛域为
d t d t
0
（2）由于绝对可积条件限制了某些增长信号傅里叶变换的存在。 考虑在 f ( t ) 上乘以收敛因子 e t 。
t f () t f () t e 1
在0 t 上， e t只有在 0时才起收敛作用，且 越大，收敛效果越明显。
1 1 VC ( s) I C ( s) vC (0 ) sC s
Vc(s)
-
（四）延时特性（时域平移）
若
f()() tu t F () s
s t 0 ft ( tu ) ( t t ) eF ( s ) 0 0
则
例1：求f (t ) sin[1 (t t0 )] 的 拉氏变换。
f( 0) l i m s Fs () 1
s
（八）终值定理
lim f ( t ) f ( ) lim sF ( s )
t s 0
应用条件： F ( s ) 的全部极点在 s 左半平面，允许在 s 0 处有一阶极点，以保证终值存在。
3 2 s s 2s 1 例1： F ( s) , 求 f (0 ) 2 s 2s 1
若 则
K f ( tK ) f ( t ) K F ( s ) K F ( s ) 1 1 2 2 1 1 2 2
f () t Fs ()
d f() t s Fs ( ) f( 0) d t LiL (0 ) IL(s) 2 sL d - + 2 ft ( ) s F () s s f ( 0 ) f ( 0 ) 2 d t + VL(s) 例1： diL (t )
0 1 1 则 f () d F ( s ) f () d s s
1 t 例： vC (t ) iC ( )d C
1 1 0 VC ( s) I C ( s) iC ( )d sC sC
1 Ic(s) sC
+
1 vC (0 ) s +
1 f () t f () t [ F () s Fs () ] 1 2 1 2 2 j
s 域卷积定理
（十）s 域微分与积分
若 则
f () t Fs ()
d tf (t) F(s) d s
f( t) F ( ) d s t
20 s 2 ( s 02 )2 s 2 02 L[t cos(0t )u (t )] 2 ( s 02 )2
f (t)
0
F1 ( s) e
st0
1 s 2 12
t
f1 ( t )
×
0
f1 (t ) sin[1 (t t0 )]u(t t0 ) f (t ) sin[1 (t t0 )] sin(1t 0 )
t0
t
cos(0 )sin(1t ) sin(0 )cos(1t ) 1 cos(0 ) s sin(0 ) F (s) 2 2 0 1t0 2 2 s 1 s 1
则
例：
1 tu (t ) 2 , s
te
t
1 u (t ) ( s ) 2
te u(t 5)
t
（六）尺度变换
若
f () t Fs ()
1 s 则 f( a t )F ( ) ( a 0 ) a a
例： 已知
L [ f ( t )] F ( s ), 若 a 0 , b 0 , 求 L [ f ( at b ) u ( at b )
0
0
0
tu (t )
s in ( t) ut () 0
c o s ( t) ut () 0
t e s i n ( tut ) () 0
t e c o s ( tut ) () 0
0 s 2 02 s s 2 02 0 2 ( s ) 2 0 s 2 (s )2 0
1 j s t F ( s ) e d s j 2 j
F ( s) L [ f (t )] f (t )e st dt 0 1 j -1 st f (t ) L [ F ( s)] F ( s ) e ds 2 j j
_
vL (t ) L
dt
VL (s) sLI L (s) LiL (0 )
d d t , cos t u ( t ), [cos t ], [cos t u ( t )] 例2：求 cos 0 0 0 0 dt dt
的拉氏变换。
（三）时域积分特性
若
f () t Fs ()
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析
§4.1 §4.2 §4.3 §4.4 §4.5 §4.6 §4.7 §4.8 §4.9 §4.10 §4.11 §4.12 §4.13 引言 拉普拉斯变换的定义、收敛域 拉氏变换的基本性质 拉普拉斯逆变换 用拉普拉斯变换法分析电路、s 域元件模型 系统函数（网络函数）H( s ) 由系统函数零、极点分布决定时域特性 由系统函数零、极点分布决定频响特性 二阶谐振系统的 s 平面分析 全统函数与最小相移函数的零、极点分布 线性系统的稳定性 双边拉氏变换 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
t
j 1 ( j ) t F ( ) e d ( j ) 1 j 2 j
f1 (t ) f (t )e t
F ( s) f (t )e st dt
0
f1 (t )e jt dt
0
F1 ( )
§4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域 （一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1. 拉氏变换是傅里叶变换的推广 当 f (t ) 满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换
j t F ( ) f () te d t
（1）系统求解中的激励 e ( t ) 、响应 r ( t ) 的非零取值往往是从 t 0 时刻开始的。
t 1 ) u ( t 1 ), t 1 , t 1 , ( t 1 ) u ( t 1 ), 例2：求 ( t tu ( t 1 ), eu ( t 2 ) 的拉氏变换。
例3：书P255,4-19
（五）s 域平移
若
f () t Fs ()
t f() te F ( s )
§4.1 引言
拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具，优点如下：
（1）求解步骤得到简化,可以把初始条件包含到变换式里， 直接求得全响应； （2）拉氏变换分别将时域的“微分”与“积分”运算转换为 s 域的
“乘法”和“除法”运算，也即把微积分方程转化为代数方程；
（3）将指数函数、超越函数等复杂函数转化为简单的初等函数； （4）将时域中的卷积运算转化为 s 域中的乘法运算，由此建立 起系统函数 H(s) 的概念； （5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统 性能的许多规律。
若 f 1 ( t ) 绝对可积，则存在傅里叶变换
t j t F ( ) f () t e d t f ( t)e e d t 1 0 1
j t
0
f (t)e
0
(j )t
d t f (t)est dt
0
s j
1 2 2 tu ( t ) 2 , t u ( t ) 3 s s
1 1 j 1 1 t j t sin tu ( t ) ( e e ) u ( t ) 2 2 j 2 j 2 s j s j s 1 1 j 1 1 s t j t cos tu ( t ) ( e e ) u ( t ) 2 2 2 2 s j s j s
§4.3 拉氏变换的基本性质 （一）线性 若 f ( t ) F ( s ) ,ft ( ) F ( s ) 1 1 2 2
则
1 11 1 s j t j t 例： cos tu ( t ) ( e e ) u ( t ) ( ) 2 2 2 2 s j s j s （二）时域微分特性
Fs ( ) f () te d t
s t 0
s t F ( s ) f () t e d t B
单边拉氏变换
双边拉氏变换
2. 拉氏逆变换
1 jt f ( t ) fte ( ) F () ed 1 1 2 1 ( j ) t f() t F ( ) e d 1 2
L [ f ( t b ) u ( t b )] F ( s ) e sb 1 s sa L [ f ( at b ) u ( at b )] F ( ) e a a 1 s L [ f ( at ) u ( at )] F ( ) a a L [ f ( at b ) u ( at b )] b b L f [ a ( t )] u [ a ( t )] a a 1 s sa F ( )e a a
3s 2 F (s) s 1 2 s 2s 1
3 s 2 f( 0) l i Leabharlann Baidu s2 3 s s 2 s 1
2 s (s ) 2 例2： F ，求 f( 0 ), f( ) s 2 s2
2 2 s f ( 0 ) lim sF ( s ) lim 2 2 s s s 2 s 2
s
2
0
1 L [ ( t )] ( t ) e dt 1 , u ( t ) 0 s
st
(s a ) t eu ( t) F ( s ) e e dt e dt at at st 0 0
1 1 (s a ) t e | 0 s a s a
2 2 s f ( ) lim sF ( s ) lim 0 2 s 0 s 0 s 2 s 2
（九）卷积定理
若 则
f ( t ) F ( s ) ,ft ( ) F ( s ) 1 1 2 2
时域卷积定理 f ( t ) u ( t ) f ( t ) u ( t ) F ( s )( F s ) 1 2 1 2
t t ( ) t l i m e e l i m e 0
t t
（5）对于一些比指数函数增长更快的函数，如 行拉氏变换。
e
t2
，不能进
（四）常用函数的拉氏变换
(t)
u (t)
e
t
1
1
整个 s 平面
u (t )
1 s
1
s
b b
方法一： 由延时性质得： 再由尺度性质得： 方法二： 由尺度性质得： 由延时性质得：
15
（七）初值定理
t 0
lim f ( t ) f ( 0 ) lim sF ( s )
s
应用条件： F ( s ) 为真分式 否则
F (s) M (s) F1 (s) s的多项式 真分式
f (t ) 原函数
F ( s ) 象函数
（3）随时间 t 成正比增长或随 t 成正比增长的信号 0 0 ，收敛域为 s 右半平面
n
limtet 0, limtnet 0, 必须有 0
t
t
（4）按指数阶规律 e
t
增长的信号
0 ，收敛域为
d t d t
0
（2）由于绝对可积条件限制了某些增长信号傅里叶变换的存在。 考虑在 f ( t ) 上乘以收敛因子 e t 。
t f () t f () t e 1
在0 t 上， e t只有在 0时才起收敛作用，且 越大，收敛效果越明显。
1 1 VC ( s) I C ( s) vC (0 ) sC s
Vc(s)
-
（四）延时特性（时域平移）
若
f()() tu t F () s
s t 0 ft ( tu ) ( t t ) eF ( s ) 0 0
则
例1：求f (t ) sin[1 (t t0 )] 的 拉氏变换。
f( 0) l i m s Fs () 1
s
（八）终值定理
lim f ( t ) f ( ) lim sF ( s )
t s 0
应用条件： F ( s ) 的全部极点在 s 左半平面，允许在 s 0 处有一阶极点，以保证终值存在。
3 2 s s 2s 1 例1： F ( s) , 求 f (0 ) 2 s 2s 1
若 则
K f ( tK ) f ( t ) K F ( s ) K F ( s ) 1 1 2 2 1 1 2 2
f () t Fs ()
d f() t s Fs ( ) f( 0) d t LiL (0 ) IL(s) 2 sL d - + 2 ft ( ) s F () s s f ( 0 ) f ( 0 ) 2 d t + VL(s) 例1： diL (t )