高中数学椭圆弦长运算方法解题指导分析

直线与椭圆位置关系运算技巧（一）

问题:直线y kx m =+与椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>交于()()1122,,,A x y B x y 两点,求 弦长AB 。

解决办法:公式法。

公式一

:

12AB x =-= 公式二

:12AB x =-=其中,A ∆表示联立消掉y 后的二次方程20Ax Bx C ++=的系数和判别式；

公式三:

AB =,其中,,,a b k m 分别是方程中的系数。

对于公式1,有些学生喜欢使用,因为初中对此公式应用较多,比较熟悉,但该公式计算量大,计算步骤为:（1）联立方程消去y 得x 的二次方程；（2）写出韦达定理；（3）代入计算。但第3步的计算量太大,很多学生算不对,或则说学生出错的概率会很高,就好比:有100人计算该题,用这种算法计算对的人数估计在60左右（没有实践测试,只是一个猜测）。

对于公式2,好些教师包括我以前也是这样教学生计算的,它跳过了韦达定理而直接将两根之差的绝对值表示出来,解题步骤为:（1）联立方程消去y 得x 的二次方程；（2）求∆,代入计算。步骤（2）计算难度依然很大,相对于公式一,公式二只是把计算的难点提前了,但因为公式二将步骤减少了,故实践看公式二比公式一从学生算对的概率看确实有所提高,但提高得不很明显,如果有100人计算该题,用这种算法计算对的人数估计在70左右,比方法一多10人。但如果使用两个公式结果都算错了,而公式一还写出了韦达定理,估计很能得一点点步骤分,从这个角度讲,公式2还没有公式1好。

对于公式3,是我最近在网上看到的公式,其实以前也有看到但因为形式太复杂觉得没有用,估计第一次看到公式3的教师也会觉得它太复杂学生怎么用呢？但通过实践测试,用公式3算对弦长的概率大大增加,如果有100人计算该题,用这种算法计算对的人数估计有90人左右,因为它的步骤就一步:直接将系数代入套公式,并且它的计算没有像方法1,2那样的复杂,计算难度小很多。只是教师要让学生记住该公式,其实该公式并不难记忆,观察分子分母是有关系的,先记分母,再记分子就可以了。

故弦长的计算从学生解题的角度看应该用公式三。当然,这种做法是基于应试学生解对题的角度出发的,若想训练学生的运算求解能力,哪种方法都可以,甚至越复杂的方法越能训练学生的运算能力。

郭.开.航 2018年12月11日