3.5拉格朗日中值定理与洛必达法则

子项目3.1 拉格朗日中值定理与洛必达法则

能力目标：了解拉格朗日中值定理及几何意义;掌握用洛必达法则求0

0和

∞∞

未定式的

极限.

任务引入： 求ln ln lim

,(0)x a

x a a x a

→->-的值.

任务分析：

对于这个极限,当x a →时,分子和分母同时都趋向于零,用我们原来几种求极限的方法都

不能解决,学了本项目以后我们将很轻松的求出这类极限的值.

相关知识：1.了解拉格朗日中值定理及其几何意义.

2.掌握用洛必达法则求0

0型和

∞∞

型未定式极限的方法.

一、拉格朗日(Lagrange)中值定理

Th 3.1（拉格朗日中值定理）： 设函数f (x )满足下列条件：

(1)在闭区间[,]a b 上连续； (2)在开区间(,)a b 内可导，

则在(,)a b 内至少存在一点ξ,(ξ 与,a b 有关)，使得

a

b a f b f f --=

)()()('ξ． (3-1)

定理证明从略.

定理的几何意义：因为等式(5-1)的右面表示连接端点((,()),(,()))A a f a B b f b 的线段所在直线的斜率，定理表示，如果()f x 在[,]a b 上连续，且除端点,A B 外在每一点都存在切线，

那么至少有一点(,())P f ξξ处 的切线与A B 平行．

例1：验证2()f x x =在区间[1,2]上拉格朗日中值定 理成立，并求ξ．

解： 显然2()f x x =在[1,2]上连续且在(1,2)上可导，所以拉格朗日中值定理成立． '()2f x x =, 令 (2)(1)

()21

f f f x -=-，即32x =，得 1.5x =．

所以， 1.5ξ=．

例2：证明当0>>a b 时，不等式)(3)(32332a b b a b a b a -<-<-成立。

证：设3)(x x f =，[]b a x ，∈，则)(x f 在区间[]b a ，上连续，在()b a ，内可导，由拉格朗日定理，得)(3233a b a b -=-ξ()a b ξ<< 于是，有)(3)(32

3

3

2

a b b a b a b a -<-<-.

例3：证明不等式

a

a b a b b

a b -<<-ln

对任意0a b <<成立．

证：改写欲求证的不等式为如下形式：

a

a

b a b b 1ln ln 1<--<

， (1)

因为ln x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，所以据拉格朗日中值定理有

ξ

ξ

1

)(ln ln ln =

'=--=x x a

b a b ,()a b ξ<<，

因为a b ξ<<，a

b 111<<

ξ

，所以(1)成立．原不等式得证．

注：拉格朗日中值定理可以改写成另外的形式．如

'()()()()f b f a f b a ξ-=- 或'()()()()f b f a f b a ξ=+-,a b ξ<<； '00()()()()f x f x f x x ξ=+-, (ξ 在0,x x 之间)； (3-2)

'

()()()f x x f x f x ξ+∆-=∆或'

()y f x ξ∆=∆,

(;,[,])x x x x x x a b ξ<<+∆+∆∈； (3-3)

一般称(5-3)形式为拉格朗日中值定理的增量形式，其中的中间值ξ与区间端点有关．

推论1 如果'()0,(,)f x x a b ≡∈，则()f x C ≡((,)x a b ∈, C 为常数)，即在(,)a b 内

()f x 为一个常数函数．

证：在(,)a b 内任取两点12,x x (不妨设12x x <)．

因为12[,][,]x x a b ⊂，所以()f x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内可导．于是由拉格朗日

中值定理有 '

212112()()()(),()f x f x f x x x x ξξ-=-<<

又因对(,)a b 内一切x 都有'()0f x =．ξ在12,x x 之间，当然在(,)a b 内，所以'

()0f ξ=，于是得，21()()0f x f x -=，即 21()()f x f x =．

既然对于(,)a b 内任意两点12,x x 都有21()()f x f x =，那就说明()f x 在(,)a b 内是一个常数．

以前我们证明过“常数的导数等于零”，推论1说明它的逆命题也是对的．

推论2 如果'

'

()(),(,)f x g x x a b ≡∈，则()()f x g x C ≡+, ((,)x a b ∈, C 为常数)． 证： 因为'

'

'

[()()]()()0,(,)f x g x f x g x x a b -=-≡∈，据推论1，得

()()0,f x g x -≡, ((,)x a b ∈, C 为常数)， 移项即得结论．

二、洛必达法则

若当0x x →时，两个函数(),()f x g x 都是无穷小或无穷大，则求极限)

()(lim 0

x g x f x x →时不能直

接用商的极限运算法则，其结果可能存在，也可能不存在；即使存在，其值也因式而异．因此常把两个无穷小之比或无穷大之比的极限，称为00

型或

∞

∞型未定式（也称为

0型或

∞

∞型未

定型）极限．

1.

0型未定式

Th 2（罗必塔(L’Hospital )法则Ⅰ）：设函数()f x 和()g x 满足：

(1)0

lim ()0x x f x →=，0

lim ()0x x g x →=；

(2)函数(),()f x g x 在0x 的某个邻域内（点0x 可除外）可导，且'()0g x ≠；

(3)0

'()lim

'()

x x f x A g x →=, (A 可以是有限数，也可为,,∞+∞-∞)，

则 0

()'()lim lim ()

'()

x x x x f x f x A g x g x →→==．

注：法则对于,x x →∞→±∞时的0

0型未定式同样适用．

例4：求下列

0型未定式的极限

（1）ln ln lim

,(0)x a

x a a x a →->-； （2）x x

1

2

arctan lim

-+∞

→π

； （3）x

x x x 3

sin

sin lim

-→.

解：（1）这是0

0型未定式，由罗必塔法则，得