高中数学例题：映射与函数

高中数学例题：映射与函数

例. 判断下列对应哪些是从集合A 到集合B 的映射，哪些是从集合A 到集合B 的函数？

（1）A={直角坐标平面上的点}，B={（x ，y ）|,x R y R ∈∈}，对应法则是：A 中的点与B 中的（x ，y ）对应．

（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则是：作三角形的外接圆；

（3）A=N ，B={0，1}，对应法则是：除以2的余数；

（4）A={0，1，2}，B={4，1，0}，对应法则是f ：2x y x =→

（5）A={0，1，2}，B={0，1，12

}，对应法则是f ：x 1y x =→ 【思路点拨】根据映射定义分析是否满足“A 中任意”和“B 中唯一”．

【解析】

(1)是映射，不是函数，因为集合A 、B 不是数集，是点集；

(2)是映射，集合A 中的任意一个元素(三角形)，在集合B 中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；不是函数．

(3)是映射，也是函数，函数解析式为0,(2)()1,(21)

x n f x x n =⎧=⎨

=+⎩． （4）是映射，也是函数．

（5）对于集合A 中的元素“0”，由对应法则“取倒数”后，在集合B 中没有元素与它对应，所以不是映射，也不是函数．

【总结升华】判断一个对应是不是映射和函数，要根据映射和函数的定义去判断，函数一定是映射，反过来，映射不一定是函数，从数集到数集的映射才是函数．

举一反三：

【变式1】下列对应哪些是从A 到B 的映射？是从A 到B 的一一映射吗？是从A 到B 的函数吗？

(1)A=N ，B={1，-1}，f ：x →y=(-1)x ；

(2)A=N ，B=N +，f ：x →y=|x-3|；

(3)A=R ，B=R ，;x

1x 1y x :f -+=→ (4)A=Z ，B=N ，f ：x →y=|x|；

(5)A=N ，B=Z ，f ：x →y=|x|；

(6)A=N ，B=N ，f ：x →y=|x|.

【答案】(1)、(4)、(5)、(6)是从A 到B 的映射也是从A 到B 的函数，但只有(6)是从A 到B 的一一映射；(2)、(3)不是从A 到B 的映射也不是从A 到B 的函数.