人教版八年级下册数学菱形

3 4
C
归纳
菱形的面积等于两对角线乘积的一半。
D
5 6
A
1 2
O 7 8
3 4
C
B
S菱形ABCD
BD AC 2
例题讲解
如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC=600，沿着菱形的对角线修建了 两条小路AC和BD，求两条小路的长和 花坛的面积(分别精确到0.01m和0.01㎡).
O
分析：只要求出OA、 OB即可，故需要构建直 角三角形。
解： ∵花坛ABCD是菱形，
1 1 1 ABO ABC ABC 60 30 2 2 2 1 1 在RtO AB 中 ，AO AB 20 10 2 2 2 2 2 2 BO AB AO 20 10 17.32
∴AC⊥BD
O
∴花坛的两条小路长为: AC=2AO=20(m), BD=2BO≈34.64(m) 花坛的面积为: 1 2 S菱 形ABCD 4 S OAB AC BD 346.（ 4 m） 2
角线把菱形分成了四个全等的小直角三 角形，而一般平行四边形只被分成了全 等的两对三角形，一对是锐角三角形， 一对是钝角三角形。
D
5 6
A
3 4
D O C
A
1 2
O 7 8
C
B
B
菱形ABCD中，对 角线AC、BD交于点O, AC=6cm，BD=8cm,你 A 能求出菱形ABCD的面 积吗？
D
5 6 1 2 O 7 8 3 4
由菱形的定义，我们容易得到，一 组邻边相等的平行四边形是菱形。还有 没有其他判别方法呢? 类似平行四边形、矩形的判定，我 们可以发现判定和性质互逆，所以猜想 菱形的判定为： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四边相等的四边形是菱形.
你能证明 它们吗？
例题讲解
如图， ABCD的对角线AC、 BD交于点O，AB=5，AO=4, BO=3，求证 ABCD是菱形. 分析：已知条件与对角线有关，所以需
利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ”证明。该四边形是平行四边形，故只要证 明两条对角线互相垂直即可。已知条件是线 段的长度，由线段长度判断是否是直角三角 形,需要根据勾股定理的逆定理来判断。
探究
我们画菱形时经常采用的方法是：
依据是 什么呢？
1、先画两条等长的线段AB、AD；
2、然后分别以B、D为圆心, AB为半径画弧, 得到两弧的交点C； 3、连接BC、CD，就画出了一个菱形ABCD.
C
B
分析：菱形的对角线把菱形分成了 四个全等的直角三角形，则求菱形的面 积，只需求出其中一个直角三角形的面 积即可.
探究
D
5 6
S菱形ABCD 4SRtDOC
A
1 2
1 4 DO O C B 2 1 1 1 4 BD AC 2 2 2 BD AC 2
O 7 8
判定 3：
四条边都相等的四边形是菱形.
A D B 四边形ABCD C AB=BC=CD=DA A
D
B
C
菱形ABCD
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
菱形的判定：
文字语言
定义
一组邻边相等的 平行四边形是菱 形 对角线互相垂直 的平行四边形是 菱形 四边相等的四边 形是菱形
B
图形语言
A B A C O D
练习
1、菱形的两条对角线的长分别为6cm 和8cm，那么菱形的面积是 24cm2 。 2、一菱形周长为52cm, 其一对角线长 10cm，则其另一对角线的长为______ 24cm 。 3、如图，菱形ABCD中，周 D 长为24cm，∠ABD=30°, 则 A AC= 6cm ，BD= 6 3cm。
观察得到的菱形, 它的轴对称图形吗？ 有几条对称轴？对称 轴之间有什么位置关 系？你能看出图中哪 些线段或角相等？
梳理
菱形是轴对称图形，它的对角线就 是它的对称轴。 可以发现菱形具有以下性质： 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且 每一条对角线平分一组对角。
你能证明 它们吗？
几何语言描述菱形的性质：
观察
下列图形有什么共同点？由下列图形 你想到什么几何图形？
这些图形都给我们以菱形的形象，你 还能举出什么实例？
你有什么 发现？
菱形的定义
菱形还有什么 特殊的性质？
有一组邻边相等的平行四边形叫做 菱形. 菱形是特殊的平行四边形，所以它 具有平行四边形的一切性质。
探究
将一个矩形的纸对折两次，沿图中 虚线剪下，再打开，就得到一个菱形。
符号语言
∵□ABCD AB=AD ∴四边形ABCD是菱形 ∵□ABCD AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形
D
判定 一 判定 二
B
A
C
D ∵AB=BC=CD=DA C
∴四边形ABCD是菱形
探究
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起， 你能判断重叠部分ABCD的形状吗？
A D B C
A
D
F
B
E
C
如图在菱形ABCD中,CE⊥AB,CF⊥AD. 则CE与CF相等吗？说明理由。 BE与DF呢？
A E B F D
C
如图，AD∥BC，BD垂直平 分AC，四边形ABCD一定是菱形 吗？若是，请说明理由。 D
提示:
AD=BC
A
┐
O
B
C
△AOD≌△COB（角边角）
把有一个内角为72°的菱形分 成4个等腰三角形。你能想到哪些分 法？
）72°
∵四边形ABCD是菱形， O ∴AD∥BC，AB∥CD， A C AB=BC=CD=DA， B OA=OC，OB=OD， AC⊥BD， 1 ∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA= ∠DAB 2 1 = ∠DCB 2 1 ∠ADB=∠CDB=∠ABD=∠CBD= ∠ADC
1 = ∠ABC 2
2
D
比较 由菱形的性质可知，菱形的对
B C
源自文库
梳理
判定 1：
D
一组邻边相等的平行四边形是菱形.
A
AB=BC B
A
D
B
C
C
□ABCD
菱形ABCD
∵ □ABCD， AB=BC ∴ ABCD是菱形
判定 2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
D AC⊥BD B C B C A D
□ABCD
菱形ABCD
∵□ABCD，AC⊥BD
∴ □ABCD是菱形
复习回顾
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩 形，也就是长方形。
矩形的性质：
矩形的对边平行且相等； 矩形的对角相等且四个角都是直角； 矩形的对角线互相平分且相等；
直角三角形的性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半。
矩形的判定：
定义； 对角线相等的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形。