有限元法基础-12动力学问题
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第十二章 动力学问题
12.1 动力学问题的有限元方程 12.2 质量矩阵与阻尼矩阵
12.3 直接积分法
12.4 特征值问题及解法 12.5 振型叠加法 12.6 减缩系统自由度的方法
1
有限元法基础
12. 动力学问题 关键概念 一致质量矩阵 振型阻尼矩阵 显式积分 Guyan减缩法 团聚质量矩阵 Rayleigh阻尼 隐式积分 动力子结构法
21
有限元法基础
12. 动力学问题
例：波的传播 均匀钢杆，无阻尼，开始静止，突
然施加轴向端点力。用40个2节点杆单元模拟，材料 为线弹性。图中Cn为Courant数，即实际步长与临界
步长的比值。
22
有限元法基础
12. 动力学问题
23
有限元法基础
12. 动力学问题
初始速度为零，开始后在加载。
24
Ve
它与所使用的有限元列式的原理和位移插值函数保持
9
有限元法基础
12. 动力学问题
团聚质量矩阵的计算方法
（1）M le 中每一行主元等于 M e 中该行所有元素之和
M
e l ij
ne e M ik k 1 0
i j i j
（2）M le 中每一行主元等于 M e 中该行主元乘以缩放 因子
V
ij
Dijkl kl dV ui ui u dV ui fi dV uiTi dS
V V S
4
有限元法基础
12. 动力学问题 （三）有限元离散
在动力学分析时，物理量是空间（x, y, z）的函数，
也是时间（t）的函数，是一个四维问题 有限元离散，或网格剖分是对空间域进行，这一 步骤与静力学问题分析时相同 时间维的离散使用有限差分法处理
如果质量矩阵M是对角的，C也是对角或可以忽略，
则利用递推公式求解时不需求解方程，直接可得下一 时间步的预测值。 显示时间积分(Explicit Time Integral)
17
有限元法基础
12. 动力学问题 （2）当t=0时，需要 q0 和 qt ，因此必须用专门的 起步方法。由速度和加速度的中心差分公式，消去
其中， 和 是按积分精度、稳定性和算法阻尼要求决 定的参数，取不同的值代表不同的积分方案。
25
有限元法基础
12. 动力学问题 几个特例 1） ,
1 6 1 ，对应于线性加速度法，即在时间步加速 2
度内线性变化
qt qt (qt t qt ) / t
13
有限元法基础
12. 动力学问题 将中心差分格式应用到有限元的半离散方程
1 1 M 2 qt t 2qt qt t C q q t t t t Kqt Qt t 2t
整理得递推公式
1 1 1 1 1 M C q Q K M q M C t 2 t t t 2 qt t 2 2t t 2t t t
Ve
C e BT DB dV
Ve
阻尼矩阵与质量矩阵或刚度矩阵成比例
这种阻尼称为比例阻尼或振型阻尼，比例系数与固有 频率相关。 Rayleigh阻尼
C M K
11
和 与频率无关，为常数。
有限元法基础
12. 动力学问题
12.3 直接积分法
半离散的动力学方程的解法分为两类，一是直接 进行数值积分，一类是使用固有振型表达动态响应， 称为振型叠加法。 直接时间积分一般采用差分格式，分为显式时间 和隐式时间积分。 显式积分式条件稳定的，隐式积分是无条件稳定 的，各有优缺点。
N [ N1
N2
Nn ]
N i Ni I33
6
有限元法基础
12. 动力学问题 （五）有限元方程
将插值函数代入Galerkin积分表达式，由 q 的任
意性得，系统的求解方程
Mq(t ) Cq(t ) Kq(t ) Q(t )
其中
M = Me
e
Ve
C = C e
e
K = K e Q = Qe
M
e l ij
e a M ii 0
i j i j
a 根据平动DOF质量守恒确定,即 (i与平动相关的行)
a M e dV
i ii Ve
10
有限元法基础
12. 动力学问题
振型阻尼矩阵
阻尼正比于质点速度 阻尼正比于应变速度
C e N T N dV
插值函数 与时间无关
写成矩阵形式
u Nqe
i 1
u ( x, y , z , t ) q1 ui (t ) q e q v (t ) u= v ( x , y , z , t ) i i w( x, y, z , t ) qn wi (t )
物理解释：时间步长应足够小，以致于在单个时 间步内，传播不会超过相邻的两个节点间的距离。
20
有限元法基础
12. 动力学问题 （5）中心差分的显示算法，适合于由冲击、碰撞、 爆炸类型的载荷引起的波传播问题的求解。 因为这些问题本身就是在初始扰动后，按一定的
波速C逐步在介质中传播。
对于结构动力学问题，采用显示时间积分不太合 适。因为结构的动力响应中低频成分起主要作用，允 许大的时间步长。
t t 的量，得
qt
t 2 q0 tq0 q0 2
初始加速度可用运动方程求得
q0 M 1 (Q0 - Cq0 - Kq0 )
18
有限元法基础
12. 动力学问题 （3）中心差分是条件稳定的，时间步长不能任意取， 最大步长与计算的问题相关，以及网格剖分相关。 一般步长可取为
有限元法基础
12. 动力学问题
12.3.2 Newmark法
Newmark积分法假设，在 t ~ t t 的时间区域内，有
qt t qt [(1 )qt qt t ]t qt t 1 qt qt t [( )qt qt t ]t 2 2
t tcr
2
n
Tn
n 为系统的最高阶固有频率，T 是系统的最小固有 n
振动周期。实际应用中可以用系统中最小尺度单元的
e min T n Tn 。 最小振动周期代替系统的Tn，因为
19
有限元法基础
12. 动力学问题
（4）时间步长的确定方式
a) 网格剖分后，找出尺寸最小的单元，形成单元 的特征方程
e e
Ve
M e N T N dV K e BT DB dV
Ve
C e N T N dV Q e N T f dV + N T T dV
Ve S e
7
有限元法基础
12. 动力学问题
（六）典型的动力学问题
模态分析（Modal Analysis） 确定结构的动力学特征 瞬态分析（Transient Analysis） 使用直接积分法或模态叠加法得到结构的瞬态响应 谐分析（Harmonic Analysis） 线性结构承受简谐载荷的稳态响应 谱分析（Spectrum Analysis）
ij n j Ti
ui ( x, y, z, 0) ui 0 ( x, y, z ) ui ( x, y, z, 0) ui 0 ( x, y, z ) ui ( x, y, z, 0) ui 0 ( x, y, z )
初始条件
3
有限元法基础
12. 动力学问题 （二）Galerkin法
5
有限元法基础
12. 动力学问题 （四）位移插值函数
只对空间域进行离散，插值函数表示为
u ( x, y, z , t ) N i ( x, y, z )ui (t )
i 1 n n
v( x, y, z , t ) N i ( x, y, z )vi (t )
i 1 n
w( x, y, z , t ) N i ( x, y, z ) wi (t )
平衡方程和力的边界条件的等效积分形式
u
V i
ij , j
fi ui u dV ui ij n j Ti dS 0
S
第一项分部积分
u
V i
ij , j
dV ui ij n j ij ij dV
V V
5）形成有效质量矩阵 6）三角分解
ˆ LDLT M
15
有限元法基础
12. 动力学问题 2.对每一时间步长 (t 0, t , 2t , 1）计算时间 t 的有效载荷
ˆ Q K 2 M q Q t t t t 2 1 1 2 M C qt t 2t t
2
有限元法基础
12. 动力学问题
ห้องสมุดไป่ตู้
12.1 动力学问题的有限元方程
（一）动力学问题的基本方程 ij , j fi ui ui 0 平衡方程 1 (ui , j u j ,i ) ij 几何方程 2 ij Dijkl kl 本构关系 边界条件
ui ui 在V中 在V中 在V中 在Su 上 在S 上
)
2）求解时间 t t 的位移
ˆ LDLT qt t Q t
3）如果需要计算时间 t 的加速度和速度
1 ( qt t qt t ) 2 t 1 qt 2 (qt t 2qt qt t ) t qt
16
有限元法基础
12. 动力学问题 特点 （1）若已知 qt t 和 q t 可直接预测下一步的 qt t ， 称为逐步积分法。
14
有限元法基础
12. 动力学问题 中心差分法求解运动方程的步骤 1.初始计算 1）形成刚度矩阵K、质量矩阵M和阻尼矩阵C
2）给定 q0 ，q0 和 q0
3）选择时间步长 t ，t tcr 4）计算 qt
t 2 q0 tq0 q0 2
ˆ 1 M 1 C M t 2 2t
由Newmark关系式，得 1 1 1 qt t (qt t qt ) qt 1 qt 2 t t 2 递推公式为
1 1 1 1 M q qt 1 qt K qt t Qt t M 2 2 t t t t 2 t C qt 1 qt 1 t qt 2 t
在响应谱作用下，结构的响应
8
有限元法基础
12. 动力学问题
12.2 质量矩阵和阻尼矩阵
动力问题的质量矩阵 一致质量矩阵 Consistent Mass 一致。 团聚质量矩阵 假定质量集中在节点上，导出的质量 Lumped Mass 矩阵是对角线矩阵，可提高计算效率。
M e N T N dV
12
有限元法基础
12. 动力学问题 12.3.1 中心差分法
有限差分法的理论依据很简单，以有限增量的比
值代替数学上的微分，速度表示为 du u u dt t 中心差分格式为
1 (ut t ut t ) 2 t 1 u 2 (ut t 2ut ut t ) t u
K (e) 2 M (e) 0
求出最大特征根 n ，得到 Tn 2 / n 。 b)网格剖分后，找出尺寸最小的单元的最小边长 L，
可以近似地估计 Tn L / C ， C (E / ) ，由此，得
tcr L / C ，称为Couran，Friedrich和Lewy条件。
2） ,
1 4 1 2
(0 t )
，对应于平均加速度法，即在时间步内加
速度取平均值
qt
1 (qt t qt ) 2
(0 t )
26
有限元法基础
12. 动力学问题 Newmark法的运动方程
Mqt t Cqt t Kqt t Qt t
12.1 动力学问题的有限元方程 12.2 质量矩阵与阻尼矩阵
12.3 直接积分法
12.4 特征值问题及解法 12.5 振型叠加法 12.6 减缩系统自由度的方法
1
有限元法基础
12. 动力学问题 关键概念 一致质量矩阵 振型阻尼矩阵 显式积分 Guyan减缩法 团聚质量矩阵 Rayleigh阻尼 隐式积分 动力子结构法
21
有限元法基础
12. 动力学问题
例：波的传播 均匀钢杆，无阻尼，开始静止，突
然施加轴向端点力。用40个2节点杆单元模拟，材料 为线弹性。图中Cn为Courant数，即实际步长与临界
步长的比值。
22
有限元法基础
12. 动力学问题
23
有限元法基础
12. 动力学问题
初始速度为零，开始后在加载。
24
Ve
它与所使用的有限元列式的原理和位移插值函数保持
9
有限元法基础
12. 动力学问题
团聚质量矩阵的计算方法
（1）M le 中每一行主元等于 M e 中该行所有元素之和
M
e l ij
ne e M ik k 1 0
i j i j
（2）M le 中每一行主元等于 M e 中该行主元乘以缩放 因子
V
ij
Dijkl kl dV ui ui u dV ui fi dV uiTi dS
V V S
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有限元法基础
12. 动力学问题 （三）有限元离散
在动力学分析时，物理量是空间（x, y, z）的函数，
也是时间（t）的函数，是一个四维问题 有限元离散，或网格剖分是对空间域进行，这一 步骤与静力学问题分析时相同 时间维的离散使用有限差分法处理
如果质量矩阵M是对角的，C也是对角或可以忽略，
则利用递推公式求解时不需求解方程，直接可得下一 时间步的预测值。 显示时间积分(Explicit Time Integral)
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有限元法基础
12. 动力学问题 （2）当t=0时，需要 q0 和 qt ，因此必须用专门的 起步方法。由速度和加速度的中心差分公式，消去
其中， 和 是按积分精度、稳定性和算法阻尼要求决 定的参数，取不同的值代表不同的积分方案。
25
有限元法基础
12. 动力学问题 几个特例 1） ,
1 6 1 ，对应于线性加速度法，即在时间步加速 2
度内线性变化
qt qt (qt t qt ) / t
13
有限元法基础
12. 动力学问题 将中心差分格式应用到有限元的半离散方程
1 1 M 2 qt t 2qt qt t C q q t t t t Kqt Qt t 2t
整理得递推公式
1 1 1 1 1 M C q Q K M q M C t 2 t t t 2 qt t 2 2t t 2t t t
Ve
C e BT DB dV
Ve
阻尼矩阵与质量矩阵或刚度矩阵成比例
这种阻尼称为比例阻尼或振型阻尼，比例系数与固有 频率相关。 Rayleigh阻尼
C M K
11
和 与频率无关，为常数。
有限元法基础
12. 动力学问题
12.3 直接积分法
半离散的动力学方程的解法分为两类，一是直接 进行数值积分，一类是使用固有振型表达动态响应， 称为振型叠加法。 直接时间积分一般采用差分格式，分为显式时间 和隐式时间积分。 显式积分式条件稳定的，隐式积分是无条件稳定 的，各有优缺点。
N [ N1
N2
Nn ]
N i Ni I33
6
有限元法基础
12. 动力学问题 （五）有限元方程
将插值函数代入Galerkin积分表达式，由 q 的任
意性得，系统的求解方程
Mq(t ) Cq(t ) Kq(t ) Q(t )
其中
M = Me
e
Ve
C = C e
e
K = K e Q = Qe
M
e l ij
e a M ii 0
i j i j
a 根据平动DOF质量守恒确定,即 (i与平动相关的行)
a M e dV
i ii Ve
10
有限元法基础
12. 动力学问题
振型阻尼矩阵
阻尼正比于质点速度 阻尼正比于应变速度
C e N T N dV
插值函数 与时间无关
写成矩阵形式
u Nqe
i 1
u ( x, y , z , t ) q1 ui (t ) q e q v (t ) u= v ( x , y , z , t ) i i w( x, y, z , t ) qn wi (t )
物理解释：时间步长应足够小，以致于在单个时 间步内，传播不会超过相邻的两个节点间的距离。
20
有限元法基础
12. 动力学问题 （5）中心差分的显示算法，适合于由冲击、碰撞、 爆炸类型的载荷引起的波传播问题的求解。 因为这些问题本身就是在初始扰动后，按一定的
波速C逐步在介质中传播。
对于结构动力学问题，采用显示时间积分不太合 适。因为结构的动力响应中低频成分起主要作用，允 许大的时间步长。
t t 的量，得
qt
t 2 q0 tq0 q0 2
初始加速度可用运动方程求得
q0 M 1 (Q0 - Cq0 - Kq0 )
18
有限元法基础
12. 动力学问题 （3）中心差分是条件稳定的，时间步长不能任意取， 最大步长与计算的问题相关，以及网格剖分相关。 一般步长可取为
有限元法基础
12. 动力学问题
12.3.2 Newmark法
Newmark积分法假设，在 t ~ t t 的时间区域内，有
qt t qt [(1 )qt qt t ]t qt t 1 qt qt t [( )qt qt t ]t 2 2
t tcr
2
n
Tn
n 为系统的最高阶固有频率，T 是系统的最小固有 n
振动周期。实际应用中可以用系统中最小尺度单元的
e min T n Tn 。 最小振动周期代替系统的Tn，因为
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有限元法基础
12. 动力学问题
（4）时间步长的确定方式
a) 网格剖分后，找出尺寸最小的单元，形成单元 的特征方程
e e
Ve
M e N T N dV K e BT DB dV
Ve
C e N T N dV Q e N T f dV + N T T dV
Ve S e
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有限元法基础
12. 动力学问题
（六）典型的动力学问题
模态分析（Modal Analysis） 确定结构的动力学特征 瞬态分析（Transient Analysis） 使用直接积分法或模态叠加法得到结构的瞬态响应 谐分析（Harmonic Analysis） 线性结构承受简谐载荷的稳态响应 谱分析（Spectrum Analysis）
ij n j Ti
ui ( x, y, z, 0) ui 0 ( x, y, z ) ui ( x, y, z, 0) ui 0 ( x, y, z ) ui ( x, y, z, 0) ui 0 ( x, y, z )
初始条件
3
有限元法基础
12. 动力学问题 （二）Galerkin法
5
有限元法基础
12. 动力学问题 （四）位移插值函数
只对空间域进行离散，插值函数表示为
u ( x, y, z , t ) N i ( x, y, z )ui (t )
i 1 n n
v( x, y, z , t ) N i ( x, y, z )vi (t )
i 1 n
w( x, y, z , t ) N i ( x, y, z ) wi (t )
平衡方程和力的边界条件的等效积分形式
u
V i
ij , j
fi ui u dV ui ij n j Ti dS 0
S
第一项分部积分
u
V i
ij , j
dV ui ij n j ij ij dV
V V
5）形成有效质量矩阵 6）三角分解
ˆ LDLT M
15
有限元法基础
12. 动力学问题 2.对每一时间步长 (t 0, t , 2t , 1）计算时间 t 的有效载荷
ˆ Q K 2 M q Q t t t t 2 1 1 2 M C qt t 2t t
2
有限元法基础
12. 动力学问题
ห้องสมุดไป่ตู้
12.1 动力学问题的有限元方程
（一）动力学问题的基本方程 ij , j fi ui ui 0 平衡方程 1 (ui , j u j ,i ) ij 几何方程 2 ij Dijkl kl 本构关系 边界条件
ui ui 在V中 在V中 在V中 在Su 上 在S 上
)
2）求解时间 t t 的位移
ˆ LDLT qt t Q t
3）如果需要计算时间 t 的加速度和速度
1 ( qt t qt t ) 2 t 1 qt 2 (qt t 2qt qt t ) t qt
16
有限元法基础
12. 动力学问题 特点 （1）若已知 qt t 和 q t 可直接预测下一步的 qt t ， 称为逐步积分法。
14
有限元法基础
12. 动力学问题 中心差分法求解运动方程的步骤 1.初始计算 1）形成刚度矩阵K、质量矩阵M和阻尼矩阵C
2）给定 q0 ，q0 和 q0
3）选择时间步长 t ，t tcr 4）计算 qt
t 2 q0 tq0 q0 2
ˆ 1 M 1 C M t 2 2t
由Newmark关系式，得 1 1 1 qt t (qt t qt ) qt 1 qt 2 t t 2 递推公式为
1 1 1 1 M q qt 1 qt K qt t Qt t M 2 2 t t t t 2 t C qt 1 qt 1 t qt 2 t
在响应谱作用下，结构的响应
8
有限元法基础
12. 动力学问题
12.2 质量矩阵和阻尼矩阵
动力问题的质量矩阵 一致质量矩阵 Consistent Mass 一致。 团聚质量矩阵 假定质量集中在节点上，导出的质量 Lumped Mass 矩阵是对角线矩阵，可提高计算效率。
M e N T N dV
12
有限元法基础
12. 动力学问题 12.3.1 中心差分法
有限差分法的理论依据很简单，以有限增量的比
值代替数学上的微分，速度表示为 du u u dt t 中心差分格式为
1 (ut t ut t ) 2 t 1 u 2 (ut t 2ut ut t ) t u
K (e) 2 M (e) 0
求出最大特征根 n ，得到 Tn 2 / n 。 b)网格剖分后，找出尺寸最小的单元的最小边长 L，
可以近似地估计 Tn L / C ， C (E / ) ，由此，得
tcr L / C ，称为Couran，Friedrich和Lewy条件。
2） ,
1 4 1 2
(0 t )
，对应于平均加速度法，即在时间步内加
速度取平均值
qt
1 (qt t qt ) 2
(0 t )
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有限元法基础
12. 动力学问题 Newmark法的运动方程
Mqt t Cqt t Kqt t Qt t