运筹与优化线性规划模型及其求解

用 x4 x5 替换 x 3，且 x4, x5 ，0
引入变量 x6 , x7
标准形式如下：
max Z 2x1 x2 3(x4 x5) 0x6 0x7
x
j
,
x
j
为人工变量
➢ 约束转换
a i1x1a i2x2 a ix nnb i
a i1 x 1 a i2 x 2 a ix n n s i b i,s i 0
a i1x1a i2x2 a ix nnb i
a i1 x 1 a i2 x 2 a ix n n s i b i,s i 0
III. 可行域为空集
⑥ 没有可行解，原问题无最优解
线性规划的图解法—无穷多最优解
例2
x2
m in Z x1 2 x 2
x1 2 x2 6
3
x
1
2 x2 x2
12 2
x 1 0 , x 2 0
⑵ ⑶
⑴ x1
∴ 线性规划有无穷多最优解
线性规划的图解法—无界解
例3
x2
min Z x 1 x 2
模型转换实例
例 ：将下列线性规划问题化为标准形式(standard form)
m in Z 2 x1 x 2 3 x3
5 x1 x 2 x3 7
3
x1 x1
x2 x2
4 x3 2 x3
2 5
x 1 , x 2 0 , x 3 为无约束（无非负限制）
模型转换实例
解:
将极小值问题反号，变为求极大值 将第3个约束方程两边乘以（－1），将右边常数项变成非负。
线性规划的图解法(Graphical Solution)
例1
m in Z 2 x1 3 x 2
x1 x 2 6
x1 2 x 2 8
x1
4
(1 ) (2 ) (3 )
x2 3
(4 )
x 1 0 , x 2 0
1 234 56
x2
⑶
⑷
(4 2)
0 1 234 5678
x1
的点，因此，最优点首先必须是可行点，最 优解只能在可行域中找到。
线性规划问题的可行域
线性规划问题的可行域是多面体。
线性规划可行域的性质
● 线性规划的可行域是凸集 ● 线性规划的最优解在极点上
凸集
极点
凸集
不是凸集
关于线性规划
线性规划是最简单的数学规划，在数学规划中具 有基础地位。
线性规划问题的目标函数和可行域都是连续的， 线性规划本身是有约束的连续型优化问题，但其 求解却是在离散点上搜索，因而，线性规划是联 系连续型优化和离散型优化的桥梁。
椭球法：求解线性规划问题的多项式算法，理论 意义大于实际应用意义。不介绍。
图解法求解线性规划
这里只介绍适用于两个决策变量的线性规划问题 的图解法，可以人工求解。
这时线性规划问题的可行域是二维平面上的多边 形。
目标函数等值线是二维平面上的直线。
图解法的原理思想和步骤
先画出可行域 再画出穿过可行域(极点）的目标函数等值
线性规划问题的求解已经比较成熟，有大量现成 的实用软件可以求解线性规划问题 (LINGO,LINDO,MATLAB,EXCEL,WinQSB)。
线性规划问题的求解方法
图解法：用于求解低维的简单线性规划问题，特 点是直观，便于理解线性规划问题的优化本质。 要求会用图解法求解二维线性规划问题。
单纯形法：目前应用最广泛，多数软件使用的算 法。但理论上不是多项式算法。只介绍原理思想。
线 根据评价准则是求最大还是最小，找到最
优解。
图解法的步骤
可行域的画法： 将约束中的不等号先变成等号，画出直线； 再根据不等号找出可行域。
目标函数等值线的画法： 任给目标函数一个值（最简单的，例如让 决策变量都为0，得到一个目标函数值）， 画出一条目标函数等值线，然后找出与这 条等值线平行又穿过可行域极点的等值线。
⑵
⑴
∴ 最 优 解：x1 = 4 x2 = 2
线性规划有唯一最优解，Z = 14
并不是所有线性规划都有唯一最优解！
线性规划的图解法的几种情况
线性规划的可行域和最优解的情况
I. 可行域为封闭的有界区域
① 有唯一的最优解 ② 有无穷多个最优解
II. 可行域为封闭的无界区域
③ 有唯一的最优解 ④ 有无穷多个最优解 ⑤ 目标函数无界
2
x x
1 1
x2 3x2
1 6
x 1 , x 2 0
问题： 怎样将一个线性规划转化为标准型？
线性规划标准形式
目标函数 (Objective)：
m f(x a ) c x 1 x 1 c 2 x 2 c n x n ①
约束条件 (Constraints)：
非负条件 (Nonnegativity ):
a11x1 a12ห้องสมุดไป่ตู้2 a1nxn b1
a2
1x1 a22x2
a2n xn
b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
xj0 (j1,2 ,n)
②
(暗含bi 0)
③
模型转换
➢ 目标转换 求最小可以等价成求负的最大 m incx m axcx
➢ 变量转换 令自由变量 xj xj xj
x1 x1
2x2 2 x2 1
⑴
x 1 , x 2 0
⑵
x1
∴ 线性规划有无界解
课外作业3
一、用图解法求解下列线性规划：
m ax Z x1 3 x2
s .t .
x1 x1
x2 2 x2
6
8
x1 0 , x 2 0
课外作业3
二、用图解法求解下列线性规划：
min Z 3 x1 2 x
max(min) z CTX
s.t.
AX (,)b
X ()0,unr
线性规划的标准形式
目标函数：min 约束条件 ：= 变量符号 ：≥0
min z C T X s.t. AX b
X0
线性规划模型的特点
目标函数是线性的 约束函数是线性的 决策变量非负
优化的概念及原理
可行点（解）：满足约束条件的决策点（解） 可行域：所有可行点的集合 所谓优化，就是在可行域中找目标函数最好
线性规划模型及其求解
问题： 什么叫可行点(解)和可行域? 线性规划问题的可行域和最优解有什么特
点？ 怎样用图解法求解线性规划问题？ 线性规划问题的标准型是怎样的？怎样求
线性规划问题的标准型？ 单纯形法求解线性规划问题的原理思想是
什么？
线性规划模型
线性规划模型的结构（矩阵形式) 目标函数 ：max，min 约束条件：≥,=,≤ 变量符号：：≥0, ≤0