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1. 对两个连续整数n和n+1，为什么 gcd(n,n+1)=1?
gcd(a,b)=gcd(b,a mod b) gcd(n,n+1)=gcd(1,n)
2. 利用费马定理计算3201 mod 11。 ap-1 ≡ 1(mod p) 310 ≡ 1(mod 11) 3201=(310)20×3 ≡ 3 mod 11=3
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3. 利用费Fra Baidu bibliotek定理，找一个位于0和28之间的数 x，使得x85模29与6同余。
x85 mod 29 ≡ 6 mod 29 x28 mod 29 ≡ 1 mod 29 (x28)3x mod 29 ≡ 6 mod 29 x=6
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4. n>2时ф(n)是偶数。这一点对所有n>2都成立。请证明
证明： 假设a是被计算在ф(n)中的一个整数，则n-a为另外一个被计 算在ф(n)中的整数，因为gcd(a, n) = gcd(n – a, n). 假设n-a和n有最大公因子b，且b≠1，则有 xb=n-a, yb=n a=n-xb, n=yb—>a=yb-xb=(y-x)b，可以推导出gcd(a,n)=b。 同时，这两个整数a和n-a是不同的，因为如果相同，则有 a=n-a，即n=2a，那么gcd(a,n)=a。 因此，当n>2时，ф(n)中数是成对出现的，所以必是偶数。
1. 对两个连续整数n和n+1，为什么 gcd(n,n+1)=1?
gcd(a,b)=gcd(b,a mod b) gcd(n,n+1)=gcd(1,n)
2. 利用费马定理计算3201 mod 11。 ap-1 ≡ 1(mod p) 310 ≡ 1(mod 11) 3201=(310)20×3 ≡ 3 mod 11=3
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3. 利用费Fra Baidu bibliotek定理，找一个位于0和28之间的数 x，使得x85模29与6同余。
x85 mod 29 ≡ 6 mod 29 x28 mod 29 ≡ 1 mod 29 (x28)3x mod 29 ≡ 6 mod 29 x=6
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4. n>2时ф(n)是偶数。这一点对所有n>2都成立。请证明
证明： 假设a是被计算在ф(n)中的一个整数，则n-a为另外一个被计 算在ф(n)中的整数，因为gcd(a, n) = gcd(n – a, n). 假设n-a和n有最大公因子b，且b≠1，则有 xb=n-a, yb=n a=n-xb, n=yb—>a=yb-xb=(y-x)b，可以推导出gcd(a,n)=b。 同时，这两个整数a和n-a是不同的，因为如果相同，则有 a=n-a，即n=2a，那么gcd(a,n)=a。 因此，当n>2时，ф(n)中数是成对出现的，所以必是偶数。