材料力学--弯曲应力

q=60kN/m
A
1m
F AY
C
l = 3m
1.C 截面上K点正应力
120
2.C 截面上最大正应力
Bx180 K
30
z 3.全梁上最大正应力
4.C 截面的曲率半径ρ
F BY
y
FS 90kN
?? ? ?? ?
M ql2 / 8 ? 67.5kN?m
?? ?
解：1. 求支反力 FAy ? 90kN FBy ? 90kN
?
0
E ?0
?
Sz ? yC?A? 0
yC ? 0
中性轴通过形心
(y z 为形心主惯性轴)
9
E
E
? ? ? my ? 0
z? dA?
A
?
z ydA?
A
?
I yz
?
0
最终内力合成
I z : 惯性矩
? ? ? mz ? M
y?
A
dA? E ?
y2dA?
A
E ? Iz ? M
1M ?
? EI Z
? ? E? ? E y ?
1
? 为梁弯曲变形后的曲率
11
§5.2 纯弯曲时的正应力
弯曲正应力公式适用范围
弯曲正应力 ? ? My
IZ
?横截面惯性积 Iyz =0
?弹性变(形? 阶?段? p)
?细长梁的纯弯曲或横力弯曲(近似使用)
12
§5.3 横力弯曲的正应力
纯弯曲正应力 ? ? My
IZ
弹性力学精确分析表明，当 跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力
第五章 弯曲应力
1
回顾 F Ay
内力
应力
??F
A
? ? T?
IP
M
? ?? ???
FS
2
§5.1 纯弯曲
纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
3
§5.1 纯弯曲
弯曲变形 实验现象
4
§5.1 纯弯曲
平面假设：横截面变形后保持为平面，只是绕截面内
MC ? 90? 1? 60? 1? 0.5 ? 60kN ?m
x 90kN
IZ
?
bh3 12
?
0.12? 0.183 12
?
5.832? 10?5 m4
?K
?
MC ?yK IZ
?
60? 103 ? (180 ? 30) ? 10? 3 2
5.832 ? 10? 5
x
? 61.7 ? 106 Pa ? 61.7MPa（压应力）
??My
Iz
正应力分布图 ? ? My
IZ
M
注意事项：M，y与? 都有正负号． 通常用其绝对值代入公式，用变形确
定正应力的正负（拉、压）。 10
§5.2 纯弯曲时的正应力
主要公式:
变形几何关系 ? ? y ?
物理关系 ? ? E?
? ?Ey ?
静力学关系 1 ? M
? EI Z
? ? My
IZ
? 为曲率半径
某一轴线偏转了一个角度。
5
§5.1 纯弯曲
凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长 中间一层纤维长
度不变 －－中性层
中间层与横截面 的交线 －－中性轴
6
§5.2 纯弯曲时的正应力
一、变形几何关系
7
§5.2 纯弯曲时的正应力 ? ? y
?
二、物理关系:
当? ? ? p时
z
x
? ? E?
? ?Ey ?
可确定横截面上的应力分布
17
例题
2. C 截面最大正应力
q=60kN/m
120
C 截面弯矩
A
1m
F AY
C
l = 3m
FS 90kN
B
x
180
K
30
z
F BY
y
M C ? 60kN ?m
C 截面惯性矩 IZ ? 5.832? 10?5 m4
?? ? ?? ? x
90kN
M ql2 / 8 ? 67.5kN?m
?? ?
x
? Cmax
公式对于横力弯曲近似成立。
横力弯曲最大正应力
? max
?
Mmax ymax IZ
13
强度条件
弯曲正应力强度条件
σmax在
1.弯矩最大的截面上 2.离中性轴最远处
? ? σmax ?
M max ymax ? Iz
M max ?
W
σ
WZ
?
IZ y max
抗弯截面系数
注意:1.变截面梁要综合考虑M 与 I z
截面惯性矩
FS 90kN
?? ? ?? ?
M ql2 / 8 ? 67.5kN?m
?? ?
x 90kN
x
Iz ? 5.832? 10?5 m4
?
max
?
M max ymax IZ
67.5? 103 ? 180 ? 10? 3
?
2 5.832 ? 10? 5
? 104.17 ? 106 Pa ? 104.17MPa
?D3
32
(1 ?
?
4)
矩形截面
bh3 I Z ? 12
bh2 WZ ? 6
IZ
?
b0 h0 3 12
?
bh3 12
WZ
?
( b0h03 12
?
bh3 12
)
/(h0 /
15
2)
例题
y
a
F
Fa
20
h
例 图示简支梁
已知: a =180mm , F =5kN,
截面为b? h=30 ? 60mm2 的矩形
2.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑
? ? ? ? ? ? t,m ax ? t ? ? c,m ax ? c
14
常见截面的 IZ 和 WZ
空心矩形截面
? IZ ? y2dA A
WZ
?
IZ y max
圆截面
?d4
IZ ? 64
WZ
?
?d3
32
空心圆截面
IZ
?
?D4
64
(1 ?
?
4)
WZ
?
IZ
? m?ax
?
M IZ
ymax
?
900 ? 0.03 54 ? 10? 8
?
50 MPa
IZ
?
hb3 12
?
60 ? 303 12
ห้องสมุดไป่ตู้
? 13.5cm 4
? m??ax
?
M IZ
ymax
?
900 ? 0.015 13.5 ? 10?8
? 100MPa ? 2? ?max16
例题
已知:E=200GPa,
求:(1)截面竖放时距离中性层20mm 处的正应力和最大正应力??max;
(2) 截面横放时的最大正应力???max
b
解: M ? Fa ? 5? 103 ? 0.18 ? 900 Nm
竖放时
横放时
IZ
?
bh3 12
?
30 ? 603 12
?
54cm4
y ? 20mm :? ? M y ? ? 33.3MPa
y
问题:中性层( y 的起点)在哪里？
1?
怎样算?
8
§5.2 纯弯曲时的正应力 ? ? E? ? E y
?
平衡条件找答案
三、平衡条件：
z
xM
dA ? dA
? Y ? 0;
? Z ? 0; ? mx ? 0;
自动满足
y
? ? X ? 0
? ? ? dA?
A
E y dA? E
A?
?
E
ydA ?
A
?
Sz
?
MC ?ymax IZ
60 ? 103 ? 180 ? 10? 3
?
2 5.832 ? 10? 5
? 92.55? 106 Pa ? 92.55MPa
18
例题
q=60kN/m
120
3. 全梁最大正应力
A
1m
F AY
C
l = 3m
B
x
180
K
30
z
F BY
y
最大弯矩
Mmax ? 67.5kN ?m