经典：同济大学高等数学第六版第七章第四节一阶线性微分方程.ppt

齐次方程通解
非齐次方程特解
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[例 ]求 y ' y 1(1 )的 通 解 。 [解 ] 易知 y'y0 (2)的一个解
y1(x)ex, (2)的 通y 解 Ce x. 观察y出 (x)1是 (1)的一个 . (1 )的通 y(x ) 解 C xe 1
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例1. 解方程
1
第四节 一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程
2
一、线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dyP(x)yQ(x) dx
当 Q(x)0, 上方程称为齐次的.
当 Q(x)0, 上方程称为非齐次的.
例如 dy y x2, dxxsintt2, 线性的;
dx
dt
yy2x y3, yco y s1, 非线性的.
讨论 dyyQ(yx)P(x)dx ,
两边积分 lnyQ(yx)dx P(x)d,x
设Q(yx)dx为v(x), ln y v(x ) P (x )d,x
即 yev(x)e P (x)d.x非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比: Cu(x)ev(x)
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常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 新未u 知 (x) 原 函未 数y知 (x),函数
x
x
ye1 xdxsx in xe1 xdx dxC
elnxsx in xelnxdx C
1xs inxdxC
1coxsC.
x
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例 求方程 xy'yln xx的 通 解 及 y|x ee 的 特 解 .
例 求方程 ydx(xy3)dy0 的 通 解 .
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[例 ]xd yyd x y2eyd y
解得
u2(x1)32C
3
故原方程通解为 y(x1)2 3 2(x1)32C
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例. dy 1 ; dx xy
解 令 xyu, 则dydu1, dx dx
代入原式 du1 1, dx u
分离变量法得 u ln u 1 ) ( x C ,
将uxy代,回 所求通解为
y ln x y ( 1 ) C , 或 xC 1 eyy 1 另解 方程变d形 xx为 y.
dy
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例2. 求方程
dxxy2y
x y3
dy0的通解
.
解: 注意 x, y 同号, 当x0时 , dx2d x,故方程可
x
变形为 2d x x 2
dy y
y
这是以 x 为因变量, y为
自变量的一阶线性方程
[解] 这是线性方程吗？
变形为： dx x yey dy y
是关于函数 x=x(y) 的一阶线性方程！
第一步:先求解齐次方程
x
Ce
dy y
dx x 0 dy y
dx dy xy
齐次方程通解是 xCy(CR)
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第二步:用常数变异法解非齐次方程
5
一阶线性微分方程的解法
1.
线性齐次方程
dyP(x)y0. dx
(使用分离变量法)
dy P(x)dx, y
dyyP(x)dx,
ln y P (x )d x lC n ,
齐次方程的通解为 yCeP(x)dx.
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例 求 方 程 dy2ysinx0的 通 解 . dx
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2.
线性非齐次方程
dyP(x)yQ(x). dx
作变换 yu(x)eP(x)dx
y u ( x ) e P ( x ) d x u ( x ) P [ ( x )e ] P ( x ) d ,x
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2. 解非齐次方程 dyP(x)yQ(x) dx
用常数变易法: 作变换 y(x)u(x)eP (x)dx,则
ueP(x)dx P(x)ueP(x)dx P(x) ueP(x)dxQ(x)
一阶线性微分方程 linear differential equation of first order
非齐次 non-homogeneous 齐次线性方程 homogeneous linear equation 非齐次线性方程 non-homogeneous linear equation
常数变易法 method of variation of constant 伯努利方程 Bernoulli equation 全微分方程 total differential equation
都 是 该 齐 次 方 程 的 解 , 其 中 C 1 , C 2 为 任 意 常 数 .
4
性质4：
如 果 y1(x),y2(x)是 非 齐 次 方 程 的 解 , 则 y1(x)y2(x)是 齐 次 方 程 的 解 .
性质5：
如果y*(x)是非齐次方程的一个解， y(x)是齐次方程的一个解,则 y*(x)y(x)是非齐次方程的解.
即
duQ(x)eP(x)dx
两端积分得对应齐dux次方Q 程(x通)e解P (x)yd xd C xe C P(x)dx
故原方程的通解 y e P (x )d x Q (x )e P (x )d xd x C
即
y CeP(x)dx e P (x)dxQ (x)eP (x)dxd x
dy
2y
5
(x1) 2.
dx x1
解:
先解
dy 2y 0, 即 dx x1
d y 2dx y x1
积分得 ln y 2 ln x 1 ln C ,即 yC(x1)2
用常数变易法求特解. 令 yu(x)(x1)2,则 y u (x 1 )2 2 u (x 1 )
1
代入非齐次方程得 u(x1) 2
3
(一 )线性方程的性质
性质1： 线 性 齐 次 方 程 必 有 零 解 。
性质2：若 y y ( x ) 是 线 性 齐 次 方 程 的 解 ,则
y C y ( x ) 亦 是 该 齐 次 方 程 的 解 ( C 为 任 意 常 数 ) 。
性质3：如 果 y1(x)与 y2(x)是 线 性 齐 次 方 程 的 解 ,则 它 们 的 任 意 线 性 组 合 y C 1y 1 (x ) C 2y 2 (x )
由一阶线性方程通解公式 , 得
xe
d 2
y y
1 y
e
d 2
y y
P( y)
dxlnC
Q( y)
1 2y
1
Hale Waihona Puke Baidu
y
1 y
1 y
dylnC
y ln C y
y
x
所求通解为 ye y C(C0)
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例 求方 y程 1ysix n的通 . 解 xx
解 P(x) 1 , Q(x)sinx,