大学数学(高数微积分)专题五第讲圆锥曲线中的热点问题(课堂讲义)

＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的
斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
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(2013·陕西)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得
弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同
猜想，当直线l的倾斜角变化时，
本
讲 栏 目
AE与BD相交于定点N52，0，
开 关
证明：由(2)知A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴D(4，y1)，E(4，y2)，当直线l的倾斜角变化时，首先证直线
AE过定点52，0，
∵lAE：y－y2＝y42－－xy11(x－4)， 19
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当x＝52时，y＝y2＋y42－－xy11·－32
栏
目 时，求B点坐标．
开
关解
(1)设 N(x，y)，则由M→N＝2M→P，得 P 为 MN 的中点，
所以 M(－x,0)，P(0，2y)． 又P→M⊥P→F得P→M·P→F＝0，P→M＝(－x，－2y)， P→F＝(1，－2y)，所以y2＝4x(x≠0)．
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(2)由(1)知F(1,0)为曲线C的焦点，由抛物线定义知，抛物线上
“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义
的运用，以简化运算．
本
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，
讲 栏 目
y2)，则所得弦长|P1P2|＝ 1＋k2 |x2－x1|或|P1P2|＝ 1＋k12
开 关
. |y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关
然后根据向量关系式M→A＝λA→F，M→B＝μB→F把λ，μ用点A，B
本
讲 的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k无关即
栏
目 证明了其为定值，否则就不是定值；(3)先根据直线l的斜率不
开 关
存在时的特殊情况，看两条直线AE，BD的交点坐标，如果
直线AE，BD相交于定点的话，这个特殊位置时的交点就是
讲 栏
因为点M(1－ 2，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是
目 开 关
y0＝－12(2－ 2)＋14＝－3－42 2，
①
y0＝－1－2p 22＝－3－22p
2 .
②
由①②得p＝2.
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(2)设 N(x，y)，Ax1，x421，B(x2，x422)，x1≠x2，
由 N 为线段 AB 中点知
式．步骤②⑤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变
形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等. 7
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考点一 求轨迹方程
例1 (2013·辽宁)如图，抛物线C1：x2＝4y，
本 讲
C2：x2＝－2py(p＞0)．点M(x0，y0)在抛物
栏 目
线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M
开 关
为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－ 2
栏 目
①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标
开 关
——解析法(坐标法)．
②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系．
③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化．
④化简整理方程——简化．
⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性．
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主干知识梳理
(2)求轨迹方程的常用方法：
①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；
开 关
(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：
将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元
方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．
②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点． 4
主干知识梳理
2．有关弦长问题
有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，
线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F 交椭圆于 A、B 两点，点 A、F、
本 B 在直线 x＝4 上的射影依次为 D、K、E.
讲 (1)求椭圆 C 的方程；
栏 目 开
(2)若直线 l 交 y 轴于点 M，且M→A＝λA→F，M→B＝μB→F，当直
关 线 l 的倾斜角变化时，探求 λ＋μ 的值是否为定值？若是，
3
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(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：
将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元
方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线
本 讲
与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．
栏 目
②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．
本 的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定
讲
栏 点．
目 开
(1)解
如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，
关 得|O1A|＝|O1M|，
当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H， 则H是MN的中点，
∴|O1M|＝ x2＋42，
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又|O1A|＝ x－42＋y2，
系，即作如下变形：
|x2－x1|＝ x1＋x22－4x1x2，
|y2－y1|＝ y1＋y22－4y1y2.
(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两
点间距离公式)．
5
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3．弦的中点问题
有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求
法”来简化运算．
4．轨迹方程问题
本 讲
(1)求轨迹方程的基本步骤：
所以x1x2＝－x21＋6 x22.
⑦
本 讲 栏
由③④⑦得x2＝43y，x≠0.
目
开 关
当 x1＝x2 时，A，B 重合于原点 O，AB 中点 N 为 O，坐标满足 x2＝43y.
因此AB中点N的轨迹方程为x2＝43y.
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(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若
能预先知道轨迹为圆锥曲线，则可考虑用定义法或待定系数
时，切线MA的斜率为－12.
(1)求p的值；
(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B
重合于O时，中点为O)．
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解 (1)因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率 为y′＝x2，且切线MA的斜率为－12，
本 所以A点坐标为－1，14，故切线MA的方程为y＝－12(x＋1)＋14.
讲
栏 目
又F坐标为(1,0)，设l交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
开 关
y＝kx－1，
由x42＋y32＝1，
消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
∴x1＋x2＝3＋8k42k2，x1x2＝43k＋2－4k122，
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又由M→A＝λA→F，∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1)， ∴λ＝1－x1x1，同理μ＝1－x2x2，
x＝x1＋2 x2，
③
本 讲
y＝x21＋8 x22.
④
栏 目
切线MA、MB的方程分别为
开 关
y＝x21(x－x1)＋x421.
⑤
y＝x22(x－x2)＋x422.
⑥
由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为
x0＝x1＋2 x2，y0＝x14x2.
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因为点M(x0，y0)在C2上，即x20＝－4y0，
＝24－x12·y42－－x31y2－y1
本 讲 栏
＝24－x1·k2x24－－1x－1 3kx2－x1
目 开 关
＝－8k－2k2x14x－2＋x15kx1＋x2
＝－8k3＋42k42－－x21k·43k＋2－4k122＋5k·8k2＝0.
∴点N52，0在直线lAE上．
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同理可证，点N52，0也在直线lBD上．
②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系
数法求方程；
本 讲
③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；
栏 目
④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直
开 关
线交点的轨迹；
(3)注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方
程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达
所以AD中垂线方程为y＝－y1＋4 y3(x－3)，
又AD中点(x1＋2 x3，y1＋2 y3)在直线上，代入上式得x1＋2 x3＝1，
即x2＝1，所以点B(1，±2)．
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考点二 圆锥曲线中的定值、定点问题 例 2 已知椭圆 C：xa22＋by22＝1 经过点(0， 3)，离心率为12，直
参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．
2
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1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：
本 讲
将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个
栏 目
一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则
开 关
直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．
这个定点，这样只要证明直线AE，BD都经过这个定点即证
明了两直线相交于定点，否则两直线就不相交于定点．
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解 (1)依题意得b＝ 3，e＝ac＝12，a2＝b2＋c2， ∴a＝2，c＝1，∴椭圆C的方程为x42＋y32＝1. (2)因直线l与y轴相交，故斜率存在，设直线l方程为