28.1 锐角三角函数(第一课时)

28．1 锐角三角函数
第一课时
一、教学目标
1．理解正弦的意义，并能运用sin A表示直角三角形中两边的比，能根据正弦的概念正确进行计算．
2．经历探究直角三角形中的边与角的关系，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力；通过学生自我发现培养学生的自我反思能力；通过提出困惑提升学生发现问题的能力．
二、教学重难点
重点：理解认识正弦(sin A)概念，能用正弦的概念进行简单的计算．
难点：正弦概念的理解及应用．
教学过程（教学案）
一、问题引入
【问题】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡的坡角(∠A)为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？
教材图28.1－1
你能将这个实际问题归结为数学问题吗？
从学生熟悉的背景入手，引导学生发现数学问题．同时探求解决问题的途径和方法． 二、互动新授
师生共同分析得出这个问题可以归结为：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC
＝35m ，求AB (如教材图28.1－1)．
【思考】 在上面的问题中，如果出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ 学生练习，教师小结：在上面求AB (所需水管的长度)的过程中，我们用到了结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于1
2
.
【思考】 如教材图28.1－2，任意画一个Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠A ＝45°，计算∠
A 的对边与斜边的比BC
AB
，由此你能得出什么结论？
如教材图28.1－2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，因为∠A ＝45°，所以Rt △ABC 是等腰直角三角形．由勾股定理得
AB 2＝AC 2＋BC 2＝2BC 2，AB ＝2BC .因此BC AB ＝BC 2BC ＝12＝2
2
，
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于
2
2
.是一个固定值． 当∠A 是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？ 【探究】 任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′(教材图28.1－3)，使得∠C ＝∠C ′＝90°，∠A ＝∠A ′，那么BC AB 与
B ′
C ′
A ′
B ′
有什么关系？你能解释一下吗？
教材图28.1－3
学生交流谈论，尝试探究。

教师小结：如教材图28.1－4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sin A ，即sin A ＝
∠A 的对边斜边＝a
c
.
例如，当∠A ＝30°时，我们有sin A ＝sin30°＝1
2；
当∠A ＝45°时，我们有sin A ＝sin45°＝
22
. 注意：∠A 的正弦sin A 随着∠A 的变化而变化． 三、精讲例题
【例1】 如教材图28.1－5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求sin A 和sin B 的值．
（1）
（2）教材图28.1－5
学生练习后，交流、讨论． 教师讲评：
【解】 如图(1)，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB ＝AC 2
＋BC 2
＝42
＋32
＝5.
因此，sin A ＝BC AB ＝35，sin B ＝AC AB ＝4
5.
如图(2)，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝AB 2
－BC 2
＝132
－52
＝12. 因此sin A ＝BC AB ＝513，sin B ＝AC AB ＝12
13.
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？ 五、板书设计
六、教学反思
学生对于任意确定的锐角，它的对边与斜边的比是固定值这一事实比较难理解，因此，在教学过程中，教师要注重引导学生通过比较、分析，从而得出结论．正弦的概念是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都非常重要，教学中应十分重视．同时正弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，在教学中应作为难点处理．
导学方案
一、学法点津
本节课让学生初步了解正弦概念，能正确地用sin A 表示直角三角形中两边的比．让学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比是固定值这一事实，这是掌握本节内容的有效方法．锐角三角函数是解直角三角形的基础，解直角三角形的理论又为解决一些实际问题提供了强有力的工具．同时，解直角三角形还为锐角三角函数提供了与实际紧密联系的沃土．学习中要通过“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”等来扩大探究交流的空间，发展思维能力，从而解决问题．
二、学点归纳总结
1.知识要点总结
在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A .
即sin A ＝∠A 的对边斜边＝a
c
.
2.规律方法总结
（1）当锐角A 固定时，∠A 的对边与斜边的比是一个固定值． （2）正弦是一个比值，是没有单位的数值． （3）sin A 是整体符号，不能写成sin ·A .
（4）当用三个字母表示角的正弦时，角的符号“∠”不能省略，如：sin ∠ABC .
（5）sin 2A 表示(sin A )2，而不能写成sin A 2
.
第一课时作业设计
一、选择题
1．在Rt △ABC 中，各边长度都缩小为原来的1
3，那么锐角A 的正弦值( )．
A ．都扩大到原来的3倍
B ．都缩小到原来的1
3 C ．没有变化 D ．不能确定
2．下列说法中正确的是( )．
A ．sin α表示角α与符号sin 的乘积
B ．若∠A 为锐角，则sin A 是任意正数
C ．已知锐角α为固定值，则α的正弦值也是一个固定值
D ．在直角三角形中，不管三角形的大小如何，比值45°角的对边
斜边
永远是2，是不变
的
3．如右图所示，在正方形网格中，∠AOB 如右图放置，则sin ∠AOB ＝( )． A.
55 B.255 C.12
D ．2
第3题图第4题图第6题图二、填空题
4．如右图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，则sin A ＝（ ）
AC
＝
BC
（ ）
，
sin ∠DCB ＝（ ）
（ ）
.
5．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，则sin A ＝__________． 三、解答题
6．如图所示，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的高，△ABC 的周长是16，AD ＝4.求∠B 的正弦值．
【参考答案】
1．C 2.C 3.B 4.CD AB BD BC 5.3
5
6．解：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD. 设BD ＝CD ＝x ，则AB ＝AC ＝8－x ， 在Rt △ABD 中，∵AB 2＝AD 2＋BD 2， ∴(8－x )2＝42＋x 2，∴x ＝3，∴8－x ＝5. ∴BD ＝3，AB ＝5，∴AD ＝52－32＝4， ∴sin B ＝AD AB ＝4
5.。