对偶问题(三)——对偶单纯形法

1、确定出基变量： 设br =min{bi | bi <0} 则取br所在行的基变量 为出基变量 即取X4为出基变量 2、确定入基变量： 原则： 保持检验行系数≤0
λi λ i0 设 min | a ri < 0 = a ri a ri 0
1 21 3
X1 检 -2/3 X3 -5/3 X2 4/3 X5 -5/3 X3 X4 0 -1/3 1 0 0
max Z = −4 x1 − 3 x 2 − 8 x 3 − x1 − x 3 + x 4 = −2 不可行− x 2 − 2 x 3 + x 5 = −5 s.t x ，x ，x , x , x ≥ 0 1 2 3 4 5
若取初始基 B1 = (P4， P5 ) 则关于 B1的典则形式为
-1/3 0 -1/3 0 2/3 1
X1 检 0 X3 0 X2 0 X1 1
X3 X4 X5 0 -3/5 -2/5 Z+12/5 1 0 0 -1 -1 0 1/5 4/5 6/5 -2/5 -3/5 3/5
3 6 最优解X = ，，0， （ 0，0 ） 5 5 最优值Z = −12 5
则取xi0 为入基变量
a11x1 + a12x2 +L+ a1n xn ≥ b1 a x + a x +L+ a x ≥ b 21 1 22 2 2n n 2 s.t L L L am1x1 + am2 x2 +L+ amnxn ≥ bm x1 , x 2 L , x n ≥ 0
若 c j ≥ 0 ( j = 1, 2 , L , n )
max Z ′ = − 2 x 1 − x 2 3 x1 + x 2 − x 3 = 3 4x + 3x − x = 6 1 2 4 s .t 基B的典则形式 x1 + 2 x 2 + x 5 = 3 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0
取基 B = (P3 , P4 , P5 )
分析： 若X3或X4所在的行的aij均 非负， 则问题一定无可行解 否则，做换基迭代
X1 X2 X3 X4 X5 检 X3 X4 X5 -2 -1 0 -3 -1 1 -4 -3 0 1 2 0 X2 0 0 1 0 X2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Z -3 -6 3 X5 0 Z+2 -1 2 -1
若取初始基 B 2 = (P1， P2 )
则关于 B 2的典则形式为
max Z = 18 x 3 − 4 x 4 − 3 x 5 x1 + x 3 − x 4 = 2 s.t x 2 + 2 x 3 − x 5 = 5 x ，x可行, x , x ≥ 0 1 2，x3 4 5
′ X 1 = (0，0， 2， 5) 0， − −
基 B =（ Pn +1 , Pn + 2 , L , Pn + m）
基本解 X = 0， L， − b1 ,−b2 , L ,−bm） （ 0， 0，
单纯形法 解线性规划问题的方法 对偶单纯形法
如何用？
求解线性规划问题的方法与步骤：
1、 把原问题化为标准型 max z = CX
s .t AX = b X ≥ 0
找到一个基 B ，转第3步 2、找初始基 找不到基 ，转第4步
3、把问题写成关于基B的典则形式
若对应的基本解可行， 即 B −1b ≥ 0 ，用单纯形法
若对应的基解不可行，
即B −1b ≥ 0 检验数均 ≤ 0 ，对偶单纯形法
存在检验数 > 0 ，转第4步
4、增加人工变量，用大M法或两阶段法求解
不可行
s.t.
X 0，0 15 对应B的基本解： = (0，0，,−1,0， ,5)
′
单纯形法 × 存在检验数>0 x3 + 2 x4
增加人工变量 x 9
s.t.
2 x2 + x3 + x4 − x5 + x9 = 1 3 x − 2 x − x + 2 x + x7 = 15 2 3 4 1 + x3 + x8 =5 x1 9 x − 8 x − x + 2 x + x6 =0 1 2 3 4 x1 ,x2 ,x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 ≥ 0
3 6 最优解 X = ， ， 0， （ 0， 0 ） 5 5
最优值 Z = − 12
5
例：用对偶单纯形法 求解下列问题 max Z = 2 x1 + x 2 x1 + x 2 + x 3 = 5 2x + x ≤ 5 11 9 2 3= 最优解 X （ ， ） s.t 4 4 x 2 + 6 x3 ≥ 9 4 x1 , x 2 ,Z 3=≥31 0 最优值 x
例求 min Z = 4 x1 + 3 x 2 + 8 x 3 x1 + x 3 ≥ 2 s.t x 2 + 2 x 3 ≥ 5 x ，x ，x ≥ 0 1 2 3
标准型为 max Z = −4 x1 − 3x 2 − 8 x3 x1 + x3 − x 4 = 2 s.t x 2 + 2 x3 − x5 = 5 x ，x ，x , x , x ≥ 0 1 2 3 4 5
解：问题化为标准型 max Z = 2 x1 + x 2 =5 x1 + x 2 + x 3 2 x 2 + x3 + x 4 =5 s.t 9 x2 x3 +−xx 5 ==− 9 5 − 44 x 2−+66 x 3 x1 , x 2 , x 3， x 4， x 5 ≥ 0
基本解 X = (0，， 3， 6，) 0 − − 3
X1 X2 X3 X4 X5 检 X3 X4 X5 -2 -1 0 -3 -1 1 -4 -3 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Z -3 -6 3
不 可 行
即 max Z ′ = − 2 x 1 − x 2
= −3 − 3x1 − x2 + x3 − 4x − 3x + x4 = −6 1 2 s.t + x5 = 3 x1 + 2x2 x1, x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
-1/2 0 -1/2 0 -2 3/2 1 0
-1/4 9/4
11 9 1 最优解 X =（ ， ， ， 0， 0 ） 4 4 2 初始基B = P1，P4，P5） （ 31 最优值 Z = 不是典则形式 4
注意：对偶单纯形法仅限于初始基B对应 可用对偶单 的典则形式中目标函数的系数（检 纯形法 验数）均≤0的情形。 B的典则形式
例：求min Z = 2 x1 + x2 3x1 + x2 ≥ 3 4 x + 3x ≥ 6 1 2 s.t x1 + 2 x2 ≤ 3 x1 , x2 ≥ 0
所求问题的最优解 3 6 X =（ ， ） 5 5 12 最优值 Z = 5
解：标准型为 max Z ′ = − 2 x 1 − x 2 3 x1 + x 2 − x 3 = 3 4x + 3x − x = 6 1 2 4 s .t x1 + 2 x 2 + x 5 = 3 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0
形如 : minz = c1x1 + c2 x2 +L+ cn xn
标准型: max z′ = −c1 x1 − c2 x2 − L− cn xn − a11111x−+12122x2 +L+1a1nnx+−nxn+1 = b1 ax 1 aax −L− a n x n x +1 = −b1 − x − a x −L− a x + x = −b aa 21211x1 +22222 2 +L+2n2nnxn −nxn+2 = b2 a x a +2 2 s.ts.t LL LL LL − am1x1x−+m2 x2x−+L+mnxnx+−nxm == bm am1 1 aam2 2 L− aamn n x +n+m −bm
对应B1的基本解： 对应B2的基本解
X 2= (2，0，0 ) 5，0， ′
检验数全部≤0 可用对偶单纯形法求解
用单纯形法求解
单纯形法和对偶单纯形法均不可行的例子
max Z = 9 x1 − 8 x2 − 3 x3 + 2 x4 − 2 x2 − x3 − x4 + x5 3x − 2 x − x + 2 x + x7 2 3 4 1 + x3 + x8 x1 9 x − 8 x − x + 2 x + x6 1 2 3 4 x1 ,x2 ,x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 ≥ 0 = −1 = 15 =5 =0
2.3 对偶单纯形法
单纯形法与对偶单纯形法比较
单纯形法的步骤
对偶单纯形法的步骤
单纯形法 解线性规划问题的方法 对偶单纯形法
如何用？
例：求min Z = 2x1 + x2 3x1 + x2 ≥ 3 4x + 3x ≥ 6 1 2 s.t x1 + 2x2 ≤ 3 x1 , x2 ≥ 0 检验行 ≤0 解：标准型为
X1 X2 X3 X4 X5
2 检 0 1 -1 1 2 -4 0 -2 1 1 -6 0 0 1 0 0 0 0 1
Z Z-10
X1 1 X4 0 X5 0
5 5 -9
4
1 4 1 3 X1 X2 X3
检 X1 X4 X2
0 1 0 0 0 0 0 1
X4
X5
-1/4 Z-31/4 1/4 1/2 11/4 1/2
用大M法求解
或用两阶段法求解
作业： 用对偶单纯形法
求解下列问题 max Z = x 1 + x 2 2 x1 + x 2 ≥ 4 s .t x 1 + 7 x 2 ≥ 7 x ,x ≥ 0 1 2
最优解： 最优值： 21 10 X * =（ ， ）， 13 13 31 Z* = 13