简单数学建模100例
matlab数学建模100例
matlab数学建模100例Matlab是一种强大的数学建模工具，广泛应用于科学研究、工程设计和数据分析等领域。
在这篇文章中，我们将介绍100个使用Matlab进行数学建模的例子，帮助读者更好地理解和应用这个工具。
1. 线性回归模型：使用Matlab拟合一组数据点，得到最佳拟合直线。
2. 多项式拟合：使用Matlab拟合一组数据点，得到最佳拟合多项式。
3. 非线性回归模型：使用Matlab拟合一组数据点，得到最佳拟合曲线。
4. 插值模型：使用Matlab根据已知数据点，估计未知数据点的值。
5. 数值积分：使用Matlab计算函数的定积分。
6. 微分方程求解：使用Matlab求解常微分方程。
7. 矩阵运算：使用Matlab进行矩阵的加减乘除运算。
8. 线性规划：使用Matlab求解线性规划问题。
9. 非线性规划：使用Matlab求解非线性规划问题。
10. 整数规划：使用Matlab求解整数规划问题。
11. 图论问题：使用Matlab解决图论问题，如最短路径、最小生成树等。
12. 网络流问题：使用Matlab解决网络流问题，如最大流、最小费用流等。
13. 动态规划：使用Matlab解决动态规划问题。
14. 遗传算法：使用Matlab实现遗传算法，求解优化问题。
15. 神经网络：使用Matlab实现神经网络，进行模式识别和预测等任务。
16. 支持向量机：使用Matlab实现支持向量机，进行分类和回归等任务。
17. 聚类分析：使用Matlab进行聚类分析，将数据点分成不同的类别。
18. 主成分分析：使用Matlab进行主成分分析，降低数据的维度。
19. 时间序列分析：使用Matlab进行时间序列分析，预测未来的趋势。
20. 图像处理：使用Matlab对图像进行处理，如滤波、边缘检测等。
21. 信号处理：使用Matlab对信号进行处理，如滤波、频谱分析等。
22. 控制系统设计：使用Matlab设计控制系统，如PID控制器等。
数学建模习题
数学建模习题1．木材采购问题一个木材贮运公司，有很大的仓库，用于贮运出售木材。
由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分贮存起来以后出售。
已知:该公司仓库的最大贮藏量为20万立方米，贮藏费用为（a+bu）元/万立方米，其中：a=70,b=100,u为贮存时间（季度数）。
已知每季度的买进、卖出价及预计的销售量为:2．飞机投放炸弹问题某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。
已知该目标有四个要害部位，只要摧毁其中之一即可达到目的。
为完成此项任务的汽油耗量限制为48000公升，重型炸弹48枚、轻型炸弹32枚。
飞机携带重型炸弹时每公升汽油可飞行2 公里，带轻型炸弹时每公汽油可飞行3公里。
又知每架飞机一次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来回路程汽油消耗（空载时每公升汽油飞行4公里）外。
起飞和降落每次各消耗100公升。
有关数据如下表所示：为了使摧毁敌方军事目标的可能性最大，应如何确定飞机轰炸的方案。
3．三级火箭发射问题建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。
（1）设卫星绕地球作匀速圆周运动，证明其速度为v= R^gr;, R为地球半径,r为卫星与地心距离，g为地球表面重力加速度。
要把卫星送上离地面600km 的轨道，火箭末速v应为多少。
（2）设火箭飞行中速度为v（t）,质量为m（t）,初速为零，初始质量m，火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u，忽视重力和阻力对火箭的影响。
用动量守恒原理证明v（t）= u in j。
由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措m（t）施。
（3）火箭质量包括3部分：有效载荷（卫星）m；燃料m；结构（外壳、燃料仓等）m，其中m 在m + m中的比例记作九P一般九不小于10%。
证明若m p =0（即火箭不带卫星），则燃料用完时火箭达到的最大速度为v =-u in九. 已知，目前的u=3km/s，取九=10%，求v。
这个结果说明什么。
（4）假设火箭燃料燃烧的同时，不断丢弃无用的结构部分，即结构质量与燃料质量以和1-的比例同时减少，用动量守恒原理证明v（t）=（1-九）u in %。
简单数学建模100例
“学”以致用-----简单数学建模应用问题100例数学教学过程中学习了一个数学公式后，需要做大量的应用题，通过训练来加深理解所学公式。
但是在生活中又有多少实际问题是可以直接套用公式的呢？理想状态下的公式直接运用，在生产及生活中的实例是少之又少。
为此学生总感到学了数学没有什么实际用处，所以对学习数学少有兴趣。
数学建模的引入对培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径，让中职学生从中体会到数学是来源于生活并应用于生活的.数学建模是一种思维方式，它是一个动态的过程，通过此过程可以将一个实际的问题，经过模型准备、模型假设、模型构成、模型解析、模型检验与应用等五个具体步骤，转变为可以用数学方法（公式）来解决的，在理想状态下的数学问题，上述的整个流程统称为数学建模如果想解决某个实际问题（也许它和数学没有直接的关系），可以按下面流程对问题进行数学建模。
一．模型准备先了解该问题的实际背景和建模目的，尽量弄清要建模的问题属于哪一类学科的问题，可能需要用到哪些知识，然后学习或复习有关的知识，为接下来的数学建模做准备.由于人们所掌握的专业知识是有限的，而实际问题往往是多样和复杂的，模型准备对做好数学建模问题是非常重要的.二．模型假设有了模型准备的基础，要想把实际问题变为数学问题还要对其进行必要合理的简化和假设.明确了建模目的又掌握了相关资料，再去除一些次要因素.以主要矛盾为主来对该实际问题进行适当的简化并提出一些合理的假设。
模型假设不太可能一蹴而就，可以在模型的不断修改中得到逐步完善.三．模型构成在模型假设的基础上，选择适当的数学工具并根据已知的知识和搜集的信息来描述变量之间的关系或其他数学结构（如数学公式、定理、算法等）.做模型构成时可以使用各种各样的数学理论和方法，但要注意的是在保证精度的条件下尽量用简单的数学方法是建模时要遵循的一个原则.四．模型解析在模型构成中建立的数学模型可以采用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明等各种传统的和现代的数学方法对其进行求解，其中有些可以借助于计算机软件来做这些工作。
数学建模简单13个例子
总距离为 n 1 ，
故有砖点n块 出向人右意可料时 叠。k1至, 2knk任1 2意1k远，n这1 一21n结果多少返回
10、寻找黑匣子
飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种 射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。 确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离， 试设计一些寻找黑匣子的方法。由于要确定两个参 数，至少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣 子发射射线的强度。
分析：在这场“价格战”中，我们将站在乙加油站的立 场上为其制定价格对策．因此需要组建一个模型来描述 甲站汽油价格下调后乙加油站销售量的变化情况．
为描述价格和汽油销售量之间的关系，我们引入如下 一些指标：
影响乙加油站汽油销售量的因素 (1)甲加油站汽油降价的幅度； (2)乙加油站汽油降价的幅度； (3)两站之间汽油销售价格之差．
在这场“价格战”中，我们假设汽油的正常销售价格 保持定常不变，并且假定以上各因素对乙加油站汽油 销售量的影响是线性的．于是乙加油站的汽油销售量 可以由下式给出
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13、遗传模型
1．问题分析
所谓常染色体遗传，是指后代从每个亲体的基因 中各继承一个基因从而形成自己的基因型.
如果所考虑的遗传特征是由两个基因A和B控制的， 那么就有三种可能的基因型：AA，AB和BB.
换显一然种是想由法于，节问省题了就从迎 刃相而遇解点了到。会假合如点他，的又妻从子会遇合 到 点点故他，返，后那回故仍么相由似载这遇相乎着一点遇条他天这点件开他一到不往就段会够会不路合哦合会的点。地提缘需。 前开回5分家钟了。。而提此前人的提十前分了钟三时 间十从分何钟而到来达？会合点，故相遇 时他已步行了二十五分钟。
另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离 L2既可用曲线
数学建模传染病模型例题
以下是一个简单的数学建模传染病模型的例题：
问题：假设有一个小岛上住着100个人，其中有1个是传染病源。
初始时，这个人不知道自己已经患病，所以没有采取隔离措施。
其他人也不知道有传染病源在岛上。
假设每天，每个健康的人都有可能接触并感染患病的人，感染的概率是p。
另外，健康的人每天也有1个单位的时间用于自我保护，减少被感染的风险。
假设在t天后，岛上有x个人被感染。
我们需要找出p和时间t的关系，以及如何通过调整p来控制传染病的传播。
假设：
1. 每个人每天只能接触一次患病的人。
2. 每个人每天有1个单位的时间用于自我保护。
3. 每个人接触患病的人后，有p的概率被感染。
4. 初始时，只有1个人是患病者。
5. 没有新的外来感染者进入岛上。
模型建立：
根据上述假设，我们可以建立如下的微分方程模型：
dx/dt = p * (100 - x) * (1/100) - x/100
其中，x表示被感染的人数，p表示感染概率，t表示时间。
求解模型：
通过求解这个微分方程模型，我们可以得到x与t的关系。
由于这个方程较为简单，我们可以直接求解它，找出x的解。
然后我们可以根据解的情况，讨论p对x的影响，从而找到控制传染病传播的方法。
通过上述模型和求解过程，我们可以了解传染病的传播情况以及如何通过调整感染概率p来控制其传播。
这个例题可以帮助我们理解数学建模在传染病控制中的应用，并为实际的传染病控制提供理论支持。
数学建模简单13个例子_2022年学习资料
7、气象预报问题-在气象台A的正西方向300km处有一台风中心，它以-40km/h的速度向东北方向移动；根 台风的强度，在距-其中心250km以内的地方将受到影响，问多长时间后气象-台所在地区将遭受台风的影响？持续 间多长？-此问题是某气象台所遇到的实际问题，为了搞好气象-预报，现建立解析几何模型加以探-以气象台A为坐标 点建立-平而直角坐标系，设台风中心为B,-如图
某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路-返回A地。问：在什么条件下，可以保证途中-至少存在一地，此人在 天中的同一时间到达该-假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一-人在同一天由B去A,问题就化为在什么条 下，两-人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：-只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，-两人 会在途中相遇。
1.皮的厚度一样2.汤圆（饺子）的形状-假设-R大皮的半径，r小皮的半-模型-S=ns-S=k R,V=k R3V=kS2-s=kr2,v=kr3 v=ks2-=n32v-应用-V=√nv≥vv是nv是√n倍-若1 0个汤圆（饺子包1公斤馅，-则50个汤圆（-问题杀羊方案-现有26只羊，要求7天杀完且每天必须杀奇数只，-问各天分别杀几只？-分析：-1 这是一个有限问题，解决此类问题的一-类方法是枚举，你可以试试。-建模：-2.依题意，设第i天杀2k,+1k 自然数只，-则所提问题变为在自然数集上求解方程-之2k,+10=26-i=1-于是，我们有了该问题的数学语 表达—数学模型-求解：-用反证法容易证明本问题的解不存在。-返回
x+y=l-y+z=m-x+7=n-由三元一次线性方程组解出x,y,z即得三根-电线的电阻。-说明：此问题 难，点也是可贵之处是用方程-“观点”、”立场”去分析，用活的数学思想使实-际问题转到新剑设的情景中去。-返
数学建模例题和答案卖饮料
数学建模例题和答案卖饮料在超市里面有很多饮料卖，下面我们就一起来看一看他们的“出价”吧。
有两种不同的出价方法。
1、直接卖商品，如果你不直接卖你最喜欢的商品，那这个出价会让你感到失望，你可以在出了一个固定价位之后再进行加法，比如加到最低价，但也需要你给出其他的更高的底价。
2、根据“先升后降”原理：如果你卖一个饮料或者是有很多饮料可以一起卖，那么这个价格可以调整到最合适。
但是如果一个销售人员不能同时按“先升后降”原则来卖商品也是不合适的行为，所以可以将“先升后降”按照公式来进行计算。
如果顾客选择了“先升后降”规则来喝饮料时可以购买更多的商品。
比如1瓶100 ml （售价8元）装;2瓶50 ml （售价25元）装;3瓶100 ml×10袋=100 L (售价5元);4瓶50+10只需要3个工作人员进行售卖。
如果我们直接按公式进行计算，会得出“我们不需要1个工作人员进行售卖”或者“我们只需要1个售货员进行销售即可”这样的结论。
所以你是不需要对“先升后降价”规则有任何了解的。
1.根据“先升后降”原理，一个售货员只需要卖出100 ml的商品，那么这个价格是一个固定的8元；2.每卖出1个50 ml的商品，需要卖出3个50+10瓶装的商品才可以。
3.售货员只需要给该商品加上一元钱就可以了，那么这个价格应该是一元5元。
例：某超市出售的某种饮料共40箱，售价25元。
那么每箱需要卖多少钱呢？我们可以按这个公式计算：因为我们卖40箱需要20个售货员才能完成1箱的售卖，所以我们只需要卖出20箱饮料就可以了。
4.如果顾客需要买5箱50+10瓶装饮料就可以了吗？不可以，要想满足顾客需要，只能买5箱50+10瓶装。
2.根据“先升后降价”原理，一个售货员只需要在喝饮料时消费100 ml,那么这个价格是5元；而一个售货员需要在喝完饮料时再消费100 ml,那么这个价格是12元。
此时该售货员喝完100 ml饮料总的售价为12元。
数学建模题目及答案-数学建模100题
数学建模题目及答案-数学建模100题假设每个宿舍的委员数与该宿舍的学生数成比例，即每个宿舍的委员数为该宿舍学生数除以总学生数的比例乘以10.则A宿舍应分配的委员数为235/1000×10=2.35，但委员数必须为整数，所以可以向上取整，即A宿舍分配3个委员。
同理，B宿舍应分配的委员数为333/1000×10=3.33，向上取整为4个委员；C宿舍应分配的委员数为432/1000×10=4.32，向下取整为4个委员。
因此，A宿舍分配3个委员，B宿舍分配4个委员，C宿舍分配3个委员，剩下的委员数（10-3-4-3=0）为0.按照各宿舍人数占总人数的比例分配各宿舍的委员数。
设A宿舍、B宿舍、C宿舍的委员数分别为x、y、z人。
根据题意，我们可以列出以下方程组：x + y + z = 10x/10 = 235/1000y/10 = 333/1000z/10 = 432/1000其中，小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。
解方程组得到x=3，y=3，z=4.因此，A宿舍、B宿舍、C宿舍的委员数分别为3、3、4人。
一家饲养场每天投入5元资金用于饲料、设备、人力，预计每天可使一头80公斤重的生猪增加2公斤。
假设生猪出售的市场价格为每公斤8元，每天会降低0.1元。
我们设在第t天出售这样的生猪（初始重80公斤的猪）可以获得的利润为z元。
根据题意，我们可以列出以下方程：每头猪投入：5t元产出：（8-0.1t）（80+2t）元利润：Z = 5t +（8-0.1t）（80+2t）=-0.2 t^2 + 13t +640我们可以求得二次函数的顶点，即t=32.5时，Z取得最大值851.25元。
因此，该饲养场应该在第33天出售这样的生猪，以获得最大利润。
一家奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2.市场需求量与生产量相等，每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。
数学建模例题及解析
.例1差分方程——资金(de)时间价值问题1:抵押贷款买房——从一则广告谈起每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己(de)住房,但又没有足够(de)资金一次买下,这就产生了贷款买房(de)问题.先看一下下面(de)广告(这是1991年1月1日某大城市晚报上登(de)一则广告),任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心(de)是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢银行贷款(de)利息是多少呢为什么每个月要付1200元呢是怎样算出来(de)因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房(de)价格),如果自己只能支付一部分款,那就要把其余(de)款项通过借贷方式来解决,只要知道利息,就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说(de)房子作出决策了.现在我们来进行数学建模.由于本问题比较简单无需太多(de)抽象和简化.a.明确变量、参数,显然下面(de)量是要考虑(de)：需要借多少钱,用记；月利率(贷款通常按复利计)用R记；每月还多少钱用x记；借期记为N个月.b．建立变量之间(de)明确(de)数学关系.若用记第k个月时尚欠(de) 款数,则一个月后(加上利息后)欠款 , 不过我们又还了x元所以总(de)欠款为k=0,1,2,3,而一开始(de)借款为.所以我们(de)数学模型可表述如下(1)c. (1)(de)求解.由(2)这就是之间(de)显式关系.d．针对广告中(de)情形我们来看(1)和(2)中哪些量是已知(de).N=5年＝60个月,已知；每月还款x＝1200元,已知 A.即一次性付款购买价减去70000元后剩下(de)要另外去借(de)款,并没有告诉你,此外银行贷款利率R也没告诉你,这造成了我们决策(de)困难.然而,由(2)可知60个月后还清,即,从而得(3)A和x之间(de)关系式,如果我们已经知(3)表示N＝60,x＝1200给定时0A.例如,若R ＝0．01,则由(3)可算得道银行(de)贷款利息R,就可以算出053946元.如果该房地产公司说一次性付款(de)房价大于70000十53946＝123946元(de)话,你就应自己去银行借款.事实上,利用图形计算器或Mathematica这样(de)数学软件可把(3)(de)图形画出来,从而可以进行估算决策.以下我们进一步考虑下面两个问题.注1问题1标题中“抵押贷款”(de)意思无非是银行伯你借了钱不还,因而要你用某种不动产(包括房子(de)产权)作抵押,即万一你还不出钱了,就没收你(de)不动产.例题1某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款60000元,月利率0．01,贷款期25年＝300月,这对夫妇希望知道每月要还多少钱,25年就可还清.假设这对夫妇每月可有节余900元,是否可以去买房呢解：现在(de)问题就是要求使 (de)x,由(2)式知现＝60000,R＝0．01,k＝300,算得x=632元,这说明这对夫妇有能力买房.例题2 恰在此时这对夫妇看到某借贷公司(de)一则广告：“若借款60000元,22年还清,只要；(i)每半个月还316元；(ii)由于文书工作多了(de)关系要你预付三个月(de)款,即316×6＝1896元.这对夫妇想：提前三年还清当然是好事,每半个月还316元,那一个月不正好是还632元,只不过多跑一趟去交款罢了；要预付18％元,当然使人不高兴,但提前三年还清省下来(de)钱可是22752元哟,是1896元(de)十几倍哪这家公司是慈善机构呢还是仍然要赚我们(de)钱呢这对夫妇请教你给他们一个满意(de)回答.具体解法略.问题2：养老基金今后,当年青人参加工作后就要从其每月工资中扣除一部分作为个人 (de)养老基金,所在单位（若经济效益好(de)话）每月再投入一定数量(de)钱,再存入某种利息较高而又安全(de)“银行”(也可称为货币市场)到60岁退休时可以动用.也就是说,若退休金不足以维持一定(de)生活水平时,就可以动用自己(de)养老基金,每月取出一定(de)款项来补贴不足部分.假设月利率及＝0．01不变,还允许在建立养老基金时自己可以一次性地存入A(不论多少),每月存入y元(个人和单位投入(de)总和)；通常从一笔钱0三十一岁开始到六十岁就可以动用.这当然是一种简化(de)假设,但作为估算仍可作为一种考虑(de)出发点.本问题实际上有两个阶段,即退休前和退休后,其数学模型为其中x为每月要从养老基金中提出(de)款项.习题1 某大学年青教师小李从31岁开始建立自己(de)养老基金,他把已有(de)积蓄1万元也一次性地存入,已知月利率为0．01 (以复利计),每月存入300元,试问当小李60岁退休时,他(de)退休基金有多少又若,他退休后每月要从银行提取l000元,试问多少年后他(de)退休基金将用完你能否根据你了解(de)实际情况建立一个较好(de)养老基金(de)数学模型及相应(de)算法和程取软件).习题2 渔业(林业)管理问题设某养鱼池(或某海域)一开始有某种鱼条,鱼(de)平均年净繁殖率为R,每年捕捞x条,记第N年有鱼条,则池内鱼数按年(de)变化规律为注意,在实际渔业经营中并不按条数计算而是以吨记数(de).若对某海域(de)渔业作业中＝100000吨,R＝0．02,x＝1000吨,试问会不会使得若干年后就没有鱼可捕捞了（资源枯竭了）例2比例分析法——席位分配问题：某学校有三个系联合成立学生会,（1）试确定学生会席位分配方案.（2）若甲系有100名,乙系60名,丙系40名.学生会设20个席位,分配方案如何(3)若丙系有3名学生转入甲系,3名学生转入乙系,分配方案有何变化（4）因为有20个席位(de)代表会议在表决提案时有可能出现10： 10(de)平局,会议决定下一届增加1席,若在第（3）问中将学生会席位增加一席呢（5）试确定一数量指标衡量席位分配(de)公平性,并以此检查（1）—（4）.公平而又简单(de)席位分配办法是按人数(de)比例分配,若甲系有100名,乙系60名,丙系40名.学生会设20个席位,三个系分别应有10,6,4个席位.如果丙系有6名学生转入其他两系学习,各系人数如表所示系别学生人数所占比例（%）按比例分配(de)席位按惯例分配(de)席位甲10310乙636第二列所示,按比例分配席位时,出现了小数(见表中第四列)．在将取得整数(de)19席分配完毕后,剩下(de)1席按照惯例分给余数最大(de)丙系,于是三个系仍分别占有10、6、4个席位．因为有20个席位(de)代表会议在表决提案时有可能出现10：10(de)平局,会议决定下一届增加1席,于是他们按照上述惯例重新分配席位,计算(de)结果令人吃惊：总席位增加1席,丙系反而减少1席,见下表．看来,要解决这个矛盾,必须重新研究所谓惯例分配方法,提出更加“公平”(de)办法．下面就介绍这样一个席位分配模型．设A、B两方人数分别是p1 和p2,分别占有n1 和n2 个席位,则两方每个席位所代表(de)人数分别是p1 ／n12和p2／n2．很明显,仅当这两个数值相等时,席位(de)分配才是公平(de)．但是,通常它们不会相等,这时席位分配得不公平.不公平(de)程度可以用数值来表示,它衡量(de)是“绝对不公平”．从下表所举(de)例子来看,A、B之间(de)“绝对不公平”与C、D之间是一样(de).但是从常识(de)角度看,A、B之间显然比C、D之间存在着更加严重(de)不公平．所以“绝对不公平”不是一个好(de)衡量标准．p n p/n p1/n1-p2/n2 A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100为了改进绝对标准,我们自然想到用相对标准．因为p／n越大,每个席位代表(de)人数越多,或者说,总人数一定时分配(de)席位越少.所以,如果p1／n13＞p2/n2,则A方是吃亏(de),或者说,对A是不公平(de),由此,我们这样定义“相对不公平”：若p1／n1＞p2／n2,则称为对A(de)相对不公平值,记做若p1／n1＜p2／n2,则称为对B(de)相对不公平值,记做假设A、B两方已分别占有n1和n2个席位,我们利用相对不公平(de)城念来讨论,当总席位再增加1席时,应该给且A方还是B方不失一般性,可设p1／n1＞p2/n2,即此时对A方不公平, ,有定义．当再分配1个席位时,关于p／n(de)不等式有以下三种可能：1)p1／(n1十1)＞p2／n2,这说明即使A方增加1席,仍然对A不公平,所以这1席当然应给A方；2)p1／(n1十1)＜p2／n2,说明当A方增加1席位,将对B不公平,此时应参照式,计算对B(de)相对不公平值3）说明当B方增加1席时,将对A方不公平,此时计算得对A (de)相对不公平值是（注意：在p1/n1p2/n2(de)假设下,不可能出现p1／n1＜p2／(n2+1)(de)情况因为公平(de)席位分配方法应该使得相对不公平(de)数值尽量地小,所以如果则这1席应给A方；反之应给B方．根据(3)、（4）两式,(5)式等价于并且不难证明1从上述第1)种情况(de)p1／(n1十1)＞p2／p2也可推出. 于是我们(de)结论是：当(6)式成立时,增加(de)1席应分配A方；反之,应分配给B方．若记,则增加(de)1席位应分配给Q值较大(de)一方．将上述方法可以推广到有m方分配席位(de)情况．下面用这个方法,重新讨论本节开始时提出(de),三个系分配21个席位(de)问题．首先每系分配1席,然后计算：甲系n1＝1,乙系, n2=1,丙系,n3=1,因为最大,所以第4席应分配给甲系,继续计算：甲系n1＝2,将与上面(de)相比,最大,第5席应分给乙系,继续计算.如此继续,直到第21席分配给某个系为止（详见列表）．n甲系乙系丙系1（4）（5）578（9）2（6）（8）（15）3（7）（12）（21）4（10）（14）5（11）（18）6（13）7（16）8（17）9（19）10（20）11可以看出,用Q值法,丙系保住了它险些丧失(de)1席.你觉得这个方法公平吗习题：学校共1000名学生,235入住在A宿合,333人住在B宿合,432人住在C宿合．学生们要组织一个10人(de)委员会,试用下列办法分配各宿舍(de)委员数．1）惯例(de)方法,印按比例分配完整数名额后,剩下名额给余数最大者. 2）Q值方法.如果委员会从10人增至15人,分配名额将发生什么变化 ,例3 状态转移问题——常染色体遗传模型随着人类(de)进化,人们为了揭示生命(de)奥秘,越来越注重遗传学(de)研究,特别是遗传特征(de)逐代传播,引起人们(de)注意.无论是人,还是动植物都会将本身(de)特征遗传给下一代,这主要是因为后代继承了双亲(de)基因,形成自己(de)基因对,基因对将确定后代所表现(de)特征.下面,我们来研究两种类型(de)遗传：常染色体遗传和x—链遗传.根据亲体基因遗传给后代(de)方式,建立模型,利用这些模型可以逐代研究一个总体基因型(de)分布.在常染色体遗传中,后代从每个亲体(de)基因对中各继承一个基因,形成自己(de)基因对,基因对也称基因型.如果我们所考虑(de)遗传特征是有两个基因A和控制(de),那么就有三种基因对,记为AA,A,.例如,金草鱼由两个遗传基因决定花(de)颜色,基因型是AA(de)金鱼草开红花,型(de)开粉红色花,而型(de)开白花.又如人类(de)眼睛(de)颜色也是提高通过常染色体遗传控制(de).基因型是(de)人,眼睛是棕色,基因型是(de)人,眼睛是兰色.这里因为都表示了同一外部特征,我们认为基因A 支配基因,也可以认为基因对于A 来说是隐性(de)农场(de)植物园中某种植物(de)基因型为AA,A 和.农场计划采用AA 型(de)植物与每种基因型植物相结合(de)方案培育植物后代.那么经过若干年后,这种植物(de)任一代(de)三种基因型分布如何 第一步：假设：令 ,2,1,0=n .（1） 设n n b a ,和n c 分别表示第n 代植物中,基因型为AA,Aa 和aa(de)植物占植物总数(de)百分率.令)(n x 为第n 代植物(de)基因型分布:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n c b a x )(当n=0时⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000)0(c b a x表示植物基因型(de)初始分布（即培育开始时(de)分布）,显然有1000=++c b a（2） 第n 代(de)分布与第n-1代(de)分布之间(de)关系是通过上表确定(de).第二步：建模根据假设（2）,先考虑第n 代中(de)AA 型.由于第n-1代(de)AA 型与AA 型结合,后代全部是AA 型；第n-1代(de)Aa 型与AA 型结合,后代是AA 型(de)可能性为1/2,第n-1代(de)aa 型与AA 型结合,后代不可能是AA 型.因此,当 ,2,1,0=n 时11102/1---•++•=n n n n c b a a即2/11--+=n n n b a a 类似可推出2/11--+=n n n b c a 0=n c将式相加,得111---++=++n n n n n n c b a c b a根据假设（1）,有1000=++=++c b a c b a n n n对于式、式和式,我们采用矩阵形式简记为,2,1,)1()(==-n Mx x n n其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00012/1002/11M ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n c b a x )(式递推,得)0()2(2)1()(x M x M Mx x n n n n ====--式给出第代基因型(de)分布与初始分布(de)关系.为了计算出n M ,我们将M 对角化,即求出可逆矩阵P 和对角阵D,使1-=PDP M因而有,2,1,1==-n P PD M n n其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n nnn D 321321000000000λλλλλλ这里321,,λλλ是矩阵M(de)三个特征值.对于式中(de)M,易求得它(de)特征值和特征向量:0,2/1,1321===λλλ因此⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00002/10001D ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0112 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1213 所以[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==100210111321P通过计算1-=P P ,因此有)0(1)0()(x P PD x M x n n n -==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=0001002101110000)21(0010100210111c b a n 即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--00011)(000)2/1()2/1(0)2/1(1)2/1(11c b a c b a x n n n n n n n n ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++=--0)2/1()2/1()2/1()2/1(010010000c b c b c b a n n n n所以有⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=--0)2/1()2/1()2/1()2/1(1010010n n n n n n n c c b b c b a当∞→n 时0)2/1(→n,所以从式得到0,1→→n n b a 和n c =0即在极限(de)情况下,培育(de)植物都是AA 型. 第三步：模型讨论若在上述问题中,不选用基因AA 型(de)植物与每一植物结合,而是将具有相同基因型植物相结合,那么后代具有三代基因型(de)概率如下表：并且)0()(x M xn n =,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=14/1002/1004/11M M(de)特征值为2/1,1,1321===λλλ通过计算,可以解出与21,λλ相对应(de)两个线性无关(de)特征向量1 和2 ,及与3λ相对应(de)特征向量3 ：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1002 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1213 因此[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==111200101321P⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-02/1011102/111P)0(1)0()(x P PD x M x n n n -==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=00002/1011102/11)2/1(0001001111200101c b a n n所以有⎪⎩⎪⎨⎧-+==++=++010000100)2/1()2/1()2/1()2/1()2/1(bb c c b b b b a a n nn n n n当∞→n 时0)2/1(→n,所以从式得到0,)2/1(00→+→n n b b a a 和00)2/1(b c c n +→因此,如果用基因型相同(de)植物培育后代,在极限情况下,后代仅具有基因AA 和aa. 例4 合作对策模型在经济或社会活动中,几个社会实体（个人、公司、党派、国家）相互合作或结成联盟,常能获得比他们单独行动更多(de)经济或社会效益.这样合理地分配这些效益是合作对策要研究(de)问题.请看下面(de)例子.问题一：经商问题甲、乙、丙三人经商,若单干,每人仅能获利1元；甲乙合作可获利7元；甲丙合作可获利5元；乙丙合作可获利4元；三人合作可获利10元,问三人合作时如何分配10元(de)收入.甲(de)收入应按照甲对各种形式(de)合作(de)贡献来确定．对于某一合作(de)贡献定义为：有甲参加时这个合作(de)收入与无甲参加时这个合作(de)收入之差．例如甲对甲乙二人合作(de)贡献是7—1＝6 (因为甲乙合作获利7元,而乙单干仅获利1元)．甲可以参加(de),合作有四个：甲自己(单干视为合作(de)特例)、甲乙、甲丙、甲乙丙．甲对这些合作(de)贡献分别是甲：1一0＝1元；甲乙：7—1＝6元；甲内：5—1＝4元；甲乙丙：10—4＝6元,甲应分得(de)收入是这四个贡献(de)加权平均值,加权因子将由下面(de)一般模型给出．这个问题叫做3人合作对策,是对策论(de)一部分,这里介绍它(de)一种解法.一般(de)n人合作对策模型可以叙述如下：记n人集合为I=,如果对于I中 (de)任一子集,都对应一个实值函数v（s）,满足则称为定义在I上(de)特征函数．所谓合作对策是指定义了特征函数(de)I中n个人(de)合作结果,用向量值函数来表示．在实际问题中．常可把I中各种组合(de)合作获得(de)利益定义为特征函数,上式表示合作规模扩大时,获利不会减少.不难看出,如将三人经商问题中合作(de)获利定义为特征函数v,v是满足(1)、(2)(de)．为了确定,Shapley在1953年首先制定了一组应该满足(de)公理,然后证明了满足这组公理(de)(de)唯一解是其中是I中包含{i}(de)所有子集,是集合s中(de)人数,是加权因子,由确定．(3)式中可看作成员{i}对合作s(de)贡献；表示对所有包含{i}(de)集合求和．称为由v定义(de)合作(de)Shapley值．我们用(3)、(4)计算三人经商问题中各个人应得到(de)收入．甲、乙、丙分别记作{1},{2},{3},包含{1}(de)集合有{1}、{1,2}、{1,3}、{1,2,3},计算结果列入下表．S{1}{1,2}{1,3}{1,2,3}V(s)17510V(s-{1})0114V(s)- V(s-{1})1 6 4 612 23 W()1/31/61/61/3W()[V(s)-V(s-{1})]1/31 2/3 2.同样可以算出乙、丙应得收入为＝3．5元,＝元.问题二：三城镇(de)污水处理方案沿河有三城镇1、2和3,地理位置如图4；6所示．污水需处理后才能排入河中．三城镇或者单独建立污水处理厂,或者联合建厂,用管道将污水集中处理(污水应于河流(de)上游城镇向下游城镇输送).以Q 表示污水量(吨／秒),工表示管道长度(公里).按照经验公式,建立处理厂(de)费用为712.0173Q P =,铺设管道(de)费用为LQ P 51.0266.0=．今已知三城镇(de)污水量分别为5,3,5321===Q Q Q ．L(de)数值38,202312==L L ．试从节约总投资(de)角度为三城镇制定污水处理方案；包括是单独还是联合建厂；如果联合,如何分担投资额等．三城镇或单干或不同形式(de)联合,共有五种方案.下面一一计算所需(de)投资．方案一 三城镇都单干.投资分别为总投资：方案二城1、2合作.这时城1、2将从节约投资(de)角度对联合还是分别建厂作出决策,所以城1、2(de)投资为：=3500C（3）=2300总投资：方案三城2、3合作.C（1）=2300总投资：方案四城1、3合作.C（2）=1600总投资：方案五三城镇合作=5560总投资：比较五个方案可知,应该选择三城合作,联合建厂(de)方案． 下面(de)问题是如何分担总额为5560(de)费用．城3(de)负责人提出,联合建厂(de)费用按三城(de)污水量之比5：3：5分担,铺设管道费应由城1、2担负．城2(de)负责人同意,并提出从城2到城3(de)管道费由城1、2按污水量之比5：3分担；从城1到城2(de)管道费理应由城1自己担负．城1(de)负责人觉得他们(de)提议似乎是合理(de),但因事关重大,他没有马上表示同意；而是先算了一笔账．联合建厂(de)费用是4530)535(73712.0=++,城2到城3(de)管道费是730,城1到城2(de)管道费是300,按上述办法分配时,城3负担(de)费用为1740,城2(de)费用为1320,域1(de)费用为2500．结果出乎意料之外,城3和城2(de)费用都比单独建厂时少,而城1(de)费用却比单独建厂时(de)C(1)还要多.城1(de)负责人当然不能同意这个方法,但是一时他又找不出公平合理(de)解决办法．为了促成联合(de)实现,你能为他们提供一个满意(de)分担费用(de)方案吗首先,应当指出,城3和城2负责人提出(de)办法是不合理(de)：从前面(de)计算我们知道,三城联合,才能使总投资节约了640(de)效益应该分配给三城,使三城分配(de)费用都比他们单干时要少,这是为促成联合所必须制定(de)一条原则．至于如何分配,则是下面要进一步研究(de)问题． 把分担费用转化为分配效益,就不会出现城1联合建厂分担(de)费用反比单独建厂费用高(de)情况.将三城镇记为I={1,2,3},联合建厂比单独建厂节约(de)投资定义为特征函数.于是有v(φ)=0,v({1})=v({2})=v({3})=0,v({1,2})=c(1)+c(2)-c(1,2)=2300+1600-3500=400,v({2,3})=c(2)+c(3)-c(2,3)=1600+2300-3650=250,v({1,3})=0,v(I)=c(1)+c(2)+c(3)-c(1,2,3)=640.S {1} {1,2} {1,3} {1,2,3} V(s) 0 400 0 640 V(s-{1}) 0 0 0 250 V(s)- V(s-{1})0 400 0 39012 23 W()1/31/61/61/3W()[V(s)-V(s-{1})] 0 67 0 130即197)(1=v ϕ同理得321)(2=v ϕ,122)(3=v ϕ那么, 城1分担(de)费用为2300-197=2103, 城2分担(de)费用为1600-321=1279, 城3分担(de)费用为2300-122=2178,合计5560. 习题：某甲（农民）有一块土地.如果从事农业生产可年收入100元；如果将土地租给某企业家用于工业生产,可年收入200元；如果租给某旅店老板开发旅游业,可年收入300元；当旅店老板请企业家参与经营时,年收入可达400元.为实现最高收入,试问如何分配各人(de)所得才能达成协议例5动态规划模型有不少动态过程可抽象成状态转移问题,特别是多阶段决策过程(de)最优化如最短路径问题,最优分配,设备更新问题,排序、生产计划和存储等问题．动态规划是一种将复杂问题转化为一种比较简单问题(de)最优化方法,它(de)基本特征是包含多个阶段(de)决策．1951年,美国数学家贝尔曼(R．Bellman)等人,提出了解决多阶段决策问题(de)“最优化原理”,并研究了许多实际问题,从而创建了动态规划·动态规划方法(de)基本思想是：将一个复杂问题分解成若干个阶段,每一个阶段作为一个小问题进行处理,从而决定整个过程(de)决策,阶段往往可以用时间划分这就具有“动态”(de)含义,然而,一些与时间无关(de)静态规划中(de)最优化问题,也可人为地把问题分成若干阶段,作为一个多阶段决策问题来处理,计算过程单一化,便于应用计算机．求解过程分为两大步骤,①先按整体最优化思想递序地求出各个可能状态(de)最优化决策；②再顺序地求出整个题(de)最优策略和最优路线．下面,结合一个求最短路径(de)例子,来说明动态规划(de)一些基本概念．最短路径问题如图所示(de)交通网络,节点连接线路上(de)数字表示两地距离,计算从A 到E(de)最短路径及长度.1．阶段．把所要处理(de)问题,合理地划分成若干个相互联系(de)阶段,通常用k 表示阶段变量.如例中,可将问题分为4个阶段,k=1,2,3,4. 2．状态和状态变量．每一个阶段(de)起点,称为该阶段(de)状态,描述过程状态(de)变量,称为状态变量,它可以用一个数、一组数或一个向量来描述,常用k x 来表示第k 阶段(de)某一状态．如果状态为非数量表示,则可以给各个阶段(de)可能状态编号,i x i k =)(()(i k x 表示第k 个阶段(de)第i 状态).第k 阶段状态(de)集合为},,,,,{)()()2()1(T k i k k k k x x x x X =如例6中,第3阶段集合可记为}3,2,1{},,{},,{321)3(3)2(3)1(33===C C C x x x X3．决策和决策变量．决策就是在某一阶段给定初始状态(de)情况下,从该状态演变到下一阶段某状态(de)选择.即确定系统过程发展(de)方案．用一个变量来描述决策,称这个变量为决策变量.设)(k k x u 表示第k 个阶段初始状态为k x (de)决策变量．)(k k x D 表示初始状态为k x (de)允许决 策集合,有)(k k x u ∈)(k k x D ={k u }如例6中},,{)(3211B B B A D =,若先取2B ,则21)(B A u =. 4．策略和子策略．由每段(de)决策)(k k x u 组成(de)整个过程(de)决策变量序列称为策略,记为n P ,1,即n P ,1=)}(,),(),({2211n n x u x u x u从阶段k 到阶段n 依次进行(de)阶段决策构成(de)决策序列称为k 子策略,记为n k P ,即)(1,x P n k =)}(,),(),({11n n k k k k x u x u x u ++显然,k=1时(de)k 子策略就是策略.如例6,选取路径E D C B A →→→→221就是一个子策略．从允许策略集中选出(de)具有最佳效果(de)策略称为最优策略. 5．状态转移方程．系统在阶段k 处于状态k x ,执行决策)(k k x u (de)结果是系统状态(de)转移,即由阶段K(de)状态k x 转移到阶段K 十1(de)状态1+k x 适用于动态规划方法求解(de)是一类具有无后效性(de)多阶段决策过程．无后效性又称马尔科夫性,指系统从某个阶段往后(de)发展,完全由本阶段所处(de)状态以及其往后(de)决策决定,与系统以前(de)状态及决策无关,对于具有无后效性(de)多阶段过程,系统由阶段k 向阶段k+1(de)状态转移方程为))(,(1k k k k k x u x T x =+意即1+k x 只与k x ,)(k k x u 有关,而与前面状态无关．))(,(k k k k x u x T 称为变换函数或算子．分确定型和随机型,由此形成确定型动态规划和随机型动态规划． 6．指标函数和最优指标函数．在多阶段决策中,可用一个数量指标来衡量每一个阶段决策(de)效果,这个数量指标就是指标函数,为该阶段状态变量及其以后各阶段(de)决策变量(de)函数,设为n k V ,即n k x x u x V V n k k k n k n k ,,2,1),,,,(1,, ==+指标(de)含义在不同(de)问题中各不相同,可以是距离、成本、产品产 量、资源消耗等．例6中,指标(de)含义就是距离,指标函数为A 到E(de)距离,为各阶段路程(de)和．最常见(de)指标函数取各阶段效果之和(de)形式,即∑==nk j j j j n k u x V V ),(,指标函数nk V ,(de)最优值,称为相应(de)最优指标函数,记为)(k k x fnk k k optV x f ,)(=式中opt 是最优化之意,根据问题要求取max 或min ． 7．动态规划最优化原理．贝尔曼指出“作为整个过程(de)最优策略具有这样(de)性质：即无论过去(de)状态和决策如何,对前面(de)决策所形成(de)状态而言,余下(de)诸决策必须构成最优策略”基于这个原理,可有如下定理：定理 若策略*,1n P 是最优策略,则对于任意(de)k(1<k<n),它(de)子策略*,n k P 对于以),(*1*11*---=k k k k u x T x 为起点(de)k 到n 子过程来说,必是最优策略． 实质上,动态规划(de)方法是从终点逐段向始点方向寻找最短路径(de)一种方法．8．动态规划(de)数学模型．利用最优化原理,可以得到动态规划(de)数学模型)}(),({)(11+++=k k k k k k k x f u x V opt x f ))(1,,1,(k k k x D u n n k ∈-=0)(11=++n n x f这是一个由后向前(de)递推方程．下面以例6(de)最短路径问题说明这种递序解法．指标函数为两点之间(de)距离,记为),(k k u x d ,例中共分4个阶段． (倒推) 第4阶段2)(),()(5114=+=E f E D d D f 3)(),()(5224=+=E f E D d D f 5)(),()(5334=+=E f E D d D f 0)(5=E f第3阶段6835)(),(624)(),(min )(2421141113=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f},,{11*4,3E D C P =4431)(),(826)(),(min )(2422141223=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f},,{22*4,3E D C P =6651)(),(1239)(),(min )(3433243333=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f},,{33*4,3E D C P =第2阶段7734)(),(1367)(),(min )(2321131112=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f},,,{221*4,2E D C B P =7734)(),(826)(),(min )(2322131222=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f},,,{222*4,2E D C B P =91468)(),(945)(),(min )(3333232332=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f},,,{223*4,2E D C B P =第1阶段10111192)(),(74)(),(1073)(),(min )(323221211=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+=+=+=+=B f B A d B f B A d B f B A d A f},,,,{221*4,1E D C B A P =故最短路径为E D C B A →→→→221,从A 到E(de)最短距离为10. 上述步骤可归纳为下述递推公式)}(),(m in{)(11+++=k k k k k k x f u x d x f 1,2,3,4(=k ）0)(55=x f此递推关系叫做动态方程,即最短路径问题(de)动态规划模型,应用动态规划方法解决问题(de)关键是根据所给问题建立具体(de)动态规划模型,建立动态规划模型时(de)主要困难在于：如何将所遇到(de)最优化解释为合适(de)多段决策过程问题．从例6看出,划分I 阶段、定义状态、确定指标函数,是动态规划模型化时(de)主要工作,其合适性决定应用动态规划(de)成败．建模时,除将实际问题根据时间和空间恰当地划分若干阶段外,还须明确下列几点： (1)正确选择状态变量,使它既能描述过程(de)状态,又。
经典的数学建模例子
一、摘要SARSSARS就是传染性非典型肺炎，全称严重急性呼吸综合症（Severe Acute Respiratory Syndromes），简称SARS，是一种因感染SARS相关冠状病毒而导致的以发热、干咳、胸闷为主要症状，严重者出现快速进展的呼吸系统衰竭，是一种新的呼吸道传染病，传染性极强、病情进展快速。
当一种传染病流行的时候，会给人们的工作学习带来很大的不变，能有效地进行隔离、预防，会大大减少人员的得病率，当一种传染病开始流行时，在一定的条件下其趋势就像真菌的繁殖曲线，如果能通过计算预测但大概推算出其发病率高峰时期，及时的隔离预防。
那会给社会人力带来很大的方便，当年SARS的爆发给我们带来和大的不便和损失，因此本论文就以SARS为例，来研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件和帮助。
1二、正文1、模型的背景问题描述SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
要求：（1）建立传染病传播的指数模型，评价其合理性和实用性。
（2）建立一个适合的模型，说明为什么优于问题1中的模型；特别要说明怎样才能3建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。
表中提供的数据供参考。
（3）说明建立传染病数学模型的重要性。
2、模型假设（一）答；从上列图表可知道在4月20到5月7日期已确诊的发病人总数呈指数增长趋势5月20到6月1日增长缓慢，6月1日到6月12日总数几乎不变。
其形式与生物学中真菌繁殖总数相似。
数学建模典型例题
数学建模典型例题The document was prepared on January 2, 2021一、人体重变化某人的食量是10467焦/天,最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天.每天的体育运动消耗热量大约是69焦/千克天乘以他的体重千克.假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效,而1千克脂肪含热量41868焦.试研究此人体重随时间变化的规律.一、问题分析人体重Wt随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的,假设人体重随时间的变化是连续变化过程,因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程.二、模型假设1、以脂肪形式贮存的热量100%有效2、当补充能量多于消耗能量时,多余能量以脂肪形式贮存3、假设体重的变化是一个连续函数4、初始体重为W三、模型建立假设在△t时间内：体重的变化量为Wt+△t-Wt；身体一天内的热量的剩余为Wt将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量；转换成微分方程为：dWt+△t-Wt=Wtdt；四、模型求解d5429-69W/5429-69W=-69dt/41686W0=W解得：e-69t/416865429-69W=5429-69W即：Wt=5429/69-5429-69W/5429e-69t/41686当t趋于无穷时,w=81;二、投资策略模型一、问题重述一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案.5年后,它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输.在策划下一个5年计划时,这家公司评估在年i的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车,将有净成本a ij二、问题分析本问题是寻找成本最低的投资策略,可视为寻找最短路径问题.因此可利用图论法分析,用Dijkstra算法找出最短路径,即为最低成本的投资策略.三、条件假设除购入价折旧以及运营和维护成本外无其他费用；四、模型建立二511 7 三 64166 13 8四一 912 8 1120五10六运用Dijikstra算法1 2 3 4 5 60 4 6 9 12 206 9 12 209 12 2012 2020可发现,在第二次运算后,数据再无变化,可见最小路径已经出现即在第一年买进200辆,在第三年全部卖出,第三年再买进200第六年全部卖出.三、飞机与防空炮的最优策略一、问题重述：红方攻击蓝方一目标,红方有2架飞机,蓝方有四门防空炮,红方只要有一架飞机突破蓝方的防卫则红方胜.其中共有四个区域,红方可以其中任意一个接近目标,蓝方可以任意布置防空炮,但一门炮只能防守一个区域,其射中概率为1.那么双方各采取什么策略 二、问题分析该问题显然是红方与蓝方的博弈问题,因此可以用博弈论模型来分析本问题. 1、对策参与者为两方红蓝两方2、红军有两种行动方案,即两架飞机一起行动、两架飞机分开行动.蓝军有三种防御方案,即四个区域非别布置防空炮记为1-1-1-1、一个区域布置两架一个没有另外两个分别布置一个记为2-1-1-0、两个区域分别布置两架飞机另外两个没有记为2-2-0-0.显然是不需要在某个区域布置3个防空炮的.三、问题假设：（1） 红蓝双方均不知道对方的策略.（2） 蓝方可以在一个区域内布置3,4门大炮,但是大炮数量大于飞机的数量,而一门大炮已经可以击落一架飞机,因而这种方案不可取.（3） 红方有两种方案,一是让两架飞机分别通过两个区域去攻击目标,另一种是让两架飞机通过同一区域去攻击目标.（4） 假设蓝方四门大炮以及红方的两架飞机均派上用场,且双方必须同时作出决策.四、模型建立A= 1 0B= 0 1 没有鞍点,故用混合策略模型解决本问题设蓝方采取行动i 的概率为 xii=1,2,3,红方采取行动j 的概率为yjj=1,2,则蓝方与红方策略集分别为：S1=｛x=x1,x2,x30< xi<1,∑xi=1｝, S2=｛y=y1,y20< yi<1,∑yi=1｝. 五、模型求解下列线性规划问题的解就是蓝军的最优混合策略x Max v10x1+x 2+x 3 >v1 x 1+x 2+x 3 >v1 x 1+x 2+x 3 =1xi<=1下列线性规划问题的解就是红军的最优混合策略y Min v2 y 2 <v2 y 1+y 2 <v2 y 1+ y 2 <v2 y 1+y 2= 1 yi<=1四、雷达计量保障人员分配开展雷达装备计量保障工作中,合理分配计量保障人员是提高计量保障效能的关键.所谓合理分配是指将计量保障人员根据其专业特长、技术能力分配到不同的工作岗位上,并且使得所有人员能够发挥出最大的军事效益.现某雷达团共部署12种型号共16部雷达,部署情况及计量保障任务分区情说明：1．保障任务分区域进行保障；2．B 、H 、L 型雷达分为两个保障任务,分别为B 1、B 2、H 1、H 2、L 1、L 2,其它雷达为一个保障任务；3．同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务； 4．不同区域的相同雷达看作不同保障任务； 5．每个保障人员只能保障一个任务； 6．每个保障任务只由一个保障人员完成.雷达的重要性由其性能和所担负的作战任务共同决定,即使同一型号的雷达在不同区域其重要性也可能不同.各雷达的重要性如下表所示表中下标表示雷达该雷达团修理所现在有10名待分配计量保障人员,他们针对不同保障任务的计量保障能力量化指标如下表所示：问题：如何给该团三个营分配计量保障人员,使他们发挥最大军事效益一、问题分析：该问题是人员指派问题,目的是得到最大效益.根据保障能力测试与雷达重要性定义出效益矩阵,用0—1整数规划方法来求解,得到最大效益矩阵.二、模型假设1．保障任务分区域进行保障；2．B、H、L型雷达分为两个保障任务,分别为B1、B2、H1、H2、L1、L2,其它雷达为一个保障任务；3．同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务；4．不同区域的相同雷达看作不同保障任务；5．每个保障人员只能保障一个任务；6．每个保障任务只由一个保障人员完成.三、模型建立根据题目列出保障人员能力量化指标矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=007.09.03.08.04.002.05.03.06.08.08.06.08.03.07.02.06.07.03.07.03.04.06.07.08.07.05.06.03.05.05.07.04.02.02.01.02.02.0001.02.02.02.06.01.006.04.02.08.05.03.03.06.03.0003.03.04.03.002.0004.09.05.02.01.08.08.08.08.06.08.08.008.06.07.08.06.08.005.07.03.03.03.03.07.07.05.03.003.06.03.07.06.07.08.05.02.02.07.02.02.05.08.06.02.002.05.005.05.0007.05.04.03.04.04.004.07.04.06.04.0000009.005.05.05.05.05.005.05.05.05.05.05.0005.005.09.08.07.0006.04.04.03.09.07.06.07.08.04.07.003.08.0A 根据题目,设保障任务的重要性向量),...,,(21i b b b B =,bi 表示第i 个任务的重要性.列出保障任务重要性向量：[]7.07.06.08.09.07.06.09.09.07.08.07.07.07.08.09.09.08.0=B 我们用二者的乘积表示效益矩阵： T *=B A R .我们设元素rij 表示第i 个人完成j 件事的效益,Xij 表示第i 个人去保障第j 件任务,如果是,其值为1,否则为0.利用这一个矩阵和0-1规划,我们就可以列出方程：∑=<=ni ij x 11,m<=nmodel: sets: M/1..10/; N/1..18/:a; allowedM,N:b,r,x; endsets data:a= ; b= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; enddatamax=sumallowedi,j:xi,jri,j;forMi:forNj:ri,j=ajbi,j;forMi:sumNj:xi,j=1;forNj:sumMi:xi,j<=1;forMi:forNj:binxi,j;End解得最大效益为,分配方案为：第5、7、8号保障人员分配到区域1,其中8号承担A型,5、7号承担B1,B2型；第1、2、3、4、9号保障人员分配到区域2,其中第9号保障人员承担F型2号G型,1、3号承担H1,H2型,4号I型；第6、10号保障人员分配到区域3,6号F型、10号J型.。
数学经典建模100列
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
模型求解 给出一种简单、粗糙的证明方法
1）将椅子旋转90o，对角线AC和BD互换.
由 g(0)=0，f(0) > 0，知 f(/2)=0, g(/2)>0.
2）令 h()= f()–g(), 则 h(0)>0 和 h(/2)<0. 3）由 f, g 的连续性知 h为连续函数, 据连续函数 的基本性质, 必存在0 ( 0< 0 < /2) , 使h(0)=0, 即 f(0) = g(0) . 4）因为 f() • g()=0, 所以 f(0) = g(0) = 0.
数学建模的重要意义
―数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”. 数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强 经济竞争力具有重要意义”.
―计算和建模重新成为中心课题，它们是数学 科学技术转化的主要途径” .
数学建模的具体应用
• 分析与设计
• 预报与决策
•
控制与优化
• 规划与管理
数学建模
如虎添翼
计算机技术
1.4
•机理分析
数学建模的方法和步骤
根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律.
将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型. 用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数.
数学建模的基本方法
•测试分析
•二者结合
机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析.
河
小船(至多2人) 3名商人
3名随从
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员. 要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多), 经有限步使全体人员过河.
小学生数学建模优秀范文
一、数学应用题的特点我们常把来源于客观世界的实际,具有实际意义或实际背景,要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示,从而获得解决的一类数学问题叫做数学应用题。
数学应用题具有如下特点:第一、数学应用题的本身具有实际意义或实际背景。
这里的实际就是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际。
如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题;与模向学科知识网络交汇点有联系的应用题;与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、实事政治等有关的应用题等。
第二、数学应用题的求解需要采用数学建模的方法,使所求问题数学化,即将问题转化成数学形式来表示后再求解。
第三、数学应用题涉及的知识点多。
就是对综合运用数学知识与方法解决实际问题能力的检验,考查的就是学生的综合能力,涉及的知识点一般在三个以上,如果某一知识点掌握的不过关,很难将问题正确解答。
第四、数学应用题的命题没有固定的模式或类别。
往往就是一种新颖的实际背景,难于进行题型模式训练,用“题海战术”无法解决变化多端的实际问题。
必须依靠真实的能力来解题,对综合能力的考查更具真实、有效性。
因此它具有广阔的发展空间与潜力。
二、数学应用题如何建模建立数学模型就是解数学应用题的关键,如何建立数学模型可分为以下几个层次:第一层次:直接建模。
根据题设条件,套用现成的数学公式、定理等数学模型,注解图为:将题材设条件翻译成数学表示形式:应用题、审题、题设条件代入数学模型、求解选定可直接运用的数学模型第二层次:直接建模。
可利用现成的数学模型,但必须概括这个数学模型,对应用题进行分析,然后确定解题所需要的具体数学模型或数学模型中所需数学量需进一步求出,然后才能使用现有数学模型。
第三层次:多重建模。
对复杂的关系进行提炼加工,忽略次要因素,建立若干个数学模型方能解决问题。
第四层次:假设建模。
要进行分析、加工与作出假设,然后才能建立数学模型。
如研究十字路口车流量问题,假设车流平稳,没有突发事件等才能建模。
数学建模
平均每天费用950元
• 50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费 5000元，总计127500元。
平均每天费用2550元
10天生产一次平均每天费用最小吗?
问题分析与思考
• 周期短，产量小 • 周期长，产量大 贮存费少，准备费多 准备费少，贮存费多
无法求出 i(t ), s(t )
的解析解 在相平面 s ~ i 上
研究解的性质
i0 s0 1 (通常r (0) r0很小）
模型4
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
SIR模型
消去dt /
q Q r
Q rT1
T1 B T t
A
0
现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足
周期T, t=T1贮存量降到零 一周期贮 存费
c2 0 q(t )dt c2 A
T1
一周期总费用
一周期缺 货费
c3 T q(t ) dt c3 B
T
1
QT1 r (T T1 ) 2 C c1 c2 c3 2 2
r T , Q
模型分析
c1 T , Q
模型应用
• 回答问题
c2 T , Q
c1=5000, c2=1，r=100 T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元)
• 经济批量订货公式（EOQ公式）
用于订货、供应、存贮情形
每天需求量 r，每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2 ，
问题 分析
记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t).
数学建模例题
数学建模参考题——zzuxyh
量; (2) 尽可能充分利用各设备工时,但不希望加班; (3) 尽可能达到并超过计划利润指标 300 元. 试建立目标规划模型. 16.(洗衣机问题) 我国淡水资源有限,节约用水人人有责.洗衣在家庭用水中占有相当大的 份额.目前洗衣机已非常普及,节约洗衣机用水十分重要.假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机 的运行过程为:加水——漂洗——脱水——加水——漂洗——脱水——……——加水——漂 洗——脱水（简称“加水——漂洗——脱水”为运行一轮） 。请为洗衣机设计一种程序（包 括运行多少轮，每轮加水量等） ，使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。选用 合理的数据进行计算。 解:设第 k 轮洗涤后衣物上含污物量为 x k ,初始含污物量为 x 0 ,则有 其中 p k 为已溶入水中的污物量, q k 为未溶入水中的污物量. 假定
pk xk uk L H L
xk pk qk ,
,0
1,
其中 u k 为第 k 轮加水量,H、L 分别为用水量的上下限. 当脱水后衣物中残留污水量为 c 时,c 中含污物量为 p k c ,故有
uk
xk 1 qk
xk xk
pk c uk
u L uk L c + xk k H L uk H L
i 1 j 1
x
i 1
4
3
ij
b j ( j 1, 2, 3, 4)
ai ( i 1, 2, 3)
x
j 1
ij
xij 0, i 1, 2, 3; j 1, 2, 3,4
5.(动态投资)某地区在今后三年内有四种投资机会: (1) 在三年内每年年初投资,年底可获利 20%,并可将本金收回; (2) 在第一年年初投资,第二年年底可获利 50%,并可将本金收回,但该项投资不得超过 2 万 元; (3) 在第二年年初投资,第三年年底收回本金,并可获利 60%,但该项投资不得超过 1.5 万元; (4) 在第三年年初投资,于该年年底收回本金,且可获利 40%,但该项投资不得超过 1 万元. 现在该地区准备拿出 3 万元资金,问如何制订投资计划,可使到第三年年底本利和最大? 6.(风险组合投资)市场上有 n 种资产(如股票,债券等) si (i=1,2,…n),某公司有数额为 M 的 一笔相当大的资金可用作一个时期的投资 . 设购买 si 的平均收益率为 ri , 风险损失率为
简单的数学建模题目
简单的数学建模题目一、问题的提出假设我们有一个简单的金融问题：一家银行按照每天的存款利率给客户支付利息，这个利率是存款金额的1%。
客户每天会收到他们存款的利息，但是他们也可能会提取他们的存款。
如果一个客户决定提取他们的存款，他们将只能提取存款的本金，而不能提取利息。
假设一个客户存入1000元，并且决定在接下来的5天内每天提取100元。
我们要计算在5天后，这个客户在银行还有多少钱。
二、建立数学模型1、定义变量：假设客户最初存入的金额为 P元，每天提取的金额为 D元，经过的天数为 N天。
2、建立数学方程：根据题目，我们可以建立以下方程：P - N × D =最终余额这是因为客户每天都会提取D元的金额，并且总存款是P元。
N天后，他们将剩下P - N × D元。
3、填入已知数值：根据题目，P = 1000元，D = 100元，N = 5天。
所以方程变为：1000 - 5 × 100 =最终余额三、执行计算我们可以直接计算这个方程。
1000元减去5天的提取金额（5 × 100元）等于最终的余额。
计算结果为：最终余额 = 500元所以，5天后，客户在银行还有500元。
四、整合答案通过这个简单的数学模型，我们可以清楚地解释这个问题，并且计算出最终的余额。
这个模型还可以应用于其他类似的金融问题，例如不同的存款利率、不同的提取规则等等。
数学建模题目及答案数学建模100题数学建模是应用数学方法和计算机技术，对实际问题进行抽象和概括，建立数学模型的过程。
它是连接数学理论与实际问题的桥梁，能帮助我们更好地理解世界，解决现实问题。
以下是一百个数学建模题目及答案，供大家参考。
题目一：简单的线性回归模型给定一组一元线性回归的数据，解释数据之间的关系，并预测新的数据点的结果。
答案：我们通过最小二乘法拟合一条直线来描述数据之间的关系。
然后，我们使用这条直线来预测新的数据点。
题目二：逻辑回归模型给定一组二元分类的数据，用逻辑回归模型预测新的数据点的类别。
常用数学建模方法及实例
常用数学建模方法及实例数学建模是将实际问题转化为数学模型，通过数学方法进行求解和分析的过程。
常用的数学建模方法包括线性规划、整数规划、非线性规划、图论、动态规划等。
一、线性规划线性规划是一种用于求解线性约束下目标函数的最优值的方法。
它常用于资源分配、生产计划、供应链管理等领域。
例1：公司有两个工厂生产产品A和产品B，两种产品的生产过程需要使用原材料X和Y。
产品A和产品B的利润分别为10和8、工厂1每小时生产产品A需要1个单位的X和2个单位的Y，每小时生产产品B需要2个单位的X和1个单位的Y。
工厂2每小时生产产品A需要2个单位的X和1个单位的Y，每小时生产产品B需要1个单位的X和3个单位的Y。
公司给定了每种原材料的供应量，求使公司利润最大化的生产计划。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展，要求变量的取值为整数。
整数规划常用于离散决策问题。
例2：公司有5个项目需要投资，每个项目的投资金额和预期回报率如下表所示。
公司有100万元的投资资金，为了最大化总回报率，应该选择哪几个项目进行投资？项目投资金额（万元）预期回报率1207%2306%3409%4104%5508%三、非线性规划非线性规划是一种求解非线性目标函数下约束条件的最优值的方法。
它广泛应用于经济、金融和工程等领域。
例3：公司通过降低售价和增加广告费用来提高销售额。
已知当售价为p时，销量为q=5000-20p，广告费用为a时，销售额为s=p*q-2000a。
已知售价的范围为0≤p≤100，广告费用的范围为0≤a≤200，公司希望最大化销售额，求最优的售价和广告费用。
四、图论图论是一种用于研究图（由节点和边组成）之间关系和性质的数学方法，常用于网络分析、路径优化、社交网络等领域。
例4：求解最短路径问题。
已知一个有向图，图中每个节点表示一个城市，每条边表示两个城市之间的道路，边上的权重表示两个城市之间的距离。
求从起始城市到目标城市的最短路径。
五、动态规划动态规划是一种通过将问题划分为子问题进行求解的方法，常用于求解最优化问题。
数学建模的简单实例
,
x4
,
x5
)
xi xi
1,2,3,4,5,6, xi1 4, i
i
1,2,3,4,5;
1,2,3,4
求A
9
模型的递推解法
问题的工艺要求只牵涉相邻两槽中弹子个数的差异 因此， 可以考虑前n 1槽已构成锁具， 再添加第n个槽
时仍能构成锁
构造集合
An
(
x1
,
x2 ,,
xn )
xi xi
1,2,3,4,5,6, xi1 5, i
新建B5 不建B5
;
y jk B j到C k的运量;
16
2 55
5 55
min z
cij xij
dkj ykj e11 e2 2 e3 3 e5 5
s.t.
i1 j1
k 1 j6
55
xij Qi i 1,2, (生产能力限制)
j 1
55
2
ykj xik , k 1,2,3,4,5, (仓库输出限制)
3
方桌问题的数学模型
已知: f ( )及g( )非负连续 且对有f ( ) g( ) 0
求证: 存在， 使f ( ) g( ) 0
4
证明： 为确定起见， 无妨设g(0) 0
1、 若f (0) 0， 取 0， 即得证。 2、 若f (0) 0, 构造函数h( ) f ( ) g( )
)在
闭
区
间[0,
2
]上
满
足
零
点
定
理
的
全
部条
件
于 是存 在 (a, b)使h( ) f ( ) g( ) 0 又由已知有f ( ) g( ) 0
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。