大学物理第12章变化的电磁场(1)

b

i
( B) dl
a
dl B
b
( B ) dl a
ab=l
l
a
b
( B ) l
结论：在匀强磁场中,弯曲导线平移时所产生的动生 电动势等于从起点到终点的直导线所产生的动生电 动势 。
（4）匀强B,导线以平移,



B
a
ad
)

u
a
p1 p2 0
即: 洛仑兹力的总功为零。外力克服洛伦兹力的一个分力做
功通过另一分力转化为感应电流的能量，实现能量传递。
动生电动势计算步骤：
(1)首先规定一个沿导线的积分方向(即dl
的方向 )。

(2) i ( B) dl
导体 b


Bdl sin( ,B) cos( B ,dl ) a
楞次定律是能量守恒定律的必然结果。
fm 按楞次定律，要想维持回路
fm

中电流，必须有外力不断作 功。这符合能量守恒定律。
若“阻碍”改为“助长” ，
则不需外力作功，导线便会自动运动下去，从而不 断获得机械能与电能。这显然违背能量守恒定律。
感应电动势： 对闭合导体回路, 感应电动势的方向（从负极指 向正极）和感应电流的方向是相同的。
所以回路( bcd)中的电动势
ob
d o´
就是导线bcd中的电动势。
m=BScos ( t+o)
B 1 3 a a cost , n 2 n
22
60 30
i
dm
dt
1 120
3na 2 B sin( n t )
30
(3) 线圈面积S，B=Bosin t k (Bo 和为常量)。t=0时 线圈的法线与k 同向，求线圈中的i。
(6) 如果闭合回路的总电阻为R,则回路中的感应电流
Ii

i
R


1 R
dm
dt
i


dm
dt
(7) 设在t1和t2两个时刻,通过回路所围面积的磁通量
分别为1和2, 则在t1→t2这段时间内,通过回路任一
截面的感应电量为
qi
t2
t1 Iidt
2

1
1 R
d
m
即
qi
a
dl
a
B
a
i ( B ) l
ab=l
i=Bl cos(90+) =-Blsin
方向: 由b到a。
(2)三垂直(B直导线l )。

B

dl
b
b ++ B
l
i ( B) l =Bl
i 的方向与l 同向,即由a到b。
-a-
(3) 匀强B, 任意形状的导线以平移, 求导线中的i。
若i <0, 则i 的方向与原磁场的负方向组成右
手螺旋关系。
例如: m，
dm
dt
0,
i


dm
dt
0
B i
(5) 若回路线圈有面积相同的N 匝，则
i

N
dm
dt
=Nm称为线圈的磁通链。因此上式的意义是：
N匝线圈中的感应电动势等于该线圈的磁通链对时间
的一阶负导数。
f e(u ) B
eu B
u
e B

分力eeuBB做e正功B ，功率为:
p1
分力

eue(B做B)负 u功，功率为:
B

p2 (u


e(u


B)
B)

(

B
2b
x
ds (x b r) a dr b
ds 竖 直 高 度 dr 竖 直 高 度 ( x b r) tg tg=a/b
m

oa 2b
I
[( x b) ln
xb x
b]
i


dm
dt
,I=Iocos t,
x(t),
dx
dt
i
I
i
只有实际回路闭合，才有感应电流。 只要回路的磁通量发生变化，这个回路中便一 定有感应电动势存在。
3. 法拉第电磁感应定律
当穿过闭合导体回路的磁通量发生变化时，回路
中产生电流，感应电动势与穿过回路的磁通量m
对时间的变化率的负值成正比。数学表达式为：
说明：
i
通量；
则是这一面积内的磁通量，即线元 dl 在单位时间所
切割的磁场线。
线元
dl
两端产生的电动势数值上等于线元在单位
时间切割的磁场线。
动生电动势的能量转换
设回路中的感应电流为I, 感应电流的功率：
P I IBlv
载流导体在磁场中运动，将受到安培力的作用阻碍导体运
动，为使导体保持其匀速运动，必须施加外力的作用，其
b ++ B

原因：
-a-
运动电子受洛仑兹力作用。
动生电动势的计算公式
电子所受的洛仑兹力可用一个非静电性 电场来等效，即
e B eEk Ek B (方向由a到b)
按电动势的定义：
b
i a E k dl
b ++ B

-a-
得 i ( B) dl
bC
§12.2 动生电动势与感生电动势
动生电动势 感生电动势 感生电场
1. 感应电动势类型
实现 m随时间变化有两类手段：
(1) B不变，导体作切割磁力线运动。 动生电动势
(2) 导体回路不动，B随时间变化。 感生电动势
2. 动生电动势
现象 导体在磁场中运动并切割磁力线时， 导体中便产生电动势—动生电动势。


oa 2b

dI dt
[(
x

b)
ln
xb x
b]
A
I d [( x b) ln x b b]
dt
x
I a
oaIo sin t[( x b) ln x b b]
2b
x
x B

oa 2b
Io
cost( ln
xb x

b) x



1
2
R
求感应电动势解题步骤：
B.用法拉第电磁感应定律解题的步骤如下：
(i) 首先求出回路面积上的磁通量(t的函数)：
m
Bds cos
s
对匀强磁场中的平面线圈：m BS cos
(ii)
求导： i

N
dm
dt
感生电动势的方向可用 楞次定律判断
例题 一长直螺线管横截面的半径为a, 单位长度上密
2. 楞次定律
定律表述：
闭合导体回路中感应电流的方向，总是企图使它自身产生 的通过回路面积的磁通量，去阻碍原磁通量的改变。
讨论： 阻碍的意思是：
B Ii
B Ii
若m增加, 感应电
流Ii与原磁场B的反方向 成右手螺旋关系。
若m减少, 感应电
流Ii与原磁场B的正方向 成右手螺旋关系。
企图 感应电流总是企图阻碍原磁通的改变，但又阻止 不了。
dm
dt
B

a
dt
B dS
S
S
t
dS
b B
I(t)
i

B

Ei dl

S
t
dS
感生电场Ei的电力线是围绕磁力线的闭合曲线；其方向可用 楞次定律来确定。
感生电场与静电场的比较 不同点： a) 产生原因：静电场由电荷产生，是保守力场；感生电场由
sint
如果b<a ,结果怎样？
例题 一面积为S的平面线圈，以角速度在匀强磁场 B
中匀速转动; 转轴在线圈平面内且与B垂直。求线圈中 的感应电动势。
解 对匀速转动的线圈：
m=BScos =BScos (t+o)
(1) 矩形线圈(a×b)，t=0时B平
行于线圈平面。
a
m=Babcos
(
垂直于导线方向的速度向右平移,当B点与长直导线
的距离为x时,求线圈ABC中的感应电动势。
解：先求磁通： m
Bds cos
s
A
B oI 2a
将三角形沿竖直方向分为若干宽 I
dr
为dr的矩形积分。
a
r
m=
xbo I x 2r
(x
b

r)
a b
dr
x

Bb C
ds
oa I [( x b) ln x b b]
导体
或
i
B
sin(
,
B)
dl
cos(

B
,
dl
)
导体
线元dl两端产生的电动势

b ++ B
d i ( B) dl (B ) dl


B ( dl ) B dS / dt
--
它 d是dil线的元d大dΦl小m在/为d单t 位与时dl间 所内构所成扫的过平的行面四积边，a形B 的(面 d积l)，
所以 Ua-Uc=Bl(1-cos)
例题2-3 金属细直棒op(长为l)绕o点以角速度在垂直
于匀强磁场B的平面内匀速转动，求Uo-Up=?
解：

i Bdls in( , B)cos ( B ,dl )
导线
=
l
xBdx

1
Bl 2
0
2
负号说明：i的方向由p指向o，
B l
B

b
l

c
b
c
ab=bc=l, 求 Ua-Uc= ?
解法一： i ( B ) l
ab=Blcos, ab cb=Bl , cb
解法二：
abc=adc= ad =Bl(1-cos)
电动势的方向由c指向 a; a点比c点电势高。
a
b
c
Ua-Uc=Bl(1-cos )
是匀强磁场吗？ 是！

m BS cos(t 0 )
B0 sin t S cost

1 2
B0 S
sin
2t
i


dm
dt
B0S cos 2t
例题 长直导线中通有电流I=Iocos t (Io 和为常量) ，
与三角形线圈ABC共面,已知AB=a, BC=b。若线圈以
o点电势高。
B

p
dx
x
o
Uo
Up

1 2
Bl 2
3. 感生电动势 涡旋电场
现象 导体不动, 磁场随时间变化，导体中便产生感应 电动势—感生电动势。
原因 麦克斯韦认为：变化的磁场要在其周围的空间激
发电场感生电场(涡旋电场)Ei。
计算公式
i
Ei dl d
负号“”是楞次定律的数学表示。
(2) i 决定于m的瞬时变化率，与m无直接关系。
(3) i 是回路中的总电动势，是指闭合回路中各部分
电动势的代数和。
若 i 0 , 但回路中各段的i不一定都为零。
(4) 符号法则:
若i >0, 则i 的方向与原磁场的正方向组成右
手螺旋关系；
t
+

)
2
i

N
dm
dt
=Bab
sin(
t

+ 2)
=Bab cos t

B b
(2) 一导线弯成角形(bcd=60º, bc=cd=a)，在匀强磁
场B中绕oo´轴转动，转速每分钟n转, t=0时如图所示，
求导线bcd中的i。
解： 连接bd组成一个三角形
c
回路bcd。
B
由于bd段不产生电动势，
(3) 若i >0, 则i 的方向与dl 同向；
若i <0, 则i 的方向与dl 反向。
b ++ B
dl
-a-
例题
一长l的直导线ab以恒定的速度
在匀强磁场
B
中平移，求导线中的动生电动势。
解 (1)直导线，ab=l。
b
b
i
( B) dl ( B )
大学物理学
第12章 变化的电磁场
§12.1 电磁感应定律
电磁感应现象 楞次定律 法拉第电磁感应定律 应用举例
1. 电磁感应现象
电流
? 磁场
电流
法拉第对此进行了系统的实验探索，在1831年取得突破性 进展，发现了电磁感应现象及其基本规律
Ii
Ii
I(t)
Ii
电磁感应现象共同点：闭合回路面积上的磁通量发生变化时， 回路中便产生感应电流。
绕了n匝线圈，通以电流I=Iocos t(Io、为常量)。一 半径为b、电阻为R的单匝圆形线圈套在螺线管上，
如图所示。求圆线圈中的感应电动势和感应电流。
解 由m=BScos 得
a
m=µonI·a2
b
I
B
i

N
dm
dt
ona 2 Io sint
Ii

i
R

1 R
ona 2 Io
变化的磁场激发，是非保守力场； b) 电力线形式：静电场电力线起于正电荷，止于负电荷，不 形成闭合曲线；感生电场电力线是闭合曲线, 故又称为涡旋电 场。
大小为F=IBl。外力的输入功率为:
I
Pext Fv IBlv
l
B fm

外力输入的功率正好等于感应电动势提供的电功率，即感应 电动势提供的电能是由外力做功所消耗的机械能转换而来。
洛伦兹力的作用
动生电动势是洛伦兹力引起，似乎与 洛仑兹力不作
功的结论相矛盾？ b
洛仑 兹力的分力 要作 功。