管理运筹学
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解:改变后的目标函数的斜率为- 45，因小于1，所以原来的最优产品组合
43 还是最优产品组合。
软件运行结果： *********** 最优解如下 ************* 目标函数最优值为：103000
变 量 最优解 相差值
------ ------ ------
X1
150.00 0.00
X2
70.00 0.00
maxZ 500 X1 400 X 2
约束条件：
2X1 300
32XX
Байду номын сангаас2 1
540 2X2
440
1.2 X1 1.5X 2 300
X1, X 2 0
B
如图中所示B点为最优解，即X1=150,X2=70,此时Z为 103000.所以要使利润再打，产品ⅠⅡ每天的产量分别为150个， 70个，此时利润为103000.
即最优解不变，车间4的对偶价格为0元/工时。
（4）当产品Ⅰ的利润不变时，产品Ⅱ的利润在什么范围内变化，此最优解不 变？当产品Ⅱ的利润不变时，产品Ⅰ的利润在什么范围内变化，此最优解不变？
500 解：设产品Ⅱ的利润为C2，则目标函数的斜率可以表示为 - C2 ,若要使
此最优解不变，根据图中所示，满足 - 500 1 ,即 C2 500 时，最优解
车间 1 2 3 4
产品Ⅰ 2 0 2
1.2
产品Ⅱ 0 3 2
1.5
车间的加工能力（每天加工工时数） 300 540 440 300
（1）假设生产的全部产品都能销售出去，用图解法确定最优产品组 合，即确定使得总利润最大的产品Ⅰ和产品Ⅱ的每天的产量。 解：设使得总利润最大时的产品Ⅰ的产量为X1，产品Ⅱ的产量为X2， 则可得：
（1）解：设使总的投资风险指数最小时，公司在基金A和基金B中各投资
X1,X2万份，回报金额为Z.
目标函数为 minf= 8 X1 3X 2
约束条件为
50X1 100X 2 120
15000XX1
•10% 2 30
100X
2
•
4%
6
X1, X 2 0 根据如上约束条件得到线性规划图：
解：对于车间1增加一个工时的加工能力后，车间1的约束条件为 2X1 301
2 2
X X
1 1
301 2X2
440
最优解为X1=150.5 X2=69.5 max z=103050 利润增加50元，即车间1的对偶价格为50元/工时。
对于车间2增加一个工时的加工能力后，车间2的约束条件为 3X 2 541
*10%
100
x2
* 4%
50x1100x2 120 1x01 0x02 30 x2 0
此时最优解变为
9 5
，3 10
，即分别投资基金A 1.8万份，基金B 0.3
万份，回报金额最大为 Z=50*1.8*10%+100*0.3*4%=10.2（万元）
C2
才不变。
同理，设产品Ⅰ的利润为 C1 ,则目标函数的斜率满足
- C1 1 400
,即
C1 400 时，最优解不变。
（5）当产品Ⅰ的利润从500元/个降为450元/个，而产品Ⅱ的利润从 400元/个增加为430元/个时，原来的最优产品组合是否还是最优产品组 合？如有变化，新的最优产品组合是什么？
即最优解不变，车间2的对偶价格为0元/工时。
对于车间3增加一个工时的加工能力后，车间3的约束条件为2X1 2X 2 441
即最优解为X1=150,X2=70.5 max z=103200,利润增加200元，车间3的对
偶价格为200元/工时。
对于车间4增加一个工时的加工能力后，车间4的约束条件为1.2 X1 1.5X2 301
图形分析：
可行域为图中箭头所指区域，目标函数的斜率 为 最小- 83时分，别则投最资优基解金为（A 00..44,万1）份，，即基总金的B投1资万风份险。指此数时 的年回报金额是 Z=50*0.4*10%+100*1*4%=6(万元）
软件运行结果：
（2）目标函数为：
max
约束条件：
Z
50 x1
无上限
X2
0.00
400.00 500.00
常数项范围： 约束 下限
当前值
上限
第13题 某公司受委托，准备把120万元投资基金A和B， 其中基金A的单位投资额为50元，年回报率为10%，基金B 的单位投资额为100元，年回报率为4%。委托人要求在每 年的年回报金额至少达到6万元的基础上投资风险最小。 据测定单位基金A的投资风险指数为8，单位基金B的投资 风险指数为3，风险指数越大表明投资风险越大。委托人 要求在基金B中的投资额不少于30万元。 （1）为了使总的投资风险指数最小，该公司应该在基金A 和基金B中各投资多少？这时每年的回报金额是多少？ （2）如果使总的投资回报金额最大，应该如何投资？
（2）在（1）所求的最优产品组合中，在四个车间中哪些车间的能力还有 剩余？剩余多少？这在线性规划中称为剩余变量还是松弛变量？
解：车间二，车间四的能力还有剩余，车间二剩余330，车间四剩余15， 都属于松弛变量。
（3）四个车间加工能力的对偶价格各为多少？即四个车间的加工能力分别增
加一个加工工时时能给公司带来多少额外的利润？
《管理运筹学》习题讲解
第十二题 第十三题
第12题 某公司正在制造两种产品，产品Ⅰ和产品Ⅱ，每天 的产量分别为30个和120个，利润分别为500元/个和400元/个。 公司负责制造的副总经理希望了解是否可以通过改变这两种
产品的数量而提高公司的利润。公司各个车间的加工能力和 制造单位产品所需的加工工时如表所示。
约 束 松弛/剩余变量 对偶价格
------ ------------- --------
1
0.00
50.00
2
330.00
0.00
3
0.00
200.00
4
15.00
0.00
目标函数系数范围：
变 量 下 限 当前值 上 限
------ ------ ------ ------
X1
400.00
500.00
43 还是最优产品组合。
软件运行结果： *********** 最优解如下 ************* 目标函数最优值为：103000
变 量 最优解 相差值
------ ------ ------
X1
150.00 0.00
X2
70.00 0.00
maxZ 500 X1 400 X 2
约束条件：
2X1 300
32XX
Байду номын сангаас2 1
540 2X2
440
1.2 X1 1.5X 2 300
X1, X 2 0
B
如图中所示B点为最优解，即X1=150,X2=70,此时Z为 103000.所以要使利润再打，产品ⅠⅡ每天的产量分别为150个， 70个，此时利润为103000.
即最优解不变，车间4的对偶价格为0元/工时。
（4）当产品Ⅰ的利润不变时，产品Ⅱ的利润在什么范围内变化，此最优解不 变？当产品Ⅱ的利润不变时，产品Ⅰ的利润在什么范围内变化，此最优解不变？
500 解：设产品Ⅱ的利润为C2，则目标函数的斜率可以表示为 - C2 ,若要使
此最优解不变，根据图中所示，满足 - 500 1 ,即 C2 500 时，最优解
车间 1 2 3 4
产品Ⅰ 2 0 2
1.2
产品Ⅱ 0 3 2
1.5
车间的加工能力（每天加工工时数） 300 540 440 300
（1）假设生产的全部产品都能销售出去，用图解法确定最优产品组 合，即确定使得总利润最大的产品Ⅰ和产品Ⅱ的每天的产量。 解：设使得总利润最大时的产品Ⅰ的产量为X1，产品Ⅱ的产量为X2， 则可得：
（1）解：设使总的投资风险指数最小时，公司在基金A和基金B中各投资
X1,X2万份，回报金额为Z.
目标函数为 minf= 8 X1 3X 2
约束条件为
50X1 100X 2 120
15000XX1
•10% 2 30
100X
2
•
4%
6
X1, X 2 0 根据如上约束条件得到线性规划图：
解：对于车间1增加一个工时的加工能力后，车间1的约束条件为 2X1 301
2 2
X X
1 1
301 2X2
440
最优解为X1=150.5 X2=69.5 max z=103050 利润增加50元，即车间1的对偶价格为50元/工时。
对于车间2增加一个工时的加工能力后，车间2的约束条件为 3X 2 541
*10%
100
x2
* 4%
50x1100x2 120 1x01 0x02 30 x2 0
此时最优解变为
9 5
，3 10
，即分别投资基金A 1.8万份，基金B 0.3
万份，回报金额最大为 Z=50*1.8*10%+100*0.3*4%=10.2（万元）
C2
才不变。
同理，设产品Ⅰ的利润为 C1 ,则目标函数的斜率满足
- C1 1 400
,即
C1 400 时，最优解不变。
（5）当产品Ⅰ的利润从500元/个降为450元/个，而产品Ⅱ的利润从 400元/个增加为430元/个时，原来的最优产品组合是否还是最优产品组 合？如有变化，新的最优产品组合是什么？
即最优解不变，车间2的对偶价格为0元/工时。
对于车间3增加一个工时的加工能力后，车间3的约束条件为2X1 2X 2 441
即最优解为X1=150,X2=70.5 max z=103200,利润增加200元，车间3的对
偶价格为200元/工时。
对于车间4增加一个工时的加工能力后，车间4的约束条件为1.2 X1 1.5X2 301
图形分析：
可行域为图中箭头所指区域，目标函数的斜率 为 最小- 83时分，别则投最资优基解金为（A 00..44,万1）份，，即基总金的B投1资万风份险。指此数时 的年回报金额是 Z=50*0.4*10%+100*1*4%=6(万元）
软件运行结果：
（2）目标函数为：
max
约束条件：
Z
50 x1
无上限
X2
0.00
400.00 500.00
常数项范围： 约束 下限
当前值
上限
第13题 某公司受委托，准备把120万元投资基金A和B， 其中基金A的单位投资额为50元，年回报率为10%，基金B 的单位投资额为100元，年回报率为4%。委托人要求在每 年的年回报金额至少达到6万元的基础上投资风险最小。 据测定单位基金A的投资风险指数为8，单位基金B的投资 风险指数为3，风险指数越大表明投资风险越大。委托人 要求在基金B中的投资额不少于30万元。 （1）为了使总的投资风险指数最小，该公司应该在基金A 和基金B中各投资多少？这时每年的回报金额是多少？ （2）如果使总的投资回报金额最大，应该如何投资？
（2）在（1）所求的最优产品组合中，在四个车间中哪些车间的能力还有 剩余？剩余多少？这在线性规划中称为剩余变量还是松弛变量？
解：车间二，车间四的能力还有剩余，车间二剩余330，车间四剩余15， 都属于松弛变量。
（3）四个车间加工能力的对偶价格各为多少？即四个车间的加工能力分别增
加一个加工工时时能给公司带来多少额外的利润？
《管理运筹学》习题讲解
第十二题 第十三题
第12题 某公司正在制造两种产品，产品Ⅰ和产品Ⅱ，每天 的产量分别为30个和120个，利润分别为500元/个和400元/个。 公司负责制造的副总经理希望了解是否可以通过改变这两种
产品的数量而提高公司的利润。公司各个车间的加工能力和 制造单位产品所需的加工工时如表所示。
约 束 松弛/剩余变量 对偶价格
------ ------------- --------
1
0.00
50.00
2
330.00
0.00
3
0.00
200.00
4
15.00
0.00
目标函数系数范围：
变 量 下 限 当前值 上 限
------ ------ ------ ------
X1
400.00
500.00