中考数学中的最值问题课件

点 P 在点 P′时，PE+PC 有最小值，最小值即为 BE 的长．
BE＝
＝，
所以 P′E+P′C 的最小值为 ．
等边三角形中将高线转化为对称轴，利用轴对称的性 质、两点之间线段最短求线段和最小是解题关键。
类型二：
如图，点A,B在直线L同侧，在直线L上求作一
点P,使 PA PB 最大. A
B
L
P
P
则EF的最小值
．
EF最小⇒BP最小 垂线段最短
解：当 P 为对角线 AC 与 BD 的交点时，EF 的值最小；
在 Rt△ABD 中，
BD＝
＝
＝4 ，
∴PB＝ BD＝2 ，
P
∴EF 最小值＝2 ．
熟练掌握正方形和矩形的性质， 垂线段最短是解决此问题的关键
【跟踪练习四】
2、如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝2，E 为 AB 的中点，F 为 EC 上 一动点，P 为 DF 中点，连接 PB，则 PB 的最小值是（ ）
（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的
一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标
是
．
A' E
【解答过程】
解：作 A 关于 y 轴的对称点 A′，连接 A′D 交 y 轴于 E， 则此时，△ADE 的周长最小， ∵四边形 ABOC 是矩形， ∴AC∥OB，AC＝OB， ∵A 的坐标为（﹣4，5）， ∴A′（4，5），B（﹣4，0）， ∵D 是 OB 的中点， ∴D（﹣2，0）， 设直线 DA′的解析式为 y＝kx+b，
∴
，∴ ，
思考：在本辅助线的作法下，
∴直线 DA′的解析式为 y＝ x+ ，
你还可以怎么解答？
当 x＝0 时，y＝ ，
∴E（0， ）.
【解答过程】
解：由题意，OD∥A′C，设 DE=x ∵OD∥A′C ∴Rt△ODE∽Rt△CA′E ∴OE：CE＝OD：A′C ∴x：(5-x)＝2：4 解得：x＝ ∴E（0， ）.
则 OP′即为最小值，
过点 M 作 MQ⊥x 轴于点 Q，
则 OQ＝3、MQ＝4，
∴根据勾股定理 OM＝5，
又∵MP′＝2，
∴OP′＝3，
∴AB＝2OP′＝6.
【跟踪练习三】
3、在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是 AB边的中点，F是线段BC上的动点，将 △EBF沿EF所在直线折叠得△EB′F，连接 B′D，则B′D的最小值是_____.
轴对称性质
【解答过程】
解：如图，连接 BE 交 AD 于点 P′，
∵△ABC 是等边三角形，AB＝2，AD 是 BC 边上的高，
E 是 AC 的中点，
∴AD、BE 分别是等边三角形 ABC 边 BC、AC 的垂直平分线，
∴P′B＝P′C，
P′E+P′C＝P′E+P′B＝BE，
根据两点之间线段最短，
点D，P是 上的一个动点，连接AP，
则AP的最小值是
．
解：取 BC 的中点 E，连接 AE，交半圆于 P，
则 AP 的长即为最小值，
∵AE＝
＝ ，PE＝1，
P
∴AP＝ ﹣1．
圆外一点到圆最短距离与勾股
定理的综合应用
E
【跟踪练习三】 2、（18泰安中考）如图，⊙M的半径为2， 圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任 意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、 B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的 最小值为______.
的最大距离或最小距离
.
圆外一点到圆的最小距离
线段PA的长度
圆外一点到圆的最大距离
线段PB的长度
P
O
A
B
点 P 为⊙O 外一点，P 到⊙O 的最大距离为 10cm， 最小距离为 4cm，则圆的半径__3_c_m____.
【跟踪练习三】
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
AC＝BC=2，以BC为直径的半圆交AB于
设直线 AB′解析式为：y＝kx+b
三角形 相似
把点 A（﹣1，﹣1）B′（2，﹣7）代入 解得
∴直线 AB′为：y＝﹣2x﹣3， 当 y＝0 时，x＝﹣
∴M 坐标为（﹣ ，0）
线段差最大的问题，转化为与轴对称性质、三角形 三边关系和函数（或相似）的综合应用
类型三：
如图，点P为⊙O外一点，则点P到⊙O
根据三角形的两边之差小于第三边， 当A、B、P三点在同一条直线上时线段差最大，等于AB
【跟踪练习二】
1、在平面直角坐标系内有两点A（﹣1,﹣1），
B（2，7），点M为x轴上的一个动点，若要使 ︱MB﹣MA︱的值最大，则点M的坐标为 ．
解：取点 B 关于 x 轴的对称点 B′，则直线 AB′交 x 轴于点 M． 则点 M 即为所求．
＝2 ，
∴B′D＝2 ﹣2．
圆外一点到圆的最短距离与折叠的 性质和勾股定理的综合运用
类型四：
如图，P为直线L外一点，在L上求作一点A， 使PA最小.
垂线段最短
P
L A
【跟踪练习四】 1、正方形ABCD中，AB=4，点P是对角线AC上 一点，PE⊥CD于E，PF⊥AD于F, 点P在
线段AC上运动（P不与A,C重合），
几何中的最值问题
学习目标：会利用四种基本模型求几
何图形中的最值.
重点、难点：数学建模思想
和数学转化思想.
类型一：
“将军饮马”
如图，直线L同侧有两点，点A、点B，在 直线L上求作一点P，使PA+PB最小.
轴对称性质
线段垂直平分线
两点之间线段最短
B
A L
P
A'
【跟踪练习一】ຫໍສະໝຸດ 1、如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为
圆外一点与圆的最小距离
B'
【解答过程】
解：如图所示点 B′在以 E 为圆心 EA 为半径的圆上运动，
当 D、B′、E 共线时时，此时 B′D 的值最小，
根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，
∴EB′⊥B′F，
∴EB′＝EB，
∵E 是 AB 边的中点，AB＝4，
∴AE＝EB′＝2，
∵AD＝6，
∴DE＝
1、利用相似是解决问题的另一种常用方法； 2、多方法解决问题是专题复习中重点加强的.
【跟踪练习一】
辅助线还可以怎么作？
E D'
【跟踪练习一】
2、如图，△ABC 是等边三角形，AB＝2，AD 是 BC 边上的高，E 是 AC 的中点，P 是 AD 上的一个动点，则 PE+PC 的最小值为___________.
y
圆外一点到圆的最小距离
PM
P′
A
O
B
x
【解答过程】
根据直角三角形斜边上的中线等
解：∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，于斜边的一半得出AB取得最小值
∵AO＝BO，∴AB＝2PO，
时点P的位置．
若要使 AB 取得最小值，则 PO 需取得最小值，
连接 OM，交⊙M 于点 P′，当点 P 位于 P′位置时，