微积分：定积分与原函数的关系

4.2定积分与原函数的关系
内容：
一、原函数与不定积分的概念
原函数存在定理：
二、 基本积分表
三、 不定积分的性质 四、微积分基本定理
1、积分上限函数极其微商 2.原函数存在定理 3、牛顿—莱布尼茨公式
4.2定积分与原函数的关系
一、原函数与不定积分的概念
1、直观背景
f (x)x f (x)
x
1
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
分 表
(3)
dx x
说明：
ln x x 0,
(2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x
sin x C cos x
（ C为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
（2）若 F ( x) 和 G( x)都是 f ( x)的原函数， 则 F ( x) G( x) C （ C为任意常数）
显然，求不定积分得到一积分曲线族.
由不定积分的定义，可知
d
dx
f ( x)dx
f ( x),
d[ f ( x)dx] f ( x)dx,
F ( x)dx F ( x) C, dF ( x) F ( x) C.
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
二、 基本积分表
实例
x1 x
积 分 号
ห้องสมุดไป่ตู้
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
例1 求 x5dx.
解
x6
x5,
6
x5dx x6 C .
6
例2
求
1
1 x2
dx.
解
arctan
x
1
1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
.
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
不定积分的性质
四、微积分基本定理
1、积分上限函数极其微商
定理 设f（x）在[a，b]上连续，则变上限定积分
解 设曲线方程为 y f ( x),
根据题意知 dy 2x, dx
即 f ( x)是2x 的一个原函数.
2xdx x2 C , f ( x) x2 C,
由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为 y x2 1.
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
C;
dx x
ln
x
C
,
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x
dx x
ln(
x
)
C
,
dx x
ln
|
x
|
C
,
简写为
dx x
ln
x
C.
(4)
1
1 x
2
dx
arctan
x
C;
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
证 F ( x) G( x) F( x) G( x)
f (x) f (x) 0 F ( x) G( x) C （C为任意常数）
3、不定积分的定义：
在区间I 内，函数 f ( x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f ( x)在区间I 内的
不定积分，记为 f ( x)dx .
f ( x)dx F( x) C
(8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
例4 求积分 x2 xdx.
例 sin x cos x sin x是cos x的原函数. ln x 1 ( x 0)
x ln x是1 在区间(0,) 内的原函数.
x
原函数存在定理：
如果函数 f ( x)在区间I 内连续，
那么在区间I 内存在可导函数F ( x) ， 使x I ，都有F ( x) f ( x).
简言之：连续函数一定有原函数. 问题： (1) 原函数是否唯一？
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx.
例5
求积分
1 x x x(1 x2
2
)
dx.
解
1 x x2
x(1 x2 )dx
x (1 x2 x(1 x2 )
)dx
1
1 x
2
1 x
dx
1
1 x2
dx
1dx x
arctan x ln x C.
例6
求积分
令x 0,得
(x) f (x)
y
( x)
o a x x x b x
2、原函数概念
定义： 如果在区间I 内，可导函数F ( x)的 导函数为 f ( x)，即x I ，都有F ( x) f ( x) 或dF ( x) f ( x)dx，那么函数F ( x)就称为 f ( x)
或 f ( x)dx 在区间I 内原函数.
C(x) (3x 50)dx 3 xdx 50 dx 3 x2 50x K. 已知C(0)2 100, 代入得K 100， C(x) 3 x2 50x 100.
2
小结
原函数的概念：F( x) f ( x)
不定积分的概念： f ( x)dx F ( x) C
基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系
1
1 cos
2
x
dx.
解
1
1 cos
2x
dx
1
1 2 cos 2
x
dx 1
1 2
1 cos2
x
dx
1 2
tan
x
C
.
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.
例7 总成本函数 设某产品的月边际成本
函数为MC 3x 50, 产品的月固定成本 为100元。 求月总成本函数。 解总成本函数的微商C(x) MC 3x 50,
5
解 x2 xdx x 2dx
根据积分公式（2）
x dx
x 1
1
C
51
x2 51
C
2 7
7
x2
C.
2
三、 不定积分的性质
( f (x)dx) f (x); d f (x)dx f (x)dx.
f (x)dx f (x) C;
df (x) f (x) C.
kf ( x)dx k f ( x)dx;