不定积分的分部积分法 ppt课件

而 I1xln x d xlnxd(x22)
x2
lnx 2
x 22d(lx n)x22lnx
xdx 2
x2lnxx2C
2
2
所以对任 n意 1,由 确 递 定 推 的 公I式 n. 都
例10 求不定积分 ex(1xlnx)dx.
解 ex(1 xlnx)dxexxdxexlnxdx
exxdxln xd(ex)
再次使用 分部积分法
(x 2 1 ) e x 2x x d x e
( x 2 1 ) e x 2 x d ( e x )
( x 2 1 ) e x 2 ( x x e e x ) C .
(x 2 2 x 3 )ex C .
例4 求不定积分 xarctxd ax.n 解 xarcxtdx anarcxtd(ax 22n )
x 2 2arx c tx 2 2 a 1 1 n x 2d x
x 2 2arx ct1 2 a (1 n 1 1 x 2)d x
x 2arx c 1 t(x a a nrx c ) t积分 arcsxdixn. 解 arcsxidn xxarx cs x id (narx)csin
第三节 不定积分的分部积分法
一、基本内容
问题 xexdx?
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数 u=u(x) 和 v=v(x)具有连续导数, ( u ) v u v u v , u v ( u ) v u v ,
u v d x u v u v d x , 分部积分公式 u d vu v vd u .
x2 six n dx
2
2
显然 , u 和 dv 选择不当，积分更难进行.
解 xcoxd sxxd(sx i)n
x sx i n sx id n x
x sx i c n x o C . s
说明１： 口诀（反、对、幂、三、指）
例3 求不定积分 (x21)exdx.
解
(x21)exdx(x 2 1 )d (ex)
exdxexln xexdx
x
x
exln xC .
练习： 求下列不定积分
(1) xa1rcx2txadxn. (2) (1xexx)2dx. (3) (x11e)x1 xdx.
例1 求不定积分 xexdx.
解 设 ux,dvexdxdex,
xexdx xd(ex)xx e exdxxxe ex C .
u d v u v vd u ,
分部积分法的关键是正确选择 u 和 v .
例2 求不定积分 xcoxsdx.
若 xcoxsdx cosxd(x22)
x2cox s
2 x 1 c 2 x o 1 s s 2 x i 1 n C .
说明４： 有时应结合换元积分，先换元后再分部；
例 8 已知 f ( x)的一个原函数是 ex2 ,
求 xf ( x)dx. 解 xf(x)dxxdf(x)x(x f)f(x )d x ,
由已知 f(x)d x 可 e x2得 C ,
xsin x) (lcnox s)d (xln
x sin x ) x (clo n x )s ( x d [ lc no x )] s(l
x [sx i) n c( o x l)s n ] s (l ix n ) d x (ln sinx ()ldn x2 x[sin x) (clo nx s)( ]C l.n
例 求不定积分 sinx ()ldn x.
解 令 lnxu, 则xeu, dxeudu,
sin(xl)dnx eusiu n du
例7 求不定积分 sin 2x1dx.
解 令2x1u, 则xu2 1, d xu d u, 2
sin 2x1d xusin uduud(cou)s u co u sco u d u s u c u o su i s C n
两边同时对 x 求导, 得 f(x)2xex2,
xf(x)dxx(fx)f(x)dx
2 x 2 e x 2 e x 2 C .
说明５： 被积函数中含有抽象函数的导函数，常 考虑用分部积分；
说明６：利用分部积分法可得求不定积分的递
推公式
例9 求积分 x(ln x)ndx.(nN*)
解
sx e tx a c ls n x e tx c a s n 3 x e d x c
se3cxdx 1 2 (s x e ta x c ln s nx e tca x ) n C
例 求不定积分 sinx ()ldn x. 解 sin(xl)dnx xsinx)(lx n d [six n )](ln
Inx(lx n )ndx
(lnx)nd(x2) 2
1x 2(lx ) n n1x 2 d ((x l)n n )
2
2
1x 2 (lx )n n nx (lx )n n 1 d x
2
2
1 2x2(lx n)nn 2In1 (nN*,n1) 递推公式为 I n 1 2 x 2 (x l) n n n 2 I n 1,( n N * ,n 1 )
2
说明３： 不定积分可通过解方程求得，但要注意 结果+C；
可连续几次利用多次分部，但每次应 塞同一类函数；
例 求不定积分 se3cxdx. 解 se3cxdxsexc se 2xc d xsexcd(tax)n
se x tca x n ta x d (n sx )ec sx e tc a x t n 2 a x s n x e d x c sx e tc x a ( n s 3 x e sx e c ) d x c
x arx c s1 x ix n 2d x
x arx c 1 s ix 2 n C .
说明２： 单纯的反三角函数、对数函数积分， 可直接运用分部积分；
例6 求不定积分 exsinxdx. 解 exsinxdx exd(cox)s
e xcx o s e xcx o d xs 注意循环 exco x sexd(x s)in形式 e x (s x i cn x o ) e s x sx id x n exsin xdx ex(sx in cox)sC.