最小二乘法简介PPT课件

高斯
由寻找随机误差函数为突破，以独特的概率思想导出 了正态分布，详尽地阐- 述了最小二乘法的理论依据。 5
设一组数据(xi ,yi)(i=1,2,...,n),现用近似曲 线y=φ(xi)拟合这组数据,“拟合得最好”的标准 是所选择的φ(xi)在xi处的函数值φ(xi)(i=1,2,...,n)
与实际值yi的偏差（也称残差)φ(xi)-yi(i=1,2,...,n)
最小，使偏差之和Σ[φ(xi)-yi]最小来保证每个偏 差都很小。但偏差有正有负,在求和的时候可能 相互抵消。为了避免这种情况，选择使“偏差 平方和Σ[φ(xi)-yi]2最小”的原则来保证每个偏差
的绝对值都很小,从而得到最佳拟合曲线y=φ(xi)。
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三、最小二乘法拟合
一般而言，拟合函数φ(x)可以使不同的函数 类,由m个线性无关函数φ1(x),φ2(x),...,φm(x)的 线性组合而成，即
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二、创立思想
最小二乘法(OLSE)的思想就是要使得观测点和 估计点的距离平方和达到最小，在各方程的误差之间 建立一种平衡，从而防止某一极端误差，对决定参数 的估计值取得支配地位，有助于揭示系统的更接近真 实的状态。
在最小二乘法的创立过程中有两位科学家为它 的创立及发展作出了杰出的贡献。
勒让德
在先驱者解线性方程组的基础上，以整体的思想方法 创立了最小二乘法
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四、最小二乘法应用
利用实际试验采集到的数据，建立 回归模型，运用最小二乘估计进行趋势 分析及预测，比如经济趋势预测，工业 产量控制等等。
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x a 11 x a 22 x … a m m x (mn1)
其中,a1,a2,...,am为待定系数，φ1(x),φ2(x),...,φm(x) 称为基函数。常用的基函数有：
多项式：1,x, x2,…,xm;
三角函数：sinx,sin2x,...,sinmx;
指数函数：eλ1x,eλ2x,...,eλmx。
为消除异方差的影响，使各项的地位相 同，观测值的权数取观测值误差项方差 的倒数，即 ωi=1/σi2
在实际问题中，σi2通常是未知的，当自 变量水平以系统的形式变化时，取 ωi=1/xi2
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5.3 WLS模型
加权后的最小二乘估计模型为:
n
s （i yi a bxi）2 i 1
令 s 0, s 0 a b
拟合函数y=aebx
lny=lna+bx
单击添Y加=lny b0=lna
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Y=b0+ bx
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4、对数函数的拟合
得到一组数据(xi,yi)(i=1,...,n),还可以考虑用对数函数为基函数来拟合。
拟合函数y=a+blnx
令X=lnx
y=单击a添+加bX
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5、脱离一般假设的最小二乘估计
OLSE的一般假 设
最小二乘法的思想方法及其应用
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目的
最小二乘法在农、工、经济等领域都有 广泛使用。
本文旨在向大家介绍最小二乘法的原理 及其应用,使大家对最小二乘法有初步了解， 方便以后使用。
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主要内容
一、最小二乘法简介 二、创立思想 三、最小二乘法拟合办法 四、最小二乘法的实际应用
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一、最小二乘法简介
最小二乘法 ， 又称最小平方法，是一种数 学技术。它通过最小误差的平方和寻找数据函 数的最佳匹配。最小二乘法是提供“观测组合 ”的主要工具之一，它依据对某事件的大量观 测而获得“最佳”结果或“最可能”表现形式 。 最小二乘法之于数理统计学，有如微积分之于 数学，可以称为数理统计学之灵魂。
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5.1 加权原理
在等方差条件下，偏差平方和S中每一项 的地位是相同的；在异方差条件下，误 差项方差σi2大的在S中的作用偏大。
加权最小二乘估计（WLS,weighted least square）的方法是在平方和中加
入一适当的权数ωi，以调整各项在平方
和中的作用。
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5.2 权数的取定
i 1
j 1
令 s 0, s 0 a0 a j
s
a
0
m
2
yi
i1
a0
n
a
j xij
j 1
0
s a1
2
m
i1
yi
a0
n
j 1
a
j
x ij
x
i1
0
s
a
n
m
2
yi
a0
n
a
j xij
x
i
n
i1
j 1
0
- a0,a1,,am的值9
3、指数函数的拟合
得到一组数据(xi,yi)(i=1,...,n),还可以考虑用指数函数为基函数来拟合。
n
n
n
xi
y
－
i
xi
yi
i1
i1
i1
n
n
i1
x
2 i
－
n
i1
xi
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
-
a
＝
1 n
n
y
－
i
i1
b n
n
xi
i1
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2、多元性拟合
设变量y与n个变量x1,x2,…,xn(n≥1)内在联系是
线性的，即有y=a0+∑ajxj(j=1,...,n)。
m
n
s （yi a0 a j xij）2
解释变量xi为确 定型变量
等方差 不相关
样本容量大于 解释变量个数
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在实际应用中，采集到的数据不一定 满足OLSE(ordinary least square estimation)的一般假设，即会出现异方 差问题。
利用得到的数据进行残差图检验，若 残差围绕e=0这条线波动，则满足基本假 设，否则，便是异方差现象。对于这种 问题的处理，我们引入加权最小二乘估 计。
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1、一元线性拟合
已知实测到的一组数据(xi ,yi)(i=1,2,...,n),设
线性关系式为y=a+bx,最小二乘法求出a,b。
n
s
（
yi
a
bx
）2
i
i 1
令 s 0, s 0 a b
as ＝－2in1(yi a bxi )＝0 bs＝－2in1(yi a bxi )xi＝0
b
＝
n