不等式证明中的换元法

数学竞赛辅导资料 不等式证明中的换元法

不等式的证明因其方法灵活多变，综合性强而成为高中数学的一个难点，在各类数学竞赛中，不等式的证明问题是一个热点。所谓换元法，就是将所要证明的不等式中的字母作适当的代换，变换数学式的形式，以显化其内在结构的本质，从而达到简化证题的过程。

一、 均值换元法

若题中有X a a a n =+++ 21的条件时，常可考虑作如下换元，设),,2,1(n i t n X a i i =+=，此时021=++n t t t ，由于n

X 是n a a a ,,,21 的平均值，故称之为均值换元法。

例 1 已知e d c b a ,,,,是满足16,822222=++++=++++e d c b a e d c b a 是实数，求证：5

160≤≤e

二、 三角换元法

三角换元是指将不等式中的字母换成角的三角函数形式,再运用三角知识解题。 例2 实数y x ,满足55422=+-y xy x ，求证：3

10131022≤+≤y x 。

三、 增量换元法

若b a ≥，可设t b a +=，其中t 为增量，故这种换元叫做增量换元法。

例3 已知c b a >>，求证：

c

a c

b b a -≥-+-411。

四、 整体换元法

有些不等式的证明，若从局部入手困难，不妨把整体看作一个元来处理，这就是整体换元。

例4 求证：3tan sec tan sec 312222≤+-≤x

x x x

五、 分式换元法

对于含有约束条件121=+++n a a a 的某些不等式，可考虑换元：),,,2,1(21n i a n

i i =++=αααα由于把不等式中的字母换成了分式，故称之为分式换元法。 例5 已知+∈R x x x x 4321,,,，且

1111111114321=+++++++x x x x ，求证：814321≥x x x x 。

六、 分母换元法

一些分母复杂的分式不等式的证明，可考虑将分母换元，以使分母变得简洁些，进而把问题解决，故称此法为分母换元法。

例6 设+∈R c b a ,,，求证：

.23≥+++++a c b c b a b a c