第12章数项级数
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第十二章 习题一
数项级数
一．选择题
1．给定下列命题：① 若∑∞
=-+1
212)(n n n u u 收敛，则∑∞
=1
n n u 收敛；② 若∑∞
=1
n n u 收敛，则
∑∞
=+1100
n n u
收敛；③ 若0lim ≠=∞
→a u n n ，则∑∞=1
n n u 发散；④ 若∑∞=+1
)(n n n v u 收敛，则∑∞
=1
n n u 、
∑∞
=1
n n
v
都收敛．其中正确的命题是（ B ）
（A ）①和②； （B ）②和③； （C ）③和④； （D ）①和④． 2．设∑==n
k k n a S 1
，则数列}{n S 有界是级数∑∞
=1
n n a 收敛的（ B ）
（A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件； （C ）充分且必要条件； （D ）既非充分又非必要条件． 3．若∑∞
=1
2
n n a 、∑∞
=1
2
n n b 收敛，则∑∞
=1
n n n b a （ C ）
（A ）发散； （B ）条件收敛； （C ）绝对收敛； （D ）收敛性不定．
4．级数∑∞
=+-1
1
)1(n p n n （0>p ）敛散性为（ A ）
（A ）当1p >时，绝对收敛；当1p ≤时，条件收敛；
（B ）当1p <时，绝对收敛；当1p ≥时，条件收敛；
（C ）当1p ≤时发散；当1p >时收敛； （D ）当0p >时，绝对收敛． 5．设有两个数列{}{}n n a b ，若lim 0n n a →+∞=，则（ C ） （A ）当1
n n b +∞
=∑收敛时，1
n n n a b +∞
=∑收敛； （B ）当1
n n b +∞
=∑发散时，1
n n n a b +∞
=∑发散；
（C ）当1
n n b +∞=∑收敛时，22
1
n n
n a b +∞=∑收敛； （D ）当1
n n b +∞=∑发散时，221
n n n a b +∞
=∑发散。
6．若级数0
n n a +∞
=∑收敛，则级数（ D ）
（A ）0
n n a +∞=∑收敛；（B ）0
(1)n
n n a +∞=-∑收敛；（C ）10
n n n a a +∞
+=∑收敛；（D ）1
2n n n a a +∞
+=+∑
。
7．设1
n n u +∞
=∑收敛，则以下级数中收敛的是（ D ）
（A ）1(1)n
n n u n +∞
=-∑；（B ）2
1n n u +∞=∑；（C ）2121()n n n u u +∞+=-∑；（D ）11
()n n n u u +∞
+=+∑。
8．设1
n n a +∞
=∑为正项级数，则下列命题正确的是（ B ）
（A ）若lim 0n n na →+∞
=，则级数1
n n a +∞
=∑收敛；
（B ）若存在非零常数λ，使得lim n n na λ→+∞
=，则级数1
n n a +∞
=∑发散；
（C ）若级数1n n a +∞
=∑收敛，则2lim 0n n n a →+∞
=； （D ）若级数1
n n a +∞
=∑发散，则存在非零常数λ，使得lim n n na λ→+∞
=。 9．设0n u ≠，（1,2,n =L ），且lim
1n n
n
u →+∞=，则级数11111(1)()n n n n u u +∞
+=+-+∑（ C ） （A ）发散（B ）绝对收敛（C ）条件收敛（D ）不能判定
二．填空题
1．若11
=∑∞=n n a ，则111
()2n n n a a a ∞
+=+=-∑．
2．2
2
13
14n n ∞
==-∑
． 3．设}{n S 为级数∑∞
=1
n n a 的部分和数列，且∑∞
=1
n n S 收敛，则1
0n n a ∞
==∑．
4．
2____________
111111
()123234(2)(1)22n n n n n
+++=-⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯-L 5．2
_______________
1
ln(1)ln(1)1
[(1)ln(1)][ln ]2ln 2
n
n n n n n n n ∞
=+++=
++∑
三．计算题
1．判别下列正项级数的敛散性： （1）(1)112
n
n n ∞
+-=∑
．
解：1
)1(212
1--+≤
n n n
Θ
，∴级数收敛．