系统识别 第8章

，
1 (k ) u1 (k ) (k ) u ( k ) 2 2 . . U (k ) ， (k ) . . . . ( k ) u ( k ) r m
（8.1.11） （8.1.12） （8.1.13）
（8.1.14）
8.2
松弛算法
设系统的差分方程为
Leabharlann Baidu
a( z 1 )Y (k ) B( z 1 )U (k ) (k )
（8.2.1）
假定 { (k )} 是相关随机序列，则可用形成滤波器模型表示为
c( z 1 ) (k ) (k )
把 k=n+1~n+N 代入式（8.1.6） ，可得 N 个方程。 令式中 Yj ， j (k ) ，U(k-i), （8.1.6）
jT , H j 分别用向量形式表示
则式（8.1.6）可写成向量-矩阵形式
Yj H j j j
（8.1.7）
用最小二乘法可得 j 的一致性和无偏估计，即
下面讨论{ (k ) }为零均值、同分布的不相关随即向量序列的最小二乘法估计。 下面把 B( z 1 ) 中的参数一行一行地进行辨识。 式中（8.1.2） aiY (k i) 和 BU (k i) 可写成 i
b1i1,b1i 2 ...b1ir u1 (k i ) y1 (k i ) b b ... b u ( k i ) y (k i ) 2 i 1, 2 i 2, 2 ir , 2 2 . . ， BU aiY (k i ) ai . (k i ) i . . . . . ym (k i ). u ( k i ) b b ... b r mi1, mi 2, mir ,
（8.2.2）
式中 { (k )} 是独立的高斯随机序列，具有零均值和形同的协方差矩阵 R，并且
c( z ) 1 ci z i
1 i 1
q
（8.2.3）
用模型
a( z 1 )Y (k ) B( z 1 )U (k ) e(k )
进行参数辨识，其中
（8.2.4）
a ( z ) 1 ai z i
把式（8.1.2）中的第 j 行可写成
y j (k ) a1 y j (k 1) ... an y j (k n) b j 01u1 (k ) b j 02u2 (k ) ... b j 0 r ur (k 1) b j11u1 (k 1) b j12u2 (k 1) ... b j1r ur (k 1) ... b jn1u1 (k n) b jn 2u2 (k n) ... b jnr ur (k n) j (k )
式中
（8.1.2）
a( z ) 1 a1 z ... an z
1 1
1
1
n
1 ai z i
i 1 n n
n
（8.1.3）
B( z ) B0 B1 z ... Bn z
需要辨识的参数数目为 n+(n+1)mr
Bi z i
i 0
（8.1.4）
K j ( N 1) PjN hj ( N 1) [1 hT j ( N 1) PjN hj ( N 1) ]1 Pj ( N 1) PjN PjN hj ( N 1) [1 hT j ( N 1) PjN hj ( N 1) ]1 hj ( N 1) PjN PjN (H T jN H jN )1
如再获得新的观测值 y j ( N n 1) 和 U ( N n 1) ，则又增加一个方程
y j ( N 1) hj ( N 1)T j j ( N 1)
则可得递推公式
（8.1.10）
j ( N 1) jN K j ( N 1) [ y j ( N 1) hT j ( N 1) jN ]
第 8 章 多输入-多输出系统的辨识
8.1 多输入-多输出系统的最小二乘法 一个多输入-多输出系统可用下列的典型差分方程来表示，即
Y (k ) a1Y (k 1) ... anY (k n) B0U (k ) BU 1 (k 1) ... BnU (k n) (k )
b1i1,b1i 2 ...b1ir b b ... b 2i1, 2i 2, 2ir , . , i 0,1,..., n Bi . . bmi1,bmi 2, ...bmir ,
式（8.1.1）可以写成
a( z 1 )Y (k ) B( z 1 )U (k ) (k )
（8.1.1） 式中 Y(k)为 m 维输出；U(k)为 r 维输入， (k ) 为 m 维噪声； a1 , a2 ,...an 为待辨识的标量参 数； B0 , B1, ...Bn 为待辨识的 m r 矩阵。即
y1 (k ) y (k ) 2 . Y (k ) . . y ( k ) m
j ( H T j H j )1 H T jYj
下面给出递推算法。 上面根据 N 次观测得到 j ，现把 j ， Yj ， H j 和 j 改写成 jN , Y jN , H jN , jN 则 jN ( H T jN H jN )1 H T jN YjN （8.1.9）