第二章 基本初等函数

第二章 基本初等函数 （一）基本知识回顾
1.指数与指数运算
（1 (0)|| (0)
n n
a a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩.
（2）分数指数幂：n m
n
m a a
=， n
m
n
m a
a
1
=
-
，),,0(+∈>N n m a .
（3）分数指数幂的运算性质：当a>0时，有： ①n
m n m a a a +=⋅， n m n m n m a a a a
a --=⋅=； ②mn n m a a =)(； ③n n n
b a ab =)(.
2.对数与对数运算
（1）定义：)10(log ≠>=⇔=a a N x N a a x 且.
（2）对数的运算性质：①01log =a ； 1log =a a . ②对数恒等式:N a
N
a =log ；
b a b a =log .
③运算法则:N M N M a a a log log )(log +=⋅；N M N
M
a a a log log log -=；M n M a n a log log =. ④换底公式:a
b b
c c a log log log =； b m
n
b a n a m log log =； 1log log =⋅a b b a .
3.指数函数与对数函数
函数 函数)10(≠>=a a a y x
且
函数)10(log ≠>=a a x y a 且
定义域 R
),0(+∞
值域 ),0(+∞
R
图 像 a<1
0<a<1
a<1
0<a<1
过定点 （0，1）
（1,0）
单调性 增函数 减函数
增函数
减函数
函数值的分布 当x>0时，y>1
当x>0时，0<y<1 当x>1时，y>0
当x>1时，y<0
位置关系
在y 轴右边，底数大的函数图像在上边 （随着底数的增大，图像逆时针旋转） 在x 轴下边，底数大的函数图像在左边 （随着底数的增大，图像顺时针旋转）
4.幂函数
幂函数α
x y =
0<α 10<<α 1>α
在第一象限内的图像
过定点
（1,1） （0,0），（1,1）
（0,0），（1,1）
在),0(+∞上的单调性
减函数
增函数
增函数
奇偶性 当α是奇数时，幂函数是奇函数，当α是偶数时，幂函数是偶函数。

位置关系
在直线x=1的右侧，α越大，图像越高。

5.反函数
(1)反函数的定义域是原函数的值域，值域是原函数的定义域；
(2)反函数与原函数单调性相同，只有单调函数（一一对应的函数）才具有反函数； (3)互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x 对称；
(4)若点(a,b)在原函数的图像上，则点(b,a)在其反函数的图像上.即：a b f b a f =⇔=-)()(1 . 6.函数不等式：（实质是单调性的应用，若)(x f 是),[b a 上的增函数且)()(21x f x f <，则b x x a <<≤21） (1)指数不等式的解法：1）当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>； 2）当01a <<时, ()()()()f x g x a a f x g x >⇔<.
(2)对数不等式的解法：1）当1a >时, )()(0)(log )(log x g x f x g x f a a <<⇔<； 2）当01a <<时, 0)()()(log )(log >>⇔<x g x f x g x f a a . 7.复合函数的解法：（换元法，分解为简单函数求解）
（1）常见的简单函数（图像及性质必须掌握）： 1）一次函数)0(≠+=k b kx y ； 2）二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y ；
3）反比例函数)0(≠=
k x
k
y ； 4）指数函数)10(≠>=a a a y x 且； 5）对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且； 6）幂函数x y =
； 7）幂函数3x y =；
8）绝对值函数x y =； 9）对勾函数)0(>+
=a x
a
x y . （2）复合函数)]([x g f y =（思路：先化简函数解析式，令)(x g t =，)(t f y =转化为两个简单函数求解） 1）一次函数型复合函数：b x kg y +=)(，令)(x g t =，则b kt y +=. 如123+⋅=x
y ，1log 32+⋅-=x y ，1+=x y
2）二次函数型复合函数：c x bg x g a y ++=)()]([2，令)(x g t =，则c bt at y ++=2
.
如4234-⋅+=x x y ，2log )(log 222-+=x x y ，322
4++=x x y ，x x y -++=112. 3）反比例函数型复合函数：)(1x g y =
，令)(x g t =，则t
y 1=. 如212+=x y ，1
1
2++=x x y （分离常数）,11222++=x x y ，122+=x x y
4）指数函数型复合函数：)
(x g a y =，令)(x g t =，则t
a y =.
如x
x
y 22
2-=，x
y 3log )
2
1(=，1
3
-=x y .
5）对数函数型复合函数：)(log x g y a =，令)(x g t =，则t y a log =. 如)2(log 22x x y +=，)13(log 2
1+=x
y ，
x x y -+=11log 2
.
6）x y =型复合函数：)(x g y =，令)(x g t =，则t y =.
如22x x y -=，32+=x y ，x y -=1
（二）应用举例
题型1：指数与对数的化简（公式的应用）
例1、（1）()
[]
2
175.03
43
3
1.016254064.0++-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛----
- （2）log 2
748＋log 212－1
2
log 242－1； （3）(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25 （4）2lg 5＋2
3
lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22
例2、解方程：(1)3log 2=x (2) 32=x
(3)012242=--+x x (4)
x
x
311
39=+-
题型2：指数、对数不等式（单调性的应用） 例3、解下列不等式
（1）3log 2<x （2）42
1
log 2
1<-x （3）02log log 222<-+x x （4）
题型3：比较指数、对数的大小（单调性法，图像法）
例4、（1）已知a ＝133()4-，b ＝14
3()4-，c ＝3
43()2
-，则a 、b 、c 的大小关系为________．
（2）设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，(12)b ＝log 12b ，(1
2)c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系为______．
（3）设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝12
5-，则a ，b ，c 大小关系为________．
题型4：指数、对数函数型函数的定义域 例5、求下列函数的定义域
（1）x y )2
1
(1-=
（2）21)11ln(x x y -++=
题型5：指数、对数函数型函数的值域
例6、求下列函数的值域
（1）x x y 22)21(+-= （2）)176(log 2
2
1+-=x x y （3）]1,4
1
[,5log )(log 21
241∈+-=x x x y
题型6：指数、对数函数型函数的单调性（复合函数的单调性）
例7、求下列函数的单调区间
（1）x
x
y 22
)
2
1(+= （2）)2(log 22x x y -= （3）x x y 22--= （4）1
1
2+=
x y
题型7：指数、对数型函数分类讨论思想（一般分为两类：1>a 和10<<a ） 例8、解不等式)2(log )4(log 2->-x x a a
例9、如果函数)10(122≠>-+=a a a a y x x 且在区间]1,1[-上的最大值是14，求a 的值．(分类讨论）
题型8：掌握这个题目
例10、设函数)12lg()(2++=x ax x f .
（1）若)(x f 的定义域是R ，求实数a 的取值范围；（2）若)(x f 的值域是R ，求实数a 的取值范围
题型9：幂函数的性质 例11、已知幂函数)()(3
22
Z m x x f m m
∈=--为偶函数，且在区间),0(+∞上是单调减函数，则)(x f = .
题型10：指数、对数、幂函数型函数的奇偶性
例12、设函数)()(x x ae e x x f -+=，R x ∈是偶函数，则实数a ＝________. 例13、设ax x f x
2
1
)13(log )(3+
+=是偶函数，则a 的值为________． 题型11：指数、对数、幂函数型函数的图像
例14、函数x
x x
x e e e e y ---+=的图象大致为________．
题型12：综合题目
例15、已知x x f 3log )(=)91(≤≤x ，求2
2)]([)(3x f x f y +=的最大值和最小值.
例16、已知)10)((1
)(2
≠>--=
-a a a a a a
x f x x 且 (1)判断)(x f 的奇偶性；(2)讨论)(x f 的单调性；
(3)当]1,1[-∈x 时b x f ≥)(恒成立，求b 的取值范围．
例17、已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b
2x ＋1＋a
是奇函数．
(1)求a ，b 的值； (2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．
例题补充
1、函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围为________．
2、已知函数
1)391ln()(2+-+=x x x f ，则=+)2
1
(lg )2(lg f f
3、函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈(－∞，1]上y >0恒成立，求a 的取值范围．
4、设函数)(x f 的定义域为D ：}0|{≠x x 且满足对于任意D x x ∈21,，有).()()(2121x f x f x x f +=⋅ （Ⅰ）求)1(f 的值；（Ⅱ）判断)(x f 的奇偶性并证明；
（Ⅲ）如果),0()(,3)62()13(,1)4(+∞≤-++=在且x f x f x f f 上是增函数，求x 的取值范围
5、已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.
(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)若a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．。