小学奥数 5-1-1-2 算式谜(二).教师版

数字谜从形式上可以分为横式数字谜与竖式数字谜，从运算法则上可以分为加减乘除四种形式的数字谜。横式与竖式亦可以互相转换，本讲中将主要介绍数字谜的一般解题技巧。主要横式数字谜问题，因此，会需要利用数论的简单奇偶性等知识解决数字谜问题

一、基本概念

填算符：指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号（包括括号），从而使这些数和运算符号构成的算式成为一个等式。

算符：指 +、-、×、÷、（）、[]、｛｝。

二、解决巧填算符的基本方法

（1）凑数法：根据所给的数，凑出一个与结果比较接近的数，再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少，从而使等式成立。

（2）逆推法：常是从算式的最后一个数字开始，逐步向前推想，从而得到等式。

三、奇数和偶数的简单性质

（一）定义：整数可以分为奇数和偶数两类

（1）我们把1，3，5，7，9和个位数字是1，3，5，7，9的数叫奇数. （2）把0，2，4，6，8和个位数是0，2，4，6，8的数叫偶数.

（二）性质： ①奇数≠偶数.

②整数的加法有以下性质： 奇数+奇数=偶数； 奇数+偶数=奇数； 偶数+偶数=偶数.

③整数的减法有以下性质： 奇数-奇数=偶数； 奇数-偶数=奇数； 偶数-奇数=奇数； 偶数-偶数=偶数.

④整数的乘法有以下性质：

奇数×奇数=奇数；

奇数×偶数=偶数；

知识点拨

教学目标

5-1-1-2.算式谜（二）

偶数×偶数=偶数.

模块一、填横式数字谜

【例 1】 将数字1~9填入下面方框，每个数字恰用一次，使得下列等式成立；

()200724=+÷+-★□□□□□□□现在“2”、“4”已经填入，当把其它数字都填入后，算式中唯一的减数（★处）是 ．

【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，初赛，3试题 【解析】 方法一：首先可以估算四位数的取值范围：四位数不大于()2007913428010+-⨯-=，不小于

()2007198427638+-⨯

-=．显然四位数的千位数字只能是7．再由四位数与2的和能被4整除，

可以确定四位数的个位数字一定是偶数，只能是6或8．若为6，由个位是8而能被4整除的数其

十位数字是偶数，可知四位数只能为7986，而()7986241997+÷=，故只需利用剩下的数凑出10即可．剩下的数字是1，3，5，不能凑出10．所以四位数的个位数字不是6．四位数的个位数字是8时，由个位是0而能被4整除的数其十位数字是偶数，故四位数的十位数字是1、3、7或9．当四位数的十位数字是1时，四位数只可能是7918，而()7918241980+÷=，故只需利用剩下的数凑出27即可．剩下的数字是3，5，6，不能凑出27；当四位数的十位数字是3时，四位数只可能是7938，而()7938241985+÷=，故只需利用用剩下的数凑出22即可．剩下的数字是1，5，6，不能凑出22；当四位数的十位数字是5时，四位数只可能是7658或7958，若为7958，则由()7958241990+÷=，需利用剩下的数凑出17即可．剩下的数字是1，3，6，不能凑出17；若为7658，有

()7658249312007+÷+-=；当四位数的十位数字是9时，四位数只可能是7698，而()7968

241925+÷=，故只需利用剩下的数凑出82即可．剩下的数字是3，5，6，不能凑出82；

故此题只有惟一答案：()7658249312007+÷+-=．算式中唯一的减数是1．

方法二：根据弃九法，7□□□+2+4+□□+★被9整除，而(7□□□+2)÷4+□□-★也被9整除。

所以，后一式乘以4得到7□□□+2+4×□□-4×★被9整除，减去前一式得到3×□□-4-5×★被9整除。所以，★被3除余1，而4和7都已用，则★=1。

【答案】1

【例 2】 将1～9这九个数字分别填入下面算式的空格内，其中有一个数字已经知道，每个空格内只许填一

个数字，使算式成立：==7÷--□□□□□□□□

【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 观察此横式，共三个算式，÷□□□□□、-□□、7-□，要使这三个算式的运算结果相同.由于第

三个算式的减数已经知道，所以选择第三个算式7-□的差作为解题的突破口.因为7-□中被减数可填8和9，所以7-□，的差就可以为1和2这两种情况.

（1）若第三个算式为87-，由于第一个算式÷□□□□□，不论这五个空格内填什么数字，都不能出现商为1，因此第三个算式不可能为87-.

（2）若第三个算式为97-，那么第一个算式为：=÷□□□□□2，即=2⨯□□□□□，从而积的百位数为1，此时还有2，3，4，5，6，8可填，由数字不重复出现可得两位乘数只能为86、83、82、64、62五种取值。

若乘数为86，积为86×2＝172，7已出现，不行； 若乘数为83，积为83×2＝166，6重复出现，不行；

若乘数为82，积为82×2＝164，剩下的5－3＝2，可以，此时有164825397÷=-=-

若乘数为64，积为64×2＝128，剩下的5－3＝2，可以，此时有128645397÷=-=-

例题精讲

若乘数为62，积为62×2＝124，2重复出现，不行.

【答案】164825397

÷=-=-。

÷=-=-或128645397

【例3】1～9这九个数字分别填入下面算式的空格中，每个空格只许填一个数字，使算式成立：

□□□□□□□□□

==

÷÷÷

【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜【难度】4星【题型】填空

【解析】由于三个算式都是两位数除以一位数，所以考虑起来比较困难.

（1）如果1出现在被除数的十位，则每个算式的商最小为2，最大为9.

为了叙述方便，将方格内先填上字母：A B C D E F G H I

÷=÷=÷

①若2

÷=÷=÷=，则三个算式中A＝D＝G＝1，出现重复数字，

A B C D E F G H I

所以三个算式的商不可能都为2.

②3

A B C D E F G H I

÷=÷=÷=，则三个算式中的A、D、G必为1和2，也出现重复数字，所以三个算式的商不可能都为3.

③4

A B C D E F G H I

÷=÷=÷=，则三个算式中的A、D、G为1、2和3，12÷3＝4 24÷6＝4 32÷8＝4

16÷4＝4 28÷7＝4 36÷9＝4

若第一个算式为123

÷，则D与G都不能为2，只能为3，出现重复数字，因此第一个算式为÷，由于4与6都已用过，所以第二个算式不可能为246

164

÷，这时剩下

÷，便为287

3、5、9三个数字没有用过，而这三个数字无法组成商为4的除法算式，因此三个算式的商不可

能都为4.

④ 三个算式的商不可能都为5，否则会出现B＝E＝H＝5，或B、E、H中有为0的，而我们所

使用的数字中不包括0.

⑤若6

A B C D E F G H I

÷=÷=÷=，18÷3＝6 42÷7＝6 54÷9＝6

由于在这三个算式的被除数与除数部分，4重复出现，因此三个算式的商不可能都为6.

⑥若7

A B C D E F G H I

÷=÷=÷=，

14÷2＝7 21÷3＝7 28÷4＝7 42÷6＝7，

49÷7＝7 56÷8＝7 63÷9＝7

由于找不到三个左边数字不重复出现的式子，因此三个算式的商不可能都为7.

⑦若8

÷=÷=÷=

A B C D E F G H I

16÷2＝8 24÷3＝8 32÷4＝8

56÷7＝8 64÷8＝8 72÷9＝8

由于找不到三个左边数字不重复出现的式子，因此三个算式的商不可能都为8．

⑧若9

÷=÷=÷=

A B C D E F G H I

18÷2＝9 27÷3＝9 36÷4＝9 54÷6＝9

63÷7＝9 72÷8＝9 81÷9＝9

由于找不到三个左边数字不重复出现的式子，因此三个算式的商不可能都为9．（2）如果1出现在被除数的个位，则商为3、7、9、13、17、27．

①若3

A B C D E F G H I

÷=÷=÷=，

21÷7＝3剩下3、4、5、6、8、9这六个数字，不可能组成被除数是两位数，

除数是一位数且商为3的除法算式，因此这三个算式的商不可能都为3．

②若7

A B C D E F G H I

÷=÷=÷=，21÷3＝7 56÷8＝7 49÷7＝7

便有2135684977

÷=÷=÷=

③若9

A B C D E F G H I

÷=÷=÷=，81÷9＝9 54÷6＝9 27÷3＝9

便有2735468199

÷=÷=÷=