一道自主招生试题多种解题思路的思考
清华大学自主招生数学试题解析
清华大学自主招生数学试题解析一、引言近年来，自主招生考试逐渐成为高等教育选拔的重要方式之一。
作为中国顶尖的学府之一，清华大学在自主招生中具有极高的影响力和标准制定地位。
数学作为基础学科，是清华大学自主招生考试的重要科目。
本文将对清华大学自主招生数学试题进行解析，探讨其考察内容、特点及应对策略。
二、考察内容1、基础知识：清华大学自主招生数学试题中，基础知识考察占据较大比例。
包括但不限于高中数学中的函数、数列、三角函数、概率与统计等。
2、知识运用：除了基础知识外，试题还注重考察考生对数学知识的运用能力。
例如，通过实际应用题或几何题的形式，要求考生运用数学知识解决实际问题。
3、思维能力：清华大学自主招生数学试题注重考察考生的思维能力，包括逻辑推理、归纳分类、化归等能力。
这类题目通常需要考生灵活运用数学知识，通过猜想、归纳、推理等方式寻找解题思路。
4、创新精神：自主招生数学试题还注重考察考生的创新精神和实践能力。
这类题目通常以开放式问题的形式出现，要求考生从不同角度思考问题，寻找独特的解题方法。
三、特点分析1、覆盖面广：清华大学自主招生数学试题涉及的知识面较广，要求考生具备扎实的数学基础和广泛的知识储备。
2、难度适中：试题难度适中，既考察了考生的基础知识，又对其思维能力、创新能力进行了充分挑战。
3、突出重点：试题突出对重点知识的考察，如函数与方程、数列与不等式、平面几何等，要求考生对重点知识有深入理解和掌握。
4、强调应用：试题强调对数学知识的应用能力，通过设置实际应用题等方式，引导考生数学在实际生活中的应用价值。
四、应对策略1、巩固基础知识：针对清华大学自主招生数学试题中基础知识的考察，考生应注重巩固高中阶段的基础知识，尤其是函数、数列、三角函数等重点内容。
2、提高运用能力：在掌握基础知识的前提下，考生应注重提高对数学知识的运用能力。
通过练习实际应用题、几何题等类型，提高解决实际问题的能力。
3、培养思维能力：考生应在平时的学习中注重培养逻辑推理、归纳分类、化归等思维能力。
无中生有,自主妙解——对一道2019年北大自主招生试题的思考
Җ㊀吉林㊀付庆龙㊀张㊀丽㊀㊀在破解一些数学问题时,经常采用 无中生有 法,借助题目条件巧妙 生出 一些相关的数学模型,利用相关数学模型,使得原问题得以更为有效㊁快捷㊁方便地解决,从而拓展解题思维,提升解题效率．１㊀问题呈现题目㊀(２０１９年北京大学自主招生数学试题)在正方形A B C D 中,K 为әB C D 内一点,满足øK D B ＝øK B C ＝１０ʎ,则øK A D ＝(㊀㊀)．A㊀４５ʎ;㊀㊀B ㊀６０ʎ;C ㊀７０ʎ;㊀㊀D㊀以上错误本题以平面几何中的正方形与三角形为问题背景,根据已知角的度数关系来确定其他角的度数,提问方式简单．但看似一道简单的平面几何问题,实质上还涉及解三角形的相关知识．２㊀解法探究２ １㊀常规思维㊀图１如图１所示,设正方形A B C D 的边长为a ,则知对角线B D ＝２a ．在әK B D 中,由于øK B C ＝１０ʎ,øD B C ＝４５ʎ,可得øK B D ＝４５ʎ－１０ʎ＝３５ʎ,又øK D B ＝１０ʎ,可得øD K B ＝１８０ʎ－３５ʎ－１０ʎ＝１３５ʎ．根据正弦定理,可得B K s i n１０ʎ＝２as i n１３５ʎ,解得B K ＝２a s i n１０ʎ,在әK A B 中,可得øK B A ＝４５ʎ＋３５ʎ＝８０ʎ,根据余弦定理,可得A K ２＝a ２＋４a ２s i n ２１０ʎ－２ˑa ˑ２a s i n１０ʎˑc o s ８０ʎ＝a ２＋４a ２s i n ２１０ʎ－４a ２s i n ２１０ʎ＝a ２,所以A K ＝a ,而正方形A B C D 的边长为a ,则知әK A D 是等腰三角形．又øK D A ＝４５ʎ＋１０ʎ＝５５ʎ,所以øK A D ＝１８０ʎ－２øK D A ＝７０ʎ,故选C ．解题时结合正方形的性质,利用题目条件,通过正弦定理与余弦定理的转化与应用,再借助等腰三角形的性质来处理．本题的实质是借助平面几何知识来考查解三角形的相关知识,把二者加以合理㊁有机组合,从而得以巧妙转化与应用．２ ２㊀无中生圆 如图２所示,根据弦切线定理及其推论,同弧上的弦切角与圆周角相等,结合题目条件øK D B ＝øK B C ＝１０ʎ,可知点A 为әK B D 的外接圆的圆心,从而A D ＝A K ．又øK D A ＝４５ʎ＋１０ʎ＝５５ʎ,所以øK,故选C ．图２解题时巧妙利用题目条件,并根据弦切线定理及其推论(同弧上的弦切角与圆周角相等)构造 圆 ,把问题中的平面几何问题放在 圆 的背景中,借助圆的性质,通过平面几何的相关知识来巧妙转化与处理．无中生 圆 ,破解起来更为简单快捷,也为问题的进一步拓展与变式提供方法．３㊀变式拓展变式㊀在正方形A B C D 中,K 为әB C D 内一点,满足øK D B ＝øK B C ＝α,其中０ʎ＜α＜４５ʎ,则øK A D ＝(㊀㊀)．A㊀４５ʎ;㊀㊀㊀B ㊀９０ʎ－α;C ㊀９０ʎ－２α;㊀D㊀以上错误根据弦切线定理及其推论,同弧上的弦切角与圆周角相等,结合题目条件øK D B ＝øK B C ＝α,可知点A 为әK B D 的外接圆的圆心,从而A D ＝A K ．又øK D A ＝４５ʎ＋α,所以øK A D ＝１８０ʎ－２øK D A ＝９０ʎ－２α,故选C ．根据变式的结论,可知当α＝１０ʎ时,有øK A D ＝９０ʎ－２α＝７０ʎ,即为原自主招生题的答案．两者是特殊与一般的关系．要想真正做到 无中生有 ,必须做到融会贯通㊁ 胸有成竹 ,充分熟练掌握相关知识以及知识的联系与区别,多练习,多揣摩,就能 无中生有,巧妙转化,从而提升数学素养,提高解题能力．(作者单位:吉林省吉林市亚桥高级中学)０１。
关于一道清华自主招生试题想法
关于一道清华自主招生试题想法摘要：自主招生考试数学题目一般比较新颖，综合要求较高，当然，这也切合高中数学课程改革的重点：发展学生的思维能力！笔者根据多年教学经验，选取2009年清华大学自主招生考试中的一道不等式试题，试图从中找到在高考、自主招生、竞赛教学中的结合点。
标签：自主招生，伯努利不等式、函数凹凸性，数学归纳法【原题】设，且，求证：对任意正整数【解题过程】分析一：根据对称性，当时，条件和结论同时取等号，故解决问题可以同时从出发，利用参数思想进行放缩求证。
解法一：令，则反思一：数学无时无刻不向人们展示她的美，对称性则是其中之一，从中间突破构造对称关系实质上也起到了消元的目的。
分析二：从条件中的一次，到结论中的次的过渡有些困难，可以利用结论左边的次来构造解法二：由伯努利不等式：故反思二：伯努利不等式是一个由一次到次放缩转化的一个很好的工具，题目中先构造出，然后通过伯努利不等式进行调整。
分析三：结论也可以视为，这样从结构上更为和谐，此时的左边就可以当做了，右边向着去证就可以了。
解法三：由函数的凹凸性：在上是下凸函数，即故有，所以有分析四：利用权方和不等式将与结合在一起。
解法四：设，则当实数时，或时，有不等式中的等号当且仅当时取得由权方和不等式分析五：含有关的命题在教科书上大部分可以用数学归纳法进行证明。
解法五：当时，，故不等式成立当时假设不等式成立，即不妨设，则且，可设所以从而可得即，的时候也符合综上所述，【解后反思】综合问题解决主要体现中学数学知识的灵活运用，我在平时的教学中有意灌输学生在课外多涉及这方面的知识，目的是健全学生的知识体系，使学生获得思维的整理发展，通过这种结论的使用也能提高学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
当然，回到解决问题的一般套路上，在课堂上学生获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴含的数学思想方法，以及它们在后续学习中的作用，通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数學发现和创造的历程。
从一道自主招生试题的多种解法谈学生科学思维品质的培养
2021年5月1日理科考试研究•综合版• 41 •的结果是一致的.对于加速度随时间均勻减小、加速度随位移均匀 减小等变加速直线运动的问题，由于需要用到微积 分,高中阶段很难严格定量求解.因此,要充分利用图 像面积的物理意义，巧用面积法可以定量求解此类过 程中的位移等物理量.然而很多物理量是面积法求不 出来的，例如加速度随时间均匀减小求位移、加速度 随位移减小求时间等问题，为了避免复杂的微积分运 算，需要采用近似方法求解，那么，取初、末速度的算 术平均值代替平均速度的求法便是常用的方法.然而，这种方法显然是有误差的，有的时候误差 太大就不适用，但是从解决实际问题的角度出发，不 断优化近似求解的方法是非常有必要的，也能充分体 现物理学科的求真务实的学科魅力.在一些无法严格求解的物理问题中，往往考虑的因素越多，问题越复 杂，越找不到严格解，那么就需要回归近似处理的思想求近似解.培养学生运用近似方法处理问题的策略，实际上也是培养学生忽略次要因素、抓住主要矛盾解决问题的物理思想，是培养学生物理素养的一种途径.参考文献：[1] 段绍文.运用图像转化法巧解变加速直线运动问题[J].中学教学参考,2018(17) :53.[2] 许文.几种运动图象的理解与应用[J].理科考试研究，2018,25(11) :41 -44.[3] 王鹏，张季谦.变加速直线运动位移的多法求解[J].中学物理,2017,35(19) :63 - 64.(收稿日期：2021 -01 -21)从一道负主招生武题的多种解法後学生科学思维品质的蟮泰徐平川黎国胜(1.西华师范大学物理与空间学院四川南充637002; 2.成都双流中学四川成都610299)摘要：本文对卓越联盟2012年的一道自主招生考试试题给出了四种繁简不同的解法，并对四种解法作了评析, 最后从核心素养的视角谈了优秀学生思维品质的培养.关键词：自主招生；思维品质；核心素养近年来，为了选拔具有学科特长、创新潜质的优 秀学生到高校学习，国家允许名牌高校开展自主招生 考试.自主招生考试也越来越受到髙中学校特别是重 点高中师生的青睐，纵观多年来各大高校的自主招生 试题，可以发现这些试题不仅重视对学生物理知识功 底的考查，更重视学生科学思维品质的考查.科学思 维作为优秀学生核心素养的重要组成部分，是学生是 否具有发展潜能的重要指标之一.2017年国家公布的 中国学生核心素养发展报告也将学生的理性思维作 为核心素养的重要组成部分.下面以2012年卓越联 盟自主招生考试的一道试题为例，给出第二问的四种 解法，并对这四种解法进行简单的评析，最后谈谈对优生科学思维品质的培养.1试题及四种解法试题一质量为m= 40k g的孩童，站在质量为M = 20k g的长木板的一端,孩童与木板在水平光滑冰面 上以t;。
一道自主招生问题的解法探讨
— ７２ —
同样可得
Ｎｓｉｎθ＝Ｍａ２
Ｎ
Ｍｍｇｃｏｓθ ＝ Ｍ ＋ｓｉｎ２θ
这种解法里关键关键是如何求它们之间的相对
加速度，恰恰是这种方 法，有 些 学 生 非 常 不 熟 悉，甚
至内心非常排斥，有 没 有 类 似 高 考 范 围 内 熟 悉 的 方
法呢？
有，其实只要引入惯性力，就能转化为熟悉的问题． 对 斜 面 ，水 平 方 向
图４ 练习１题图
【练习 ２】如 图 ５ 所 示，为 斜 面 重 合 的 两 楔 块 ＡＢＣ 及ＡＤＣ，质量均为 Ｍ ，ＡＤ，ＢＣ 两面呈水平，Ｅ 为质量等于 ｍ 的小滑块，楔块的倾角为α，各面均光 滑 ，系 统 放 在 水 平 平 台 角 上 从 静 止 开 始 释 放 ，求 两 斜 面未分离前Ｅ 的加速度．
质量为 ｍ 的物块，如图 １ 所 示．物 块 在 下 滑 过 程 中，
对 斜 面 压 力 的 大 小 为 （ ）
Ａ． Ｍｍｇｃｏｓθ Ｍ ＋ｍｓｉｎθｃｏｓθ
Ｂ．Ｍ
Ｍｍｇｃｏｓθ －ｍｓｉｎθｃｏｓθ
Ｃ．ＭＭｍ＋ｇｓｃｉｏｎｓ２θθ
Ｄ．Ｍｍｇｃｏｓθ Ｍ －ｍｓｉｎθ
图１ 题目题图
解析：先看经典解 法，Ｍ 的 加 速 度 大 小 为ａ２，ｍ 的加速度大小为ａ１ 与斜面法线的夹角为α，Ｍ 与 ｍ 各 自 的 受 力 分 析 ，如 图 ２ 所 示 ．
中，如图１所示，已知绳ａｃ 和ｂｃ 与竖直方向的夹角 分别为３０°和６０°，则绳ａｃ 和绳ｂｃ 中的拉力分别为 （ ）
Ａ．槡２３ｍｇ １２ｍｇ Ｂ．１２ｍｇ 槡３３ｍｇ
Ｃ．槡４３ｍｇ １２ｍｇ Ｄ．１２ｍｇ 槡４３ｍｇ
解析：作用在ｃ 点上的３个力平衡，通过构建矢 量 三 角 形 ，如 图 ２ 所 示 ．
多种视角 多种理解 多种解法——对一道自招试题的解题思路分析
38上海中学数学・2019年第10期多种视角多种理解多种解法——对一道自招试题的解题思路分析200241华东师范大学第二附属中学紫竹校区柯新立摘要：笔者从代数式视角、方程视角、函数视角、几何视角、不等式视角岀发，对一道高中自主招生试题的解题思路进行详细分析，并给出了解答.关键词：视角；理解；思路“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，数学试题需要从多角度思考，多方位理解，解题思路才能开阔，游刃有余.题目已知实数满足.r+>+z=l,求^2+y+z2的最小值.本题改编自2018年上海市某重点高中自主招生试卷中的一道题.这道题并不难，但关联的基本知识、基本方法多，思路宽，能从不同角度考查学生运用基本知识、基本方法的能力.题虽易但味隽永，值得品味•笔者从多个角度对这道试题的解题思路进行分析.一、代数式视角首先，容易想到与本题关联的一个乘法公式：(:r+>+z)2=.r2+y+z2+2^+2j/z+2z.r，希望利用实数的平方非负求解，但g+w+zr怎么办？它的范围能确定吗？如果能处理Jcy+yz-\-zx且保留t2+>2+z2,解决问题就有希望.必须跳出这个公式的圈子思考，从项和次数来看，可考虑Q±y)2 =.r'+b士2.ry究竟用哪一个呢？若用完全平方和公式，则有(,r+>+Z)2=^+ y2+z2-\-2.ry~\-2yz~\~2zjc=.r2+>2+[(z+y)' -(.r2+y)]+[(>+z)2-(y+z2)]+C(z+.r)2-(z2=(.r+>)2+(>+z)2+(z+j~)2—(.r2+y+z2),于是.r2+y2+z2=(,r+>)2+ (>+z)2+(z+.r)2—(.r+>+z)2^—(.r+j»+z)2 =一1,—1是最小值吗？若对任意满足・r+y+z=l的实数使得jc2+y2+z2^M o，且存在.t0,y0,z0满足.r0+y0+z0 =l,.r o2+>o2+zo2=M o,则称M。
一道自主招生试题的解法探究
论荟萃]www 2021年第3期中学数学教学参考（下旬>■且sin■时等号成立，即当a=夸，6=v^"，c=亨时等号成立。
在解题过程中，如果出现，W+V等形式，i与^可以用正切函数或余切函数代换；含有V/IZT?的表达式中的x可以用正弦函数或余弦函数代换；含有的表达式中的X可以用正割函数或余割函数代换。
在此基础上通过三角函数相关计算法则来证明不等式。
2.3解析几何问题例3已知P点坐标为(：r，j)且为椭圆義+盖= 1上的一点，试求解A=5x—的最值。
分析：本题采用解析几何的常用方法求解，需要在椭圆上确定两个点，使得直线y=—|的纵截距取到最大值和最小值。
由于纵截距表示为_|，因此纵截距最大时4取得最小值；纵截距最小时4取 得最大值。
除了这种常规的解析几何思路，还可以采 用三角代换的方法进行求解，可以有效避免上述易错 点。
由于椭圆方程的形式类似于Sin2a+c〇S2a=l，因此可以对椭圆表达式进行整理。
解：令：c=4cos a，：y=5sin a，々= 5 X4cos a—4 X 一道自主招生试题的苏代辉（湖北省襄阳市第四中学)摘要：以一道自主招生试题为栽体，从三个方面详细剖析了联想解题法在解题中的应用，旨在为一线师生提供参考。
关键词：北大自主招生试题；不等式；一题多解；背景探究文章编号=1002-2171 (2021)3-0077.-02例1(2019年北大自主招生试题）若a，66R+，求满足不等式\!x z—\f2a x-\-a2 +\!x2~4?.bx+b2^的:c的取值范围。
方法1:根号求和似椭圆，平方两次探本质。
题目的左侧是两个对称的根式求和，从形式上容 易联想到橢圆标准方程的化简过程。
于是采取平方、移项、再平方的方法。
\!x2—\f2a x-\~az+\!x1—\f2bx~\~b1《\/a2~\~b2肖 x2一42ax+a2+x2—\f2 bx~\~b2-\-5sin a=20 W cos(a+子）。
一道自主招生试题的解法探究
（） ３
于（ ） 一９ 是： （ （ １＝ ： ‘ ） ） 一 一
・
４ ２・
中学教研 （ 学） 数
一
道 自 主 招 生 试 题 的 解 法 探 究
●周 志 国 （ 盱眙ｑ学 江苏淮安 ２１ｏ ） － １７ｏ
方法 ２ 待定 系数 法．
题 目 已知数列 ｛ｔ｝ ｛ 满足 。 ＝ 一 Ｃ ，ｂ｝ 。一 ２ 且 ｂ ＝ ａ ６ 又 ｎ ＝ ， ＝ ， 求 数 列 ６ ， ６ ＋ ６， ｌ ２ ｂ ４ 试 ｛ ，ｂ ｝ 。 ｝ ｛ 的通项公 式．
故 ｂ＝ 一 一ｎ＝８ ３ 一 ・ ÷（ ０ ｔ ２・ ３ ２ ． ＋２ ） ”
点评 方法 ｌ 的关键是消元 ， 要求学生从方程
故 ｎ ＝ ”。 ４・ ， ＝ ８・ 一 ２ ． ２ 一１ ３ ｂ ２ ３ ３・
角度认识等式 ， 转化成某一数列连续 ３ 项的递推关
２ 顺 水 推舟 ， 层层 深入．
故 特征值 Ａ ２Ａ ３ 对应 的特 征 向量分 别 为 ＝ ， ＝ ，
已知 多 个数 列杂 糅 的递 推关 系式 ， 数列 通项 求 公式 ， 决这 类 问题 的关键 是能 否准 确把 握递 推关 解
㈧ 一
设 ＝ｍ １ ｒ ２ｍ， ＋ ｔ ， ｎ∈Ｒ， ｔ Ｔ 可得 ｍ ＝ ， ８ ｎ＝一１ ， ４
解 由条 件 。＋＝ 一 一 ６ ， ｎ ２ 得
由式 （ ） 式 （ ） １ ， ２ 得
０ ＝２ 。 １ ・３ ４
，
ｂ ＝｝ 一 一 ， — （ ０＋ ０）
从而 ｂ＋＝ห้องสมุดไป่ตู้一 ２ 口＋） ÷（ ０＋一 】．
ｂ ＝２ ・３ ｇ
一３ ・２ ，
自主招生常见五种试题类型与解析
1.自我发展问题这类问题以学生本人为圆心，以学生的个人成长经历为半径，一般在暖场环节提出，有利于缓解学生紧张情绪，营造良好的谈话氛围。
从历年情况看，不少问题围绕学生入学申请材料中的特色内容展开。
【现场回放】○学生A在材料中提及自己曾就环保问题写过一份调查报告，并有一件相关小发明。
几乎每位教授都以此为切入点提出问题，且并不局限于如何完成这个项目，还涉及完成项目的过程对其个人学习和成长的影响等。
○学生B在材料中提及自己担任学校模拟联合国活动人权委员会主席。
但被问及对人权的理解时，这名学生却答不出个所以然。
○学生C在面试前恶补大学的历史，结果却被问及所在中学校名的来历，该生只能报以苦笑【复习提示】学生可自己或请同学、老师站在读者的立场，按照文本精读的方法，对个人陈述，特别是其中涉及兴趣、特长、所获奖项、特别经历（如创办社团、策划活动、参加大赛、出国交流等）的内容字斟句酌，列出“可能提出的问题”清单，保证自己在个人陈述中浓缩的任何内容，都可以随时应教授要求展开精彩、丰厚的陈述。
对于材料中的定性评价，如“创造力强”、“团队精神强”等，要能举例印证。
【问题链接】○请用一分钟作自我介绍（中英双语）。
○说说你的优缺点。
○与其他同学相比，你的优势在哪里？请说出三个让我校录取你的原因。
○说说你最喜欢的一位中学老师。
○说说高中阶段最让你感动和最让你气愤的事。
○你的人生规划是什么？你的终极目标是什么？○你平时看哪些报刊杂志？你最近在看哪些书？对你影响最大的一本书是什么？○你在高中阶段“小奖不断，大奖没有”，对此怎么看？2. 学校、专业相关问题一般来说，这类问题包括：你选择该高校、该专业的理由及认同感，即是否“我选我爱”；你读该专业有何优势，你对该专业是否感兴趣、了解多少，你在与之相关的中学基础学科的学习是否扎实等，即是否“我选我适”。
【现场回放】○学生A被问及报考某高校的理由，答曰“被贵校良好的学风感召”，教授跟进问该校校训，答曰“不知道”。
初中数学自主招生解题技巧
初中数学自主招生考试通常要求学生具备较高的数学素养和思维能力。
以下是一些解题技巧，供参考：
多做真题。
自主招生考试重视考查学生的基础知识和解题能力，而真题是最好的检验方式。
多做真题可以帮助学生熟悉考试题型和难度，提高应对能力。
掌握基本概念和定理。
数学是一个基础学科，很多问题都离不开基本概念和定理。
掌握基本概念和定理，能够快速理解题目，准确把握解题思路。
熟悉常用公式和方法。
自主招生考试中常常会涉及到一些常用公式和方法，例如平方差公式、因式分解、勾股定理等，学生应该熟练掌握这些公式和方法，能够灵活应用。
注意细节。
在做题的过程中，细节很重要。
要仔细阅读题目，注意计算过程中的符号、单位等细节问题，避免因为细节问题导致失分。
提高解题能力。
解题能力是自主招生考试的关键。
学生应该注重思维训练，多做一些拓展性、创新性的数学题目，提高解题能力和应对能力。
总之，数学自主招生考试需要学生全面掌握数学知识，熟练运用数学方法，提高解题能力和应对能力。
一道自主招生数学试题的多种解法
一道自主招生数学试题的多种解法李多敏【期刊名称】《中学数学月刊》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】1页(P60-60)【作者】李多敏【作者单位】江苏省句容高级中学 212400【正文语种】中文2009年清华大学自主招生数学试题中有这样一道题：x,y为实数，且x+y=1，求证：对于任意正整数这是一道与正整数有关的不等式证明题，而不等式证明在高中数学竞赛及自主招生考试中经常出现，解决这类问题的常用方法有换元法、构造函数法、展开法、放缩法、数学归纳法及利用几类重要不等式，等等．本文拟从多角度、多方位研究此题，给出以下几种方法．证法1 原不等式等价于，由此联想到琴生不等式．构造函数f(x)=x2n，只需证明y=f(x)为下凸函数即可．事实上，f″(x)=2n(2n-1)x2n-2≥0，故y=f(x)为下凸函数．评注该证法从结论入手，对其进行变形、整理，使不等式结构更加对称、和谐，有时会得到意想不到的效果．证法2 由x+y=1知成等差数列，故可借助公差换元．不妨设x≥y，则，则评注该证法从条件入手，由两数之和为定值，从而联想到利用等差中项换元的方法进行处理，从而让人有种耳目一新的感觉．证法3 谈到换元法，证法2借助等差中项进行换元，这里再给出一种常用换元技巧，由x+y=1，联想到sin2α+cos2α=1．若x,y异号(包含一个为零的情况)，则x,y必有一个不小于1，则，不等式成立；否则令x=cos2α，y=sin2α，则令，由此回到证法2．评注三角换元，思路自然，简洁流畅．在证法3完成过程中，笔者进一步又产生了以下三种证法．对于x,y异号，证法3已给出；对于x,y都为正的情况，只需证明一个加强命题：x,y为正实数，且x+y=1，求证：对于任意正整数.证法4 由22n联想到组合数求和，即，故利用排序不等式，对任意k∈N且k≤n，有xn+yn≥xn-kyk+xkyn-k，则，从而(xn+yn)·2n≥2(x+y)n=2，即评注此证法巧妙地利用排序不等式构造了二项式定理展开的通项，最终达到预想的效果.证法5 对加强命题使用数学归纳法．(1)当n=1时，显然成立；当n=2时，；(2)假设n=k，不等式成立，即下面证明，只需证明，即证明2(xk+1+yk+1)≥(x+y)(xk+yk)，即xk+1+yk+1-xky-xyk≥0.而xk+1+yk+1-xky-xyk=(xk-yk)(x-y)≥0．命题得证．证法6 利用柯西不等式证明证法5的第二步．(1)当n=1,2时，已证．(2)假设n≤k，不等式成立.若k为奇数，由柯西不等式得；若k为偶数，由柯西不等式得，故命题得证．评注证法4～6采用加强命题的“欲擒故纵”的思想，达到了以简驭繁，提高解题速度的效果．值得一提的是，对于很多与正整数有关的命题，数学归纳法屡试不爽．。
由自主招生试题引发的思考
由自主招生试题引发的思考前不久各大重点高校纷纷举行了自主招生考试，今年的自主招生在考生范围方面与往年略有不同，那就是部分高校允许高一、高二的优秀生参加，我有幸以高二学生的身份体验了一次。
现在我把自己的心得体会讲出来与大家分享。
从考后媒体披露出来的各大高校的自主招生题目来看，试题除继续突出对考生基础知识和基本能力的考察之外，还体现了如下特点：一、时代性强，其中有许多题目都与时事结合紧密。
比如武大的综合卷以哥本哈根气候大会，考察“国际合作与国家利益”又比如清华大学的语文试题，给了一段材料，提到卫生部发布通知称，电击治疗网瘾技术安全性尚不确切，暂不应用于临床，之后又给出四个关于电击治疗网瘾的报道和评论，要求考生结合社会实际，选择一个角度探讨网瘾，写一篇800字的论述文。
还比如华中科大面试题，“对重庆打黑中，律师李庄制造伪证的行为，你有什么看法？”像这样与时事紧密结合的题目，的确难倒了平时根本没时间看电视和报纸的考生。
二、考试内容广，考查的知识面宽。
比如北京大学的历史试卷中有一题，“请写出除中国外任意五个国家的国庆日以及由来”。
政治哲学题目则考查了不同行业的人对香烟的不同认识。
这些是对课本之外的知识的考察，要求考生的知识面要广阔。
三、题目生活化，紧密结合学生的兴趣点。
北大的考题继去年给周杰伦的《青花瓷》挑语法错误之后，今年一题就是给出一首由SHE的《中国话》改编而成的网络歌曲的歌词，要求根据歌词找出韵脚，再用韵脚中的四个字造句，同时还要考生找出所有动词，选择笔画最少的两个动词造句，用在校园的“宣传语”上。
拿到这样的考题学生会会心一笑，但接着的题目就把娱乐与知识结合起来了，既有趣味性又有使用性，不经意之间考察了考生的能力。
四、文理不分科，体现大综合。
许多高校的自主招生考试不分文理科，这种综合不是我们现行的文综与理综，而是文理大综合，这就对综合能力的要求更高了。
总之，每年的高校自主招生是一块试验田，也是高考的某种风向标。
自主招生考试试卷讲解
自主招生考试试卷讲解自主招生考试是一种选拔优秀学生进入高校的途径，它通常包括笔试和面试两个环节。
笔试部分往往考察学生的学科知识、逻辑思维能力以及解决问题的能力。
面试则更侧重于评估学生的综合素质、沟通能力和个人潜力。
下面，我将为大家讲解自主招生考试试卷的一些常见问题和解题策略。
试卷结构自主招生考试试卷通常包括语文、数学、英语、物理、化学等科目。
每科目的题型可能包括选择题、填空题、简答题、论述题等。
试卷的难度和内容会根据高校的要求和学生的年级有所不同。
解题策略1. 语文：阅读理解是语文考试中的重要部分，考生需要快速浏览文章，抓住文章的主旨和关键信息。
作文部分则需要考生有清晰的思路和良好的语言表达能力，注意文章结构的完整性和逻辑性。
2. 数学：数学考试通常包括代数、几何、概率统计等内容。
解题时，考生需要熟练掌握相关公式和定理，注意审题，避免因理解错误而失分。
3. 英语：英语考试包括阅读理解、完形填空、翻译和写作等部分。
考生需要具备扎实的词汇量和语法知识，同时注意提高阅读速度和理解能力。
4. 物理：物理考试要求考生有较强的逻辑思维和分析能力。
在解答物理问题时，要注意物理概念的准确理解和公式的正确应用。
5. 化学：化学考试涉及化学原理、化学方程式、实验操作等内容。
考生需要掌握化学基础知识，并能够灵活应用到具体问题中。
考试技巧1. 时间管理：合理分配答题时间，避免在某一题上花费过多时间而影响其他题目的作答。
2. 审题：仔细阅读题目，确保理解题意，避免因为粗心大意而失分。
3. 答题技巧：对于选择题，可以先排除明显错误的选项，提高答题正确率；对于简答题和论述题，注意条理清晰，分点作答。
4. 心态调整：保持良好的心态，遇到难题时不要慌张，先做自己擅长的题目，再回头解决难题。
总结自主招生考试是一次全面评估学生能力的机会。
考生需要在平时的学习中打好基础，同时在考试中运用恰当的策略和技巧，才能取得理想的成绩。
希望以上内容对大家有所帮助，祝大家考试顺利！。
张雪明老师自主招生解题思路(上午)
自主招生解题思路（上午课程）01高校自主招生备考指南一、不忘高中以前的数学例如：（2012卓越）如图，半径为5的圆O 中，延长长度为8的弦BC 至E ，使4CE =，作圆的切线EF ，F 为切点，直径MN BC ⊥（M 在BC 的劣弧上），若MF 交BC 于G ，求GE 的长。
二、重视高中现在的数学例如：（2012卓越）已知,{1,2,3,4,5}a b ∈，直线y ax b =+与圆222x y +=，求 （1）直线与圆有交点的概率； （2）直线与圆的交点个数的数学期望。
三、关注高中以后的数学例如：（2012香港大学）（1）求证220(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰；（2）求证2(sin )(sin )xf x dx f x dx πππ=⎰⎰；（3）求20sin 1cos x xdx xπ+⎰。
EM四、关注学校特色及培养理念2010北大自主招生（三校联招）数学部分1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB （25分） 3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分） 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分） 5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分）02解题思路生成～简介一、名词解释T——Tie [taɪ]（联结）L——Link [lɪŋk]（联系）A——Associate [ə'soʃɪet]（联想）Tie（联结）现代汉语词典：结合在一起。
百度：结合，连接。
一道“自主招生”试题的4种典型解法
口 一口 一（ 一力 ） ｉ ， ａ ＝ａ ／ ／ ， ．
相同， 所以： Ｆ ∥ｒ ， 表达 式②得 证 ．
⑧
根据牛 顿第二 定律 ， 引力 Ｆ方 向与 加速 度 口方 向 ３ ）开普勒第 三定 律 ： 是 指绕 以太 阳为焦 点 的椭 圆 轨道 运行 的所有 行星 ， 其椭 圆 轨道 半 长轴 ａ的立方 与 周期 Ｔ 的平方 之 比是一 个常量 ．
ｒ （ １ 一ｅ ｃ ｏ ｓ ） ＋ｅ ｒ ｃ ｏ ｓ ０・ 。 ＋
２ ｅ ￣ － ｓ ｉ ｎ ０・ ＋Ｐ ｒ ｓ ｉ ｎ ０・ 一 ０ ，
直 平 面 内， 如 图 １所示 ． 若 碗 的半 径 为 Ｒ， 细 杆 的长 度 为 Ｒ， ｇ ＞ｍ。 ｇ， 则 连 接 两 小 球 的细 杆 Ａ、 Ｂ 静 止 时与 竖直方 向的夹角 ０的大小 为（ ） ．
（ ｒ —ｒ ｏ 。 ） （ １ －ｅ ｃ ｏ ｓ ） ＋力 ＋
８ ｓ ｉ ｎ Ｏ （ ２ ｔ． ＋ ｒ・ ） 一０ ．
考 虑开 普 勒第 三 定 律 ， 即 一ｋ （ 常） ， 即万 有 引力 常
量 Ｇ一 一 ． ≈６ ． ６ ７ Ｘ１ ０ － ¨ ｍｓ ／ （ ｋ ｇ・ ｓ ｚ ） ．
ａ 、 ａ 分 别 表 示 径 向 加 速 度 和 横 向加速 度大小 ．
２ ）开普勒 第二 定律 ： 在 相等 时 间 内 ， 太 阳 和运 动 中的行星 的连线 所 扫过 的面积都 是相 等 的．
记ｄ Ａ是连 线转过 角度 所 扫过 的 椭 圆的 面积 ，
一
◇
江苏
吴 梦 雷
题目
所 受重 力 大小 分
别 为 ｍＡ ｇ 和 ｇ 的 ２个 小 球 Ａ 和 Ｂ， 用轻 杆 连 接 ， 放 置 在 光 滑 的半 球 形 碗 内． 小 球 Ａ、 Ｂ与 碗 的球 心 ０ 在 同一竖
高校自主招生考试面试问题的思考与对策
高校自主招生考试面试问题的思考与对策华中师范大学第一附属中学卢永平自主招生是普通高考制度的重要补充，是扩大高校自主权、深化高校招生改革的一项重要举措。
通俗地说，自主招生给了高校更多的招生自主权，使高校不再完全按照高考成绩排队录取考生，改变了以往一张考卷定终身的状况，也给那些发展全面、追求卓越、实现自我、敢于挑战的高中生以特别的“出线”平台。
由于文化传统、办学目标和发展定位的差别，高校对人才的评价标准和偏好各有不同，故而在自主选拔录取的具体做法上也必然存在一定的差异。
2016年自主招生考试还不到100天，该如何准备自主招生的面试，如何参加自主招生的面试？面试需要注意什么问题？这些疑问成为众多考生及家长解决的问题。
下面将为大家扼要说明。
一、了解自主招生考试的相关政策及最新动态自主招生考试这一举措在《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010-2020年)》中被再度首肯。
教育部作为教育主管部门，在总体上对各自主招生学校从政策上予以宏观安排管控并也根据近年来的自主招生执行情况进行协调、跟踪和监督。
同时，高校自主招生近年来一直是“两会”或教育专题会议报告的重点和讨论的热点。
为了保证信息公开、测试公平、录取公正等环节的真正实现，在各试点高校，既有法律、政策的鞭策，也有群众和舆论监督。
2015年自主招生考试首次在高考后举行，以往考生为准备自主招生考试而可能对普通高考有冲击的弊病被化解，因而出现了一些变化，如各大高校的报名人数相比往年明显增多，部分院校的考核方式、录取方式也进行了相关调整。
据部分可靠公网发布，截至目前为止，虽然大部分高校的自主招生政策还未出台，2016年会有一些微调，将主要延续去年以来的变化，如取消“校长推荐”、不再仅仅看重年级排名等。
据教育部新规定，要着力解决自主招生中存在的“掐尖”“小高考”等问题。
也因此，去年起高校对自主招生“报名条件”作出重大调整，将只保留“学科特长”和“创新潜质”两个类别。
自主招生数学试题解读
1.2学科性
解 法 一 ：令3xx2x y 1 2， x2y1 y22， ......， x2yn1yn2 (y1,y2,...,yn0) x yn 现证明：y1x 若x y1，则2x 2y1 x2xx2y1y12 y22 y1 y2 依 此 类 推 y 1 y 2 y 3 ... y n x ， 矛 盾 ； 若x y1，同 理 y 1 y 2 y 3 ... y n x ， 矛 盾 . 故x y1，即3xy12 x2x0或3.
可 先 想 到 配 方 将 它 们 联 系 起 来 ， 于 是 想 到 了 ( 求 差 ) 比 较 法 .
证 法 一 ： x2 xy y 2 3( x y 1) x2 ( y 3)x y2 3 y 3
当且仅当x y3 0 2
(x y 3)2 1 ( y 3)2 y2 3 y 3 且 y 1 0 ,即 x 1且 y 1时
显然车站不能设点以西否则每个村庄的人都必须多走点以西的这段路同理车站也不能设在点以东所以车站应该设在与之间车站不论设在之间的哪一点与两村的人在公路上所走的路程之和为常数等于从到的路程既然和两村的人合在一起一定要走这样的一段路就可以不用考虑与于是车站应该设在之间cd和前面一样不论车站设在之间的这段路之间的什么地方和两村的人合起来一定要走与之间这段路所以又可以去掉和而只考虑和的人在之间所走的这段路从上面的分析可以看出车站设在或与之间的任何地方都可以同理若有七个村庄时应建立在点法二
．
考试内容 笔试科目分文理，语数外三科必考，通常理科加考物理化学，文科加考历史政治，考试形式
3+1．也有少量高校在语数外的基础上看考生填报的志愿方向只加考一科，如中国人民大学；也有 极特殊院校考10科满分1000分的，如复旦大学．
自主招生试题中常用的解题策略
自主招生试题中常用的解题策略自主招生数学试题一般有30个题左右，考试时间为三个小时。
考试内容涉及高中数学必修和选修内容。
题型以填空题和解答题为主，重点考查学生的基础知识和基础技能、发散思维和综合解决问题能力。
考试分值主要集中在解答题上，考生要想取得理想的成绩，必须做好解答题，而很多解答题体现了一题多解的方法，其目的在于考察学生的知识的宽度与发散思维能力。
1.一题多解的要求一题多解就是对于同一道题目，可以从多种角度思考，采用多种解题思路，运用不同的方法和技巧来解答。
自主招生数学试题一般难度较大，一题多解的要求是学生要具有扎实的基础知识和深度思维能力，学生才能在解决问题时对所学的知识进行整合，对问题进行多角度的观察和分析，找到每种角度的切入点和突破点。
学生往往认为，做完一道数学题只要得到一个正确的答案就行了，为什么还要应用多种方法来完成一道数学习题呢？我认为，学生能不能应用多种方法解答出一道数学习题与学生的思维宽度和思维深度有关。
因此这就要求教师在平时教学过程中要注重典型一题多解例题的示范，从高起点、科学和规范地引导学生从不同的角度去分析和思考同一个问题，进而拓展学生的知识广度与思维深度。
课后通过一题多解的练习，拓宽解题者的解题思路，促进学生发散性思维水平提高。
2.例谈一题多解的具体应用笔者以2009年清华大学自主招生数学试题题2为例，该题考察的是一个不等式题，也是高考甚至其它高校自主招生考试常考的知识点，具体题目如下：1、设为实数且，求证：对任意的正整数，有。
这道题的难度属于中等，李多敏[1]老师给出了该题6种解答，这里笔者不打算再给出详细解答过程。
仅从李多敏老师的每种解题方法给出个人一点简单评析。
评析解法一、运用函数的知识解决问题。
首先是把要证明的不等式进行简单变形，然后构造一类特殊的函数即凸函数，最后从凸函数性质的角度去分析并解决问题。
函数知识是高中数学的基础，也是高考常考甚至必考的内容。
评析解法二、运用数列的知识解决问题。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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即 ｓ ＋ ｃｓ ： ｓ ＣＳ 令 ｊ ｎ ｏ ｉ Ｏ ， ｎ
Ｓ１ ｎ
ＣＯＳ
・ ・ ・
差ｎ ２ｓ ＿， ｓ２ ２ ３ ｉ ｃ ｚ ０
ｓ （ｘ一 ＝３ ｉ ２ ） ，其中 为锐 ｎ
ｓ ｔＣＳ ：ｔ 由０＜ ＜ ７知 １ ｉ ｚ－ Ｏ ｎ － （ １ ＜ｔ ／ ） ≤、２，
ｓｎｘ ＋ ｃ ｉ ｏｓｘ
－
，
ｓ ｚ （ ＣＳ ～２ ｉ Ｘ ＝ １ 展开并整理得 ｉ ） Ｏ ｎ ３ ｎ ） ． ｓ
４Ｃ Ｓ 一 ７ｓ ｎ Ｃ Ｓ ＝ 一１， … Ｏ。 ｉ Ｏ
‘ ．
…
…
…
…
．
（）
．
２１ ｏ ） ｓ （ ＋ｃｓ ｘ 一 ｉ２ ２ ｎ ｘ＝一１ ，
ｔｎ ＝ ２ Ｏ 且 Ｃ Ｓ ＋ ｃ ｔ ＝ ２ ａ ， ａ ＣＳ Ｏ ｏ ｔｎＸ 两式 相 加得 ｓｎ ＋ ＿ Ｓ ＝ Ｃ Ｓ ｉ Ｃ Ｘ Ｏ Ｏ Ｘ＋ 里ｎ 即 ｓ ＿ ， ｉ ｎｘ—
ｃ０ｓ ＝ —ｌ Ｘ ｓｎ
—
【 解析】 思路一： 若存在这样的 使得 ｓ ， ， ｉｚ ｎ
３ ３ —ｅ
数 学教 学
２１ 年第 ３ ０１ 期
一
道 自主 招生试 题 多种 解题 思路 的思考
２ １ 江苏省无锡市江南大学理学院 谢广喜 １２ ４２
【 试题】（０ ０ ２ １ 年北京大 学 自主招生考试数
三二 一 ＝
，
学卷４是存 ∈，， ｓ， 试第 ） 在 （）得 题否 。 使ｉ 三 ｎ
ｃｔ ｏ 等 差数 列 ． 思路一、二与思路
・
．
．
＝
去ｃ ｇ＋ ａａ ． ａｓ６ｇ ｒｎ ｒｎ ｃ ｉ４ ｔ４ ７
三 的结 果 截 然 不 同， 底 哪 种解 法 是 对 的 呢？错 到
误 的 解法 又错 在 哪 里呢 ？
由 ａｓ ＋ ａａ ∈ 于 ＝ ｒｉ ｃ ｒｎ ｎ ｃ等 ｔ
则 ｔ ｓｎＸＣ Ｓ ＝ ＝ ｉ Ｏ ， ｔ —２ ～１＝ ０ 得 即 ２ ｔ ，
角目 ｔｎ ： ４ ． ａ
・ ． ．
ｓ （ ） ｉ２ ｎ 一 ＝
ｎ ，
，
ｔ ｌ ／， ＝ 士、２ 而这两个值均 不在 １＜ｔ 、２ ／ ≤ ， 中， ／ 故 不 存 在 ０＜ ｚ ＜ ７， 得 ｓｎＸ ＣＳ ， ａ ， ｌ 使 ｉ ， Ｏ ｔｎ ｚ
Ｃ Ｓ ， ａ ， ｏ 为 等 差数 列 ． Ｏ Ｘ ｔｎ ｃｔ
且∈，． 存 （ ） （ ） 以在∈，， ０ 所 ０ 吾
使得 ｓ Ｘ ＣＳ ｔｎ ｃｔ ｉ ， Ｏ ， ａ ，ｏ 为等差数列． ｎ
思 路 三 ： 假 没 存 在 符 合 题 意 的 角 使 得 ｓ Ｘ ＣＳ ，ａ Ｘ ｃｔ 为等差数列， ｉ ，Ｏ Ｘ ｔｎ ，ｏ Ｘ ｎ 则有 ｓ ｉ ＋ ｎ
＿
，
Ｃｏ Ｓ
显 然 ｓ — ＣＳ ≠ ０ ｉ ｎ Ｏ
Ｓｌ ｎ
ＣＳ Ｏ ｚ＝３ Ｏ 一２ ｉ Ｘ 两式相乘得 （ＣＳ ＣＳ ｎ ， ｓ ２ Ｏ Ｘ—
（则 由 意 ＜ ＜薹 只 Ｘ ， 否 ， 题 ０ ，有 ＝ 而
此 时容 易验证 ｓ ， Ｏ ， ａ Ｘ ｃｔ ｉ ＣＳ ｔｎ ， ｏ Ｘ不为等 ｎ 差 数列） 等式两边 同除 以ｓ —ＣＳ 得 １＝ ， ｉ ｎ ＯＸ
，
ｔｎ 一７ ａ ＋５＝ ０ 解 得 ｔ ｎｚ＝ ａ ｔｎ ， ａ
７土 、２ ／９
因此 思路一、思路二 的计算结果相 同， 但却是错
误的， 它并 不 满足 原 问题 的一 个必 要条 件 ＣＳ — Ｏ ｓｎＸ＝ ｃ ｔ ｉ ｏ Ｘ～ｔｎ ．那 么 问题 出 在 哪里 呢？原 ａＸ
ＣＳ ，ａ ，ｏ 为 等 差数 列 ， Ｏ Ｘ ｔｎＸ ｃｔ 则应 有
ｆ Ｓ ＝ｓ ＋ ａｘ Ｃ ｉｘ ｔ ２ＯＸ ｎ ｎ，
【 ｔｎ ２ａ ＝ＣＳ ＋ｃｔ ， ＯＸ ｏｚ
于是 有 ｔｎＸ＝ ２ＣＳ ａ ｚ—ｓ ，ｏ Ｘ＝ ２ ａ — Ｏ ｉ ｃｔ ｎＸ ｔｎ
ＣＯＳ Ｘ
ｔｎ ｃ ｔ 为 等 羞 数 歹 （ 筒 法 见 爹 考 又 瞅 【Ｊ． ａ ， ｏ Ｕ此 竿 １Ｊ
鼠 路 一 ：同 恩 潞 一 可 得 ４ｃ ｓ －７ｓｎ Ｃ Ｓ ０ ２ｘ ｉ Ｏ
： 一
以上三种解法 的基本思路都是： 首先假设存
（）以在∈，＇ ｓ，ｘ 。 ，存 （） ｉｃ， ， 所 。 ｛ ｎｏ 吾 ７￣ ｘｓ
２ １ 年第 ３ ０１ 期
数 学教 学
。ｌ ３
圆锥 曲线 中的 一个 定值 性 质
２１ １ 华东师范大学附属枫泾艺术中学 干志华 ００ ５
文 ［ 介绍了圆锥曲线的一 个统一定值性质， １ ］
其椭 圆情 形 如 下： 性 质 ｌ 设 Ｂ是 椭 圆 ２＋ ｘ
性 质３ 给定椭 圆Ｅ ：ｒｊ ＋ ０ ＝１ ｎ＞ｂ＞ （ ０ ， ｍ，）＂ ≠ ０ｍ ≠ 士０ 是 轴上的一定 ） Ｆ（ ０ （ ） 点 点 Ｆ任 意 引一 条直 线交 于两 点 、Ｊ， 过 Ｅ ； 是 Ｅ上 异 于 、Ｂ 的任 一 点． 线 ＰＡ、ＰＢ分 别 直
但 ∈，吨…一ｚｏ 当 ［ ）ｃ ｓ≤ｔ ｉ ， ｎ …
ＣＳ ＞ ０ Ｏ Ｘ ，故 Ｃ Ｓ — ｓ ： ｔｎ — Ｃ Ｓ Ｏ ｉ ｎ ａ Ｏ Ｘ不
故 应
ｎ ＝
铖
叭 …
＝
因在于 由问题列出的两个等式变化到 （） 式是一 个不等价的变换过程， 后者的 白变量取值范 围变 大 了， 句话说， 木式 只是原问题成立的必要不 换 （）
１ 即 ｓｎ０ 一 ７ｓｎＸＣ Ｓ ＋ ５Ｃ Ｓ ｉ ｉ Ｏ Ｏ ２
＝
在符合题意的角， 然后在基本概念 （ 等差数列、 三 角 函数 等） 背景 下 经 过 一 系 列 化 简 得 出结 的
论． 笔者认为这样 的解题 思路都没有问题． 由于
０ 则 ，
２
ｓ ＋ａａ ＝ｒ ｉ ＿ｃ 等 ａ ｎ １ｔ ｎ ｃ ｒ