材料力学 第三章 扭转(上) 高等教育出版社精品PPT课件

拧紧螺母的工具杆将产
生扭转。
工 程 实 例
传动轴
传动轴将产生扭转
工 程 实 例
§3–2 薄壁圆筒的扭转
M
δ
M
薄壁圆筒：壁厚 r 0 10
（r0：为平均半径）
如果把薄壁筒用任意截面截开，保留其中一段，由截面法可 以知道，截面上的内力将是作用在该截面上的力偶。该力偶 就称为扭矩，用T表示。
扭矩来自于截面上的应力，显然，正应力与截面垂直，不可 能合成截面上的力矩，所以扭矩只可能来自于截面上的切应 力。
G
E 2(1
)
（推导详见后面章节）：
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量 就可以推算出来。
§3–3 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩
工程中一般已知传递轴的传递功率P和转速n，需要求外力偶
矩的M。 TB
1 TC 2 TA 3 TD
B 1 C 2A 3D
依据：当轴稳定转动时，外力偶在t秒内所做的功等于其矩M
若构件变形以扭转为主，其他变形可以忽略，则可按照扭转 变形来进行构件的强度和刚度计算。
对于等直圆杆，因为物性和横截面的极对称性，就可以用材 料力学方法求解。对非圆截面杆，由于横截面不存在极对称 性，其变形和横截面上的应力都比较复杂，就不能用材料力 学的方法求解。
工 程 实 例
工
程
实
例
当两只手用力相等时，
与轮在t秒内的转角α的乘积。 PtM
{ P } k W { M } N m { { t } } r s a d 1 0 3 { M } N m 2 { n 6 } r 0 / m i n 1 0 3
{M}Nm9.55103{{nP}}r/km W in
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
扭矩图的绘制步骤：
1、计算各外力偶的大小（已知功率和转速）； 2、将各外力偶采用右手螺旋法则定出方向；
3、取各控制截面，预设扭矩（内力偶）为正方向，列平衡 方程，计算扭矩的大小；如果计算得到的扭矩为正，表明扭 矩方向与预设方向一致；如果计算得到的扭矩为负，表明扭 矩方向与预设方向相反。
G
上式称为材料的剪切胡克定律。
G称为材料的切变模量（剪切模量），其量纲与弹性模量 相同，单位为Pa。不同材料的G值可通过实验确定，钢材 的G值约为80 GPa
三、剪切胡克定律：
T=m
剪切胡克定律： 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp)， 剪应力与剪应变成正比关系。
G
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的 三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在关系：
切一刀，留一段，代内力，列平衡
M
M
M x0
TM 0ຫໍສະໝຸດ Baidu
T M
x
M
T
受扭构件的内力矩如何？ 截面法
M
T
e
M
T
e
T
Me
T
根据平衡，截面上有内力矩T—扭矩
由此确定扭矩及外力矩的力矩矢方向
Me 是外力矩 根据右手定则确定力 矩矢的方向
力矩矢方向
力矩旋转方向
3 扭矩的正负号规定 按照右手螺旋法则， 扭矩矢量的指向与 截面外法线方向一 致为正，反之为负。
AdAr0 T
τ为常量
r 0 A d A r 0 2r 0 T
2Tr022AT0
A0：平均半径所作圆的面积。
三、剪切胡克定律：
通过实验发现，当外力偶矩在某一范围内时，相对扭转角 φ与外力偶矩（数值上等于扭矩T）成正比，就是说
又因为 所以
T
l/r T 2A0
引入比例系数G，得到
§3–1 概 述
杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴 线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线产生相对转动， 这种受力与变形形式称为扭转（torsion）。
以扭转为主要变形的杆件称为轴。
A
B O
A
BO
m
m
§3–1 概 述
单纯发生扭转变形的杆件不多。但是以扭转为主要变形之一 的杆件则不少。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
相对扭转角（）：任意圆筒左右两端截面之间相对转动的
角位移。
切应变（）：圆筒表面上每个矩形格子的直角的改变量。
4. 与 的关系：
l r
r l
因为圆周线大小不变，且相临两圆周线间的每个格子的直角 改变量相等，根据材料的均匀连续性假设，可推知：沿圆周
各点处切应力τ与圆周相切，且其数值相等。
由于薄壁筒壁厚δ远小于其半径r0，故可近似认为沿壁厚方 向各点处切应力的数值无变化。 因此，薄壁筒扭转时，横截面上任意一点处的切应力τ都相 等，其方向与圆周线相切。并且，由横截面上的切应力τ合 成扭矩T。
二、薄壁圆筒切应力 的大小：
AdArT
因为δ<< r0,所以r ＝ r0
力矩矢方向
力矩旋转方向
MT e
MT e
TM e
扭矩矢量
T n
截面
截面外法线
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目 ①为了表明沿杆轴线各横截面上的扭矩变化规律；
的 ②为了确定|T|max值及其所处截面位置 （危险截面）提供方便。
为强度计算
T
T
x
x轴表示轴向截面位置，y轴表示扭矩大小，正 扭矩画在x轴上侧，负扭矩画在下侧，并标明 正负号和大小。
第三章 扭 转
§3–1 概述 §3–2 薄壁圆筒的扭转 §3–3 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图 §3–4 等直圆杆扭转时的应力 ·强度条件 §3–5 等直圆杆扭转时的变形 ·刚度条件 §3–6 等直圆杆扭转时的应变能 §3–7 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形 §3–8 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力和变形
§3–3 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
M7.02P4(KNm) 其中：P — 功率，马力（PS）
n
n — 转速，转/分（rpm）
1PS=735.5N·m/s ,
1kW=1.36PS
主动轮上外力偶与轴的转动方向相同，从动轮上外力偶 与轴的转动方向相反。
二、扭矩及扭矩图
1 扭矩：构件受扭时，作用在横截面上的内力偶矩，记作 “T”。 2 截面法求扭矩
§3–2 薄壁圆筒的扭转
为了研究沿横截面圆周上各点处的切应力变化 规律，先做一个实验。
一、实验：
m
1.实验前：
m
①绘纵向线，圆周线；
②在薄壁圆筒两端施加 一对外力偶 m。
2. 实验后： ①圆周线保持不变； ②纵向线变成斜直线。
3.结论：①圆筒表面各圆周线的形状、大小和间距均未改变， 只是绕轴线作了相对转动。