实习五-ANOVA及双因素方差分析
双因素试验方差分析
F0.053,64.76 F0.012,610.92
F BM SBM SE29.10
F 0 .0 53 ,6 F AF 0 .0 13 ,6 FBF0.012,6
结论：工人对产品的产量有显著影响， 机器对产品的产量有极显著影响。
双因素试验方差分析
例1的上机操作
原始数据，行因素水平，列因素水平
对应例1 的数据输入方式
Xa11
Xa21
...
Xab1
Aa
...
...
...
...
Xa1n
X ... 双因素a试2验n方差分析
Xabn
双因素（有重复）试验方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方和
F值
F 值临介值
因素A S S A 因素B S S B
d fA
MSA
SS A df A
FA
MSA MSE
d fB
MSB
SSB dfB
双因素试验方差分析
双因素试验方差分析
双因素试验方差分析
工人对产品产量有显著影响，而机器对产品产量的影响极显著。
（A）
*
（B）
**
0.010.0220.05 在 0.01下接受，在 0.05下否决
0.0010.01
在 0.01下否决
双因素试验方差分析
➢ 有交互作用的双因素试验的方差分析
有检验交互作用的效应，则两因素A，B的不同水 平的搭配必须作重复试验。
➢ 有交互作用的双因素试验的方差分析
线性统计模型 X ijkij ij ijk
其中
1
ab
a i1
b
ij
j 1
所有期望值的总平均
i
补充：双因素方差分析
品牌因素 品牌1 品牌2 品牌3 品牌4
地区因素 地区1 365 345 358 288 地区2 350 368 323 280 地区3 343 363 353 298 地区4 340 330 343 260 地区5 323 333 308 298
数据结构
分析步骤
ij
x
2
xi. x x. j x xij xi. x. j x
2 k r 2 k r i 1 j 1 i 1 j 1
2
SST = SSR +SSC+SSE
分析步骤
(构造检验的统计量)
计算均方(MS)
误差平方和除以相应的自由度
双因素方差分析
(two-way analysis of variance)
1. 分 析 两 个 因 素 ( 行 因 素 Row 和 列 因 素 Column)对试验结果的影响 2. 如果两个因素对试验结果的影响是相互独 立的，分别判断行因素和列因素对试验数 据的影响，这时的双因素方差分析称为无 交互作用的双因素方差分析或无重复双因 素 方 差 分 析 (Two-factor without replication)
i 1 j 1 k r
2
SSE xij xi. x. j x
i 1 j 1
2
分析步骤
(构造检验的统计量)
总误差平方和(SST )、行因素平方和 (SSR)、
列因素平方和(SSC) 、误差项平方和(SSE) 之 间的关系
x
k r i 1 j 1 k r i 1 j 1
• •
H0：m1=m2=m3=m4 (品牌对销售量无显著影响) H1：mi (i =1,2, … , 4) 不全相等 (有显著影响)
anova方差分析
anova方差分析方差分析（Analysis of variance，简称ANOVA），是一种常用的统计分析方法，主要用于比较多个样本或组之间是否存在显著差异。
ANOVA可以用来检验不同组之间是否存在平均值的差异，并判断这些差异是否有统计学意义。
本文将介绍ANOVA的基本原理、假设检验以及实施步骤。
一、ANOVA的基本原理ANOVA是通过比较组内变差与组间变差的大小，来判断各组均值是否存在显著差异。
具体而言，方差分析将总体变异分解为组内变异和组间变异两个部分，然后计算F值来评估组间变异是否显著大于组内变异。
二、ANOVA的假设检验在进行ANOVA分析时，需要明确研究者所关心的各组的均值是否存在差异。
下面是ANOVA假设检验的具体表述：- 零假设（H0）：各组均值之间不存在显著差异。
- 备择假设（H1）：各组均值之间存在显著差异。
根据零假设和备择假设，可以使用F检验或方差分析表来进行ANOVA的假设检验。
三、ANOVA的步骤进行ANOVA分析时，一般需要按照以下步骤进行：1. 收集数据：收集各组的样本数据，并确保数据的准确性和可靠性。
2. 建立假设：根据研究目的和问题，明确零假设（H0）和备择假设（H1）。
3. 计算统计量：根据数据计算ANOVA所需的统计量，例如组内均方、组间均方和F值。
4. 选择显著性水平：确定显著性水平（通常为0.05），用于判断是否拒绝零假设。
5. 比较F值和临界值：通过比较计算得到的F值和临界值，判断组间是否存在显著差异。
6. 做出结论：根据统计结果，对研究假设进行结论判断，并进行进一步的数据解读和分析。
四、ANOVA的应用领域ANOVA作为一种常用的统计方法，广泛应用于各个领域的研究中。
以下是一些典型的领域：1. 医学研究：用于比较不同药物或治疗方法的效果是否显著不同。
2. 教育研究：用于测量不同教学方法对学生学习成绩的影响。
3. 工程研发：用于评估不同工艺参数对产品质量的影响。
anova方差分析
anova方差分析在数据分析领域中，ANOVA（方差分析）是一种用于比较多个组之间差异的统计方法。
通过ANOVA，我们可以确定不同组之间是否存在显著的差异，并进一步确定这些差异是否是由于随机因素引起的。
本文将介绍ANOVA的基本原理、应用场景以及如何进行方差分析。
一、ANOVA方差分析的基本原理ANOVA方差分析是通过对组内变异与组间变异之比进行统计，来评估多个组之间是否具有显著差异。
其基本假设是：各组观测值来自于正态分布的总体，并且各组的方差相等。
方差分析基于方差分解原理，将总体方差分解为组间变异和组内变异。
组间变异反映了不同组之间的差异，而组内变异则是组内观测值的变异。
ANOVA的目标就是确定组间变异与组内变异之间的比例是否显著，从而判断各组之间是否存在显著差异。
二、ANOVA方差分析的应用场景ANOVA方差分析广泛应用于实验设计和数据分析领域。
以下是几个常见的应用场景：1. 实验设计：ANOVA可以用于评估不同处理组间的差异是否显著，例如药物疗效的比较、不同教育方法的效果等。
2. 市场调研：在市场调研中，可以使用ANOVA来比较不同市场细分（如不同年龄组、性别、地区等）之间的差异，以了解不同市场细分对产品偏好的影响。
3. 生物医学研究：医学研究中常常需要比较不同治疗方法或不同药物对实验组的影响，ANOVA方差分析可以用于评估不同处理组之间的差异。
三、如何进行ANOVA方差分析进行ANOVA方差分析通常包括以下几个步骤：1. 收集数据：根据实际需求，收集各组的观测数据。
2. 建立假设：明确研究的假设，包括原假设（各组之间无显著差异）和备择假设（各组之间存在显著差异）。
3. 计算统计量：根据ANOVA公式，计算组内均方、组间均方以及F值。
F值反映了组间变异与组内变异之间的比例。
4. 判断显著性：使用统计软件或查找F分布表，计算F值对应的显著性水平。
如果P值小于设定的显著性水平（通常为0.05），则拒绝原假设，认为各组之间存在显著差异。
实习五ANOVA及双因素方差分析
练习5.2分析:
壹
处理因素：即研究的主要因素，为不同 时期（变量名：time）；
贰
配伍因素：不同患者治疗前、中、后期 各时点血液中粘蛋白含量不同，即研究 对象的不同。
操作步骤：从analyze-普通线性模型（GLM）-进入，见下图。
因变量 固定变量
自定义方差分 析模型
随机因素变量
协变量:与自变量和因变量可能有关系的连续性变量 加权最小二乘法的权重系数
各样本方 差相等（方 差齐性检 验） 。
05
单因素方差 分析
06
(成组设计的 多个样本均 数比较)
统计量F 的计算及其意义
F=MS组间/MS组内 自由度： 组间=组数-1 组内=N-组数 通过这个公式计算出统计量F，求出对应的P值，与 进行比较，做出推论。 如果p> ，说明得到大于现有统计量F值的可能性p大于 ，不属于小概率事件，则不拒 绝H0，差别无统计学意义，结论是各总体均数相等。 如果p≤ ，说明得到等于或大于现有统计量的可能性p小于 ，可判断为小概率事件，则 拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义，结论是各总体均数不相等。
SPSS操作步骤：
选入需要分析的变量
○ 对均数的变动趋势进行检 验；
○ 定义根据研究目的需要进 行的某些精确两两比较
选入需要比较的分组因素(only one)
练习5.1因变量和因素变量分别选入：
定义是否在方差分析中进行趋势检验
用于选择各组间进行两两比较的方法
提供了当各组方差齐时可用的两两比较的方法： 运用最广泛 最敏感,每组之间都比较
将结果整理成方差分析的步骤和方法
一．建立检验假设（根据问题检验处理因素或配伍因素） 二．确定检验水平 三．计算检验统计量F值，并将方差分析的结果整理成表格形式（方差
双因素方差分析【最新】
双因素方差分析一、双因素方差分析的含义和类型（一）双因素方差分析的含义和内容在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。
例如上一节中饮料销售量的例子，除了关心饮料颜色之外，我们还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因，采用不同的推销策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地区继续深入人心，保持领先地位，在市场占有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解，接受该产品。
在方差分析中，若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A，饮料的销售地区看作影响因素B。
同时对因素A和因素B进行分析，就称为双因素方差分析。
双因素方差分析的内容包括：对影响因素进行检验，究竟一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，或是两个因素的影响都不显著。
双因素方差分析的前提假定：采样地随机性，样本的独立性，分布的正态性，残差方差的一致性。
（二）双因素方差分析的类型双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。
例如，若假定不同地区的消费者对某种品牌有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景；否则，就是无交互作用的背景。
有交互作用的双因素方差分析已超出本书的范围，这里介绍无交互作用的双因素方差分析。
1.无交互作用的双因素方差分析。
无交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；2.有交互作用的双因素方差分析。
有交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。
例如，若假定不同地区的消费者对某种颜色有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景，否则，就是无交互作用的背景。
二、数据结构方差分析的基本思想：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
两因素方差分析的步骤
两因素方差分析的步骤双因素方差分析的基本思想：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
双因素方差分析（Two-way ANOVA）有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B 的结合会产生出一种新的效应。
分析过程：一.陈述假设三个部分：1.因素A的主效应。
2.因素B的主效应。
3.因素A和因素B之间的交互作用。
二、方差分析的准备1.有关统计量的计算2.自由度的计算：因素A的自由度，因素B的自由度，交互作用的自由度，处理内的自由度3.确定显著性水平：应分别对三个假设确定显著性水平4.确定临界值三、F统计量的计算1、和方分解（第一阶段：将总体和方分解为处理间的和方与处理内的和方两部分。
第二阶段：将上一阶段所得的处理间的和方继续分解为因素A的和方、因素B的和方以及交互作用的和方。
）2、计算均方3、计算F统计量的观测值4、作出方差分析表5、画出交互作用图四、得出检验结论分析策略小结：1. 先做两因素方差分析确定是否有交互作用a) 如果没有交互作用，看主效应的差别是否有统计学意义：若有统计学意义，考察相应的样本均数，确定哪种情况的均数高。
b)如果有交互作用，则不能分析主效应。
而化为单因素的方差分析(组数为各个因素的水平数之和)，作两两比较。
2. 在有交互作用的情况下，通过计算样本均数确认交互作用为协同作用还是拮抗作用。
双因素方差分析的前提假定：采样地随机性，样本的独立性，分布的正态性，残差方差的一致性。
5. 方差分析(ANOVA)
均数两两比较方法
结果分析
仍以例1为例，LSD法的输出格式：
均数两两比较方法
结果分析
仍以例1为例，SNK法的输出格式：
该方法的目的是寻找同质子集，故各组在表格的纵向上，均 数按大小排序，然后根据多重比较的结果将所有的组分为若干 个子集，子集间有差别，子集内均数无差别。
均数两两比较方法
结果分析
3. 组内变异（within group variation )：每组的 每个测量值 X ij与该组均数 X i 的差异
可用离均差平方和反映变异的大小
6
1. 总变异: 所有测量值之间总的变异
程度，SS总
SS T ( X ij X )
i 1 j 1
k
ni
2
总 N 1
2．组间变异：各组均数与总均数的离
方差分析（ANOVA）
n4
n3 n2
n1
Y4
Y3
Y2
Y1
例子：某研究者在某单位工作人员中进行了体重指 数（BMI）抽样调查，随机抽取不同年龄组男性受试 者各16名，测量了被调查者的身高和体重值，由此按 照BMI=体重/身高2公式计算了体重指数，请问，不 同年龄组的体重指数有无差异。
18~岁 21.65 20.66 … … 18.82 16 22.07 8.97 30~岁 27.15 28.58 … … 23.93 16 25.94 8.11 45~60岁 20.28 22.88 … … 26.49 16 25.49 7.19
我们选择正确的趋势分析模型。
均数两两比较方法
通过以上分析得到了拒绝H0的结论，但实际上单因素方差分 析并不这样简单。在解决实际问题时，往往仍需要回答多个 均数间到底是哪些存在差异。虽然结论提示不同组别个体的 NO量不同，但研究者并不知道到底是三者之间均有差别，还
双因素方差分析课件
双原因无反复（无交互作用）试验资料表
原因 B 原因 A
B1
A1
X11
...
...
Aa
X a1
a
T. j X ij T.1 i 1
X. j T. j a X .1
b
B2 ... Bb Ti. X ij X i. Ti. b j 1
X12 ... X1b
T1.
X 1.
... ... ... ...
➢ 有交互作用旳双原因试验旳方差分析
有检验交互作用旳效应，则两原因A，B旳不同水 平旳搭配必须作反复试验。
处理措施：把交互作用当成一种新原因来处理，
即把每种搭配AiBj看作一种总体Xij。
基本假设（1）X ij 相互独立；
（2）Xij ~ N ij , 2 ，（方差齐性）。
线性统计模型
原因B
总平均 旳效应
53 58 48
a
T. j Xij 197 232 183 i 1
b
Ti. X ij j 1 165 143 145 159
T 612
X i. Ti. b
55.0 47.7 48.3 53.0
X. j T. j a 49.3 58.0 45.8
X 51
解 基本计算如原表
a b
双原因方差分析措施
双原因试验旳方差分析
在实际应用中，一种试验成果（试验指标）往往 受多种原因旳影响。不但这些原因会影响试验成果， 而且这些原因旳不同水平旳搭配也会影响试验成果。
例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时， 性能变化不大，但当同步加入元素A和B时，合金性 能旳变化就尤其明显。
统计学上把多原因不同水平搭配对试验指标旳 影响称为交互作用。交互作用在多原因旳方差分析 中，把它当成一种新原因来处理。
anova方差分析
anova方差分析ANOVA是一种统计分析方法，用于比较三个或更多个样本之间的平均值是否存在显著差异。
它通过计算各组之间的方差来确定这种差异是否是由随机因素引起的。
在本文中，我们将详细介绍ANOVA的原理、步骤以及如何解读结果。
一、ANOVA原理ANOVA基于总体方差的假设进行分析。
它将总体方差分解为两部分：组内方差和组间方差。
组内方差反映了组内个体数据的离散程度，而组间方差则反映了不同组之间平均值的差异程度。
ANOVA的核心思想是，如果组间方差远大于组内方差，那么不同组的平均值之间存在显著差异。
二、ANOVA步骤进行ANOVA分析的步骤通常如下：1. 确定研究问题并设置假设。
明确要比较的各组之间的平均差异。
2. 收集数据并组织成数据表。
数据表应包含所有组的数据，按照不同组别进行划分。
3. 计算各组的平均值、方差以及总体均值。
4. 计算组间方差（SSB）和组内方差（SSW）。
5. 计算F值，即组间方差与组内方差之比。
6. 根据显著性水平（通常是α=0.05）和自由度，查找F分布表，确定拒绝域。
7. 比较计算得到的F值与临界值，判断差异是否显著。
8. 若F值落入拒绝域，拒绝原假设，说明存在显著差异；若F值未落入拒绝域，则接受原假设，说明差异不显著。
三、结果解读ANOVA的结果通常表现为F值和p值。
F值反映了组间的差异程度，而p值则表示了这种差异是否显著。
1. 若F值较大且p值较小（通常小于0.05），则拒绝原假设，说明组间存在显著差异。
2. 若F值较小且p值较大（通常大于0.05），则接受原假设，说明组间差异不显著。
3. 需要注意的是，即使p值小于0.05，也不能说明效应大小，只能说明差异存在。
四、ANOVA的应用领域ANOVA广泛应用于各个领域的实验研究中，包括但不限于以下几个方面：1. 医学研究：比较不同药物治疗效果的差异。
2. 社会科学研究：比较不同教育水平之间的收入差异。
3. 工程技术研究：比较不同设计方案之间的性能差异。
(方差分析)ANOVA
用控制图 加以类比
“子群间的方差”
“子群内的方差 ”
总体 = 两者间 + 之内
ANOVA - 9
基本知识 – 平方和
70
65
60
55
1
2
3
4
Factor
yj = 群体均值
y = 实验的总均值
yi,j = 个别测量 i = 代表在 jth群体中的一个数据点 j = 代表 jth 群体 g = 群体总数
ANOVA - 2
从中学到什么?
从一个简单方法中获得经验， 了解过程知识 知道如何设计并分析一个简单实验 提高从少量数据中获得结论的能力 进一步认识图形工具在数据中应用 分析多因素对一个同步反应的效果
ANOVA - 3
反应
是否存在差异?
50
40
x
30
20
x
x
10
1
2
3
因素A
ANOVA - 4
概念性ANOVA
总计
SS SS(Factor) SS(Error)
SS(Total)
df
MS (=SS/df)
g -1
g
n
j
1
j 1
g n j 1
j 1
SS (factor)/df factor SS(Error) / df error
F {=MS(Factor)/MS(Error)} MS(Factor) / MS(Error)
ANOVA - 30
双因素因素设计
一般双因素因素实验采用如下表格，在单因素ANOVA情况下，实验 的随机性很重要：
1
1
Factor A
2
.
《双因素方差分析》课件
同样地，因素B对因变量的影响也是显著的，表 明在不同水平下，因变量的均值存在显著差异。
3
交互作用
分析结果表明，因素A和因素B之间存在显著的 交互作用，这种交互作用对因变量产生了显著影 响。
对未来研究的建议
扩大样本量
为了更准确地评估双因素方差分析的结果，建议在未来研究中扩大样本量，以提高分析 的稳定性和可靠性。
数据筛选
检查数据是否满足方差分析的前提假设，如正 态分布、方差齐性等。
数据编码
对分类变量进行适当的编码，以便在分析中使用。
模型拟合
确定模型
根据研究目的和数据特征，选择合适的双因素方差分析模型。
拟合模型
使用统计软件（如SPSS、SAS等）进行模型拟合，得到估计参数和模型拟合指标。
假设检验
检验主效应
考虑其他影响因素
除了因素A和因素B外，可能还有其他未考虑的因素对因变量产生影响。因此，未来的 研究可以考虑纳入更多的变量，以更全面地了解因变量的影响因素。
深入研究交互作用
双因素方差分析结果表明因素A和因素B之间存在交互作用。为了更深入地了解这种交 互作用的机制和效果，建议进行更详细的研究和探讨。
实际应用价值
主效应和交互效应检验
使用双因素方差分析来检验两个实验因素的 主效应和它们之间的交互效应。
结果解释
根据分析结果，解释实验因素对因变量的影 响以及交互作用的存在与否。
05 结论与建议
研究结论
1 2
因素A对因变量的影响
通过双因素方差分析，发现因素A对因变量的影 响显著，说明在因素A的不同水平下，因变量的 均值存在显著差异。
双因素方差分析的数学模型
双因素方差分析涉及两个实验因素，通常表示为A和B。
双因素方差分析方法
(
)
dfT , df A , df B , df E ,则
SS A df A MS A = ~ F ( ( a 1) , ( a 1)( b 1) ) FA = SS E df E MS E
SS B df B MS B = ~ F ( ( b 1) , ( a 1)( b 1) ) FB = SS E df E MS E
结论:工人对产品的产量有显著影响, 结论:工人对产品的产量有显著影响, 机器对产品的产量有极显著影响. 机器对产品的产量有极显著影响.
例1的上机操作 的上机操作
原始数据,行因素水平, 原始数据,行因素水平,列因素水平
对应例1 对应例 的数据输入方式
工人对产品产量有显著影响,而机器对产品产量的影响极显著. 工人对产品产量有显著影响,而机器对产品产量的影响极显著.
1 b 水平A α i = ∑ ij = i i 水平 i对试验结果的效应 a j =1 1 a 水平 β j = ∑ ij = i j 水平Bj对试验结果的效应 b i =1 试验误差 ε ij = X ij ij
特性: 特性:
∑ α i = 0;
i =1
a
β j = 0; ε ij ~ N ( 0, σ 2 ) ∑
SST = ∑∑ X ij X
i =1 j =1
a
b
(
)
2
可分解为: 可分解为:SST = SS A + SS B + SS E
SS A = b∑ X i. X
SS B = a ∑ X . j X
j =1 a b
a
i =1 b
(
)
2
称为因素A的离差平方和, 称为因素 的离差平方和, 的离差平方和 对试验指标的影响. 反映因素 A 对试验指标的影响. 称为因素B的离差平方和, 称为因素 的离差平方和, 的离差平方和 对试验指标的影响. 反映因素 B 对试验指标的影响.
《双因素方差分析》word版
§5.3 双因素方差分析I 无交互作用的双因素方差分析(1) 数学模型 现在考虑影响试验指标的因素有两个：A, B 。
因素A 有水平r 个；有水平s 个；因素A, B 的各种组合水平均只作一次试验；两因素之间无交互作用。
数据结构表假设：(1*) {:1;1}ij Y i r j s ≤≤≤≤独立；(2*) 2~(,)ij ij Y N μσ，即具有相同的方差； (3*) ij ij ij Y e μ=+，其中 2~(0,)ij e N σ，且{}ij e 独立； 数学模型： ij i j ij ij Y e μαβγ=++++ ， 其中：111()r s ij i j rs μμ-===∑∑—总平均值； 11s i ij j s μμ-⋅==∑; 11r j ij i r μμ-⋅==∑;i i αμμ⋅=-—因素A 在水平Ai 下对试验指标的效应值；j j βμμ⋅=-—因素B 在水平Bj 下对试验指标的效应值；s B2rA12122212s s r r rs Y Y Y Y Y2r Y ⋅⋅12..s Y Y Y ⋅⋅⋅10r i i α==∑; 10s j j β==∑;ij ij i i γμμαβ=---—因素A, B 的交互效应值； {}ij e —随机部分，假定：独立同正态分布；注： “无交互作用”等价于：0ij γ=，即ij i i μμαβ=++；(2) 方差分析(i) 假设检验问题 两种因素分别进行检验：0112:0r H ααα====即因素A 对试验指标影响不显著；0212:0s H βββ====即因素B 对试验指标影响不显著；注：当01H 和02H 成立时，,(1;1)ij i r j s μμ=≤≤≤≤.(ii) 构造F-统计量及否定域 设()111r siji j Y rs Y-===∑∑；11si ij j Y s Y -⋅==∑；11rj ij i Y r Y -⋅==∑；2211()rsT ij i j S Y Y ===-∑∑；221()rA i i S s Y Y ⋅==-∑；221()sB j j S r Y Y ⋅==-∑；2211()rsE ij i j i j S Y Y Y Y ⋅⋅===--+∑∑；注：注意，2211()rsE ij i j i j S Y Y Y Y ⋅⋅===--+∑∑211()r sij ij i i j j i j e e e e μμμμ⋅⋅⋅⋅===+----++∑∑ 211[()()]rsij i j ij i j i j e e e e μμμμ⋅⋅⋅⋅===--++--+∑∑211()rsij i j i j e e e e ⋅⋅===--+∑∑.这里利用了“无交互效应”的假设条件：0ij ij i j γμμμμ⋅⋅=--+=.由此可见，2E S 与α⋅及β⋅无关，即与假设01H 和02H 是否成立无关。
双因素试验的方差分析
第二节 双因素试验的方差分析进行某一项试验，当影响指标的因素不是一个而是多个时，要分析各因素的作用是否显著，就要用到多因素的方差分析.本节就两个因素的方差分析作一简介.当有两个因素时，除每个因素的影响之外，还有这两个因素的搭配问题.如表9-7中的两组试验结果，都有两个因素A 和B ，每个因素取两个水平.表9-7(b)表9-7（a ）中，无论B 在什么水平（B 1还是B 2），水平A 2下的结果总比A 1下的高20；同样地，无论A 是什么水平，B 2下的结果总比B 1下的高40.这说明A 和B 单独地各自影响结果，互相之间没有作用.表9-7(b)中，当B 为B 1时，A 2下的结果比A 1的高，而且当B 为B 2时，A 1下的结果比A 2的高；类似地，当A 为A 1时，B 2下的结果比B 1的高70，而A 为A 2时，B 2下的结果比B 1的高30.这表明A 的作用与B 所取的水平有关，而B 的作用也与A 所取的水平有关.即A 和B 不仅各自对结果有影响，而且它们的搭配方式也有影响.我们把这种影响称作因素A 和B 的交互作用，记作A ×B .在双因素试验的方差分析中，我们不仅要检验水平A 和B 的作用，还要检验它们的交互作用.1.双因素等重复试验的方差分析设有两个因素A ，B 作用于试验的指标，因素A 有r 个水平A 1,A 2,…,Ar ,因素B 有s 个水平B 1,B 2,…,B s ,现对因素A ，B 的水平的每对组合(A i ,B j ),i =1,2,…,r ；j =1,2,…,s 都作t (t ≥2)次试验（称为等重复试验），得到如表9-8的结果：表9-8 ijk ij ijk ij 数.或写为⎪⎩⎪⎨⎧===+=.,,,2,1),,0(~,,,2,1;,,2,1,2相互独立各ijkijk ijk ij ijk t k N s j r j x εσεεμ (9.16) 记μ=111,r s ij i j rs μ==∑∑, 11si i j j s μμ∙==∑, i =1,2,…,r ,11rj ij i r μμ∙==∑, j =1,2,…,s ,,i i αμμ∙=-, i =1,2,…,r , j j βμμ∙=-, j =1,2,…,s ,ij ij i j γμμμμ∙∙=--+.于是 μij =μ+αi +βj +γij . (9.17)称μ为总平均，αi 为水平A i 的效应，βj 为水平B j 的效应，γij 为水平A i 和水平B j 的交互效应，这是由A i ,B j 搭配起来联合作用而引起的.易知1rii α=∑=0,1sjj β=∑=0，1riji γ=∑=0, j =1,2,…,s ,1sijj γ=∑=0, i =1,2,…,r ，这样（9.16）式可写成⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=======++++=∑∑∑∑====.,,,2,1;,,2,1;,,2,1),,0(~,0,0,0,0,21111相互独立各ijkijk s j ij r i ij s j j r i i ijk ij j i ijk t k s j r i N x εσεγγβαεγβαμ (9.18) 其中μ,αi ,βj ,γij 及σ2都为未知参数.（9.18）式就是我们所要研究的双因素试验方差分析的数学模型.我们要检验因素A ，B 及交互作用A ×B 是否显著.要检验以下3个假设：⎩⎨⎧=====.,,:,0:21112101不全为零r r H H αααααα ⎩⎨⎧=====.,,:,0:21122102不全为零s s H H ββββββ ⎩⎨⎧=====.,,:,0:121113121103不全为零rs rs H H γγγγγγ 类似于单因素情况，对这些问题的检验方法也是建立在平方和分解上的.记1111r s tijk i j k x x rst ====∑∑∑, 11tij ijk k x x t ∙==∑, i =1,2,…,r ； j =1,2,…,s ，111s ti ijk j k x x st ∙∙===∑∑, i =1,2,…,r ， 111r tj ijk i k x x rt ∙∙===∑∑, j =1,2,…,s ， S T =2111()r s tijk i j k x x ===-∑∑∑. 不难验证,,,i j ij x x x x ∙∙∙∙∙分别是μ,μi ·,μ·j,μij 的无偏估计.由 ()()()()i j k i j k i j i j i j i j x x x x x x x x x x x x∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙-=-+-+-+--+， 1≤i ≤r ,1≤j ≤s ,1≤k ≤t得平方和的分解式：S T =S E ＋S A ＋S B ＋S A ×B ， (9.19)其中S E =2111()rstijkij i j k xx ∙===-∑∑∑，S A =1()2ri i stxx ∙∙=-∑，S B =21()sj j rtxx ∙∙=-∑，S A ×B =211()rsij i j i j tx x x x ∙∙∙∙∙==--+∑∑. S E 称为误差平方和，S A ，S B 分别称为因素A ，B 的效应平方和，SA ×B 称为A ，B 交互效应平方和.当H 01:α1=α2=…=αr =0为真时，F A =[](1)(1)A ES S r rs t -- ~F (r -1,rs (t -1))；当假设H 02为真时，F B =[](1)(1)B ES S s rs t --~F (s -1,rs (t -1))；当假设H 03为真时，F A ×B =[](1)(1)(1)A BES S r s rs t ⨯--- ~F ((r -1)(s -1),rs (t -1)).当给定显著性水平α后，假设H 01，H 02，H 03的拒绝域分别为：(1,(1));(1,(1));(1)(1),(1)).A B A BF F r rs t F F s rs t F F r s rs t ααα⨯≥--⎧⎪≥--⎨⎪≥---⎩ (9.20) 经过上面的分析和计算，可得出双因素试验的方差分析表9-9.表9-9在实际中，与单因素方差分析类似可按以下较简便的公式来计算S T ，S A ，S B ，S A ×B ,S E . 记 T ···=111rstijki j k x===∑∑∑，T ij ·=1tijkk x=∑, i =1,2,…,r ; j =1,2,…,s ，T i ··=11s tijkj k x==∑∑, i =1,2,…,r ,T ·j ·=11rtijki k x==∑∑, j =1,2,…,s ,即有221112212212211,1,1,1,.r s tT ijk i j k r A i i s B j j r s A B ij A B i j E T A B A B T S x rst T S T st rst T S T rt rst T S T S S t rst S S S S S ∙∙∙===∙∙∙∙∙=∙∙∙∙∙=∙∙∙⨯∙==⨯⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎨=-⎪⎪⎪=---⎪⎪⎪=---⎩∑∑∑∑∑∑∑ (9.21) 例9.5 用不同的生产方法（不同的硫化时间和不同的加速剂）制造的硬橡胶的抗牵拉强度（以kg ·cm -2为单位）的观察数据如表9-10所示.试在显著水平0.10下分析不同的硫化时间（A ），加速剂（B ）以及它们的交互作用（A ×B ）对抗牵拉强度有无显著影响.010203r =s =3, t =2， T ···,T ij ·,T i ··,T ·j ·的计算如表9-11.S T =22111,r s tijki j k T xrst∙∙∙===-∑∑∑=178.44， S A =2211r i i T T st rst∙∙∙∙∙=-∑=15.44，S B =2211s j j T T rt rst ∙∙∙∙∙=-∑=30.11，S A ×B =22111r s ij A B i j T T S S t rst∙∙∙∙==---∑∑ =2.89，S E =S T -S A -S B -S A ×B =130，得方差分析表9-12.由于F 0.10(2,9)=3.01>F A ,F 0.10(2,9)>F B ,F 0.10(4,9)=2.69>F A ×B ,因而接受假设H 01,H 02,H 03,即硫化时间、加速剂以及它们的交互作用对硬橡胶的抗牵拉强度的影响不显著.2.双因素无重复试验的方差分析在双因素试验中，如果对每一对水平的组合（A i ,B j ）只做一次试验，即不重复试验，所得结果如表9-13.这时ij x ∙=x ijk ,S E =0,S E 的自由度为0，故不能利用双因素等重复试验中的公式进行方差分析.但是，如果我们认为A ，B 两因素无交互作用，或已知交互作用对试验指标影响很小，则可将S A ×B 取作S E ，仍可利用等重复的双因素试验对因素A ，B 进行方差分析.对这种情况下的数学模型及统计分析表示如下：由（9.18）式,112,0,0,~(0,),1,2,,;1,2,,,.ij i j ij r si j i j ij ijk x N i r j s μαβεαβεσε===+++⎧⎪⎪==⎪⎨⎪==⎪⎪⎩∑∑ 各相互独立 (9.22) 要检验的假设有以下两个：⎩⎨⎧=====.,,:,0:21112101不全为零r r H H αααααα ⎩⎨⎧=====.,,:,0:21122102不全为零s s H H ββββββ 记 1111111,,,r s s rij i ij j ij i j j i x x x x x x rs s r ∙∙=======∑∑∑∑平方和分解公式为：S T =S A +S B +S E ， (9.23)其中 22111(),(),r ssT ijA i i j j S xx S s x x ∙====-=-∑∑∑22111(),(),srsB j E ij i j j i j S r x x S x x x x ∙∙∙====-=--+∑∑∑分别为总平方和、因素A ，B 的效应平方和和误差平方和.取显著性水平为α,当H 01成立时，F A =(1)AEs S S - ~F ((r -1),(r -1)(s -1))， H 01拒绝域为F A ≥F α((r -1),(r -1)(s -1)). (9.24)当H 02成立时，F B =(1)BEr S S - ~F ((s -1),(r -1)(s -1))， H 02拒绝域为F B ≥F α((s -1),(r -1)(s -1)). (9.25)得方差分析表9-14.例9.6 测试某种钢不同含铜量在各种温度下的冲击值（单位：kg ·m ·cm ），表9-15列出了试验的数据（冲击值），问试验温度、含铜量对钢的冲击值的影响是否显著？（α=0.01）01020.01A01F0.01（2,6）=10.92<F B,拒绝H02.检验结果表明，试验温度、含铜量对钢冲击值的影响是显著的.。
anova方差分析
anova方差分析在统计学中，ANOVA（Analysis of Variance）是一种用于比较两个或多个样本均值差异的方法。
它通过检验各组之间是否存在显著差异来推断总体均值是否一致。
本文将介绍ANOVA的基本原理、假设条件、计算步骤以及使用场景。
1. 原理ANOVA基于方差比较的原理，通过计算组内方差和组间方差的比值来判断各组均值是否相等。
如果组间方差远大于组内方差，则可以推断各组均值不相等；如果组内方差远大于组间方差，则可以推断各组均值相等。
2. 假设条件进行ANOVA分析时，需要满足以下假设条件：- 独立性：样本观测值之间相互独立，一个样本的观测值不会影响其他样本的观测值。
- 正态性：每个总体都服从正态分布。
- 方差齐性：各组总体方差相等。
3. 计算步骤进行ANOVA分析的计算步骤主要包括以下几个方面：- 计算组内平方和（SSW）：表示各组内部的变异程度。
- 计算组间平方和（SSB）：表示各组之间的变异程度。
- 计算均方（MSW和MSB）：将组内平方和和组间平方和除以自由度。
- 计算F值：F值等于均方之比。
- 进行假设检验：根据计算得到的F值与显著性水平进行比较，判断组间差异是否显著。
4. 使用场景ANOVA广泛应用于实验设计和数据分析领域，特别适用于以下场景：- 多组均值比较：当我们需要比较多个样本均值是否有显著差异时，可以使用ANOVA进行分析。
- 多因素分析：当我们同时考虑两个或多个因素对结果的影响时，可以使用多因素ANOVA。
- 方差分解：ANOVA可以将总体方差分解为组内方差和组间方差，从而分析各组之间的差异。
总结：ANOVA方差分析是一种有效的统计方法，通过比较多个样本均值差异来推断总体均值是否一致。
在使用时需要满足一定的假设条件，并按照特定的计算步骤进行分析。
它在实验设计和数据分析中有着广泛的应用，能够帮助我们深入了解组间差异的来源和影响因素。
ANOVA 统计学之方差分析
6
89
14.8
1431.0
合 计 73 79 79 78 86 85
24
480
20.0
10616.0
四种解毒药的解毒效果是否相同？
Si
S1
S2
S3
S4
合计
值 5.99 4.15 3.78 4.71 6.65
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21
二、 计算离均差平方、自由度、均方
1 ． 总 离 均 差 平 方 和 SS总 = a ni Yij2 C = 1 0 6 1 6 － ( 4 8 0 ) 2 / 2 4 ＝ 1 0 1 6 . 0 。
18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 2
98.49 99.00 99.17 99.25 99.30 99.33
4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 25
7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63
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16
F 分布曲线下面积与概率
α’＝1－(1－α)c
(8.6)
例如，设α＝0.05，c=3(即k=3)，其累积Ⅰ类错误
的概率为α’＝1－(1-0.05)3 =1-(0.95)3 = 0.143
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27
一、Bonferroni法
方法：采用α＝α’/c作为下结论时所采用的 检验水准。c为两两比较次数， α’为累积I 类错误的概率。
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17
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18
第二节 实例8.1的方差分析
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19
一、 建立检验假设
H0：1234即4个试验组总体均数相等
H1：4个试验组总体均数不全相等
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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(3)各组均数间的两两比较：
采用？两两比较的方法，？组与？组均数有差别 (p<0.05))；再写出相应的专业结论。
双因素方差分析(two-way ANOVA)
• 配伍组设计(或双因素无重复试验设计):是配对设计的扩
展
– 在实验研究中将实验动物按窝别等特征配伍,再随机分配到各 处理组中; – 对同一受试对象不同时间点上（即多余两个时间点）的观察
实习五
方差分析
实习目的：
1. 2. 3. 4.
了解方差分析的基本思想 掌握常用的方差分析的种类及适用条件 掌握单因素和双因素方差分析的操作方法
正确解释输出结果
• 方差分析（ANOVA）用
于进行两组及多组间样本 均数的比较。
方差分析的基本思想是基于变异分 解的原理：
总变异= 随机变异 + 处理因素导致的变异
分析所有分 类变量的主 效应和交互 作用。而 Custom只是 比较主效应， 不看交互作 用。 将分析主效应 的变量选入
方差分析进行变 异分解的方法
用于对精细趋势 检验和精确两两 比较的选项进行 定义，比较专业， 少用。
各组均数间的多重比较：
选入需要估计均数的因素 和交互作用 进行均数间的多重比较
*. The mean difference is sig nificant at the .05 level.
上表可见：显示了每两组之间的具体的差别。与后面的 S－N－K方法完全不同，例如在这里： 2与3之间比较是0.147，没有统计学差异。
S-N-K法两两比较结果
dna
从表中可见，自发性（group＝2）和移植 性白血病鼠（group＝3）被分在一组， 与正常鼠处于不同亚组，因此，正常鼠和 其他两种鼠脾DNA含量间有差异。
最敏 感 ,每 组之 间都 比较
运用最广泛
输出常用统计描 述指标
方差齐性检验
用各组均数做图，同时可辅助对均数间趋势做出判断。
结果解释：
单因素方差分析：必须方差齐性。下述结果表明确实可 以继续进行ANOVE分析。 方差齐性检验结果：
ANOVA dna Sum of Squares 47.785 43.074 90.860 df 2 21 23 Mean Square 23.893 2.051 F 11.648 Sig . .000
输出非常重要指标
第一行（校正的模型）：所用方差分析模型的检验——上 述结果显示有差异，方差不齐。 第二行：截距，分析中无实际意义，可忽略。 第三行：配伍因素——不同对象的粘蛋白也有差异 第四行：变量（治疗不同时期粘蛋白含量有差别，具体是 哪两个或几个间存在差别，需要后面两两比较来回答。） 第五行：误差；第六行：合计；第七行：校正的合计
N 9 7 8 Subset for alpha = .05 1 2 11.656 12.743 14.975 .146 1.000
Student-Newman-Keuls
a,b
group 3 2 1 Sig .
Means for groups in homog eneous subsets are displayed. a. Uses Harmonic Mean Sample Size = 7.916. b. The group sizes are unequal. The harmonic mean of the group sizes is used. Type I error levels are not g uaranteed.
1. 一组样本与总体均数的比较 （单一样本T检验） 2. 成组设计两组样本均数的比较（成组设计T检验） 3. 配对设计两组样本均数的比较（配对设计T检验） 4. 单因素多组样本均数的比较 （成组设计方差分析） 5. 双因素多组样本均数的比较 （双因素比较，也即： 配伍组设计方差分析）
研究;
– 给同一样本不同的处理;
• 各处理组样本数相同——如果是重复测量数据，就是说 在不同时间点不能有缺省值。
• 无法考察交互作用和方差齐性，所以不用管方差齐不齐。
统计量F 的计算及其意义
F1=MS组间/MS组内 F2=MS配伍间/MS组内 都是和随机误差进行比较。
自由度： 组间 = 组数-1 配伍间 = 区组数-1 组内 = (组数-1)(区组数-1)
练习5.2分析:
• 处理因素：即研究的主要因素，为不同 时期（变量名：time）； • 配伍因素：不同患者治疗前、中、后期 各时点血液中粘蛋白含量不同，即研究 对象的不同。
操作步骤：从analyze-普通线性模型（GLM）-进入，见下图。
ห้องสมุดไป่ตู้
因变量 固定变量 随机因素变量
自定义方差分 析模型
协变量:与自变量和因变量可能有关系的连续性变量 加权最小二乘法的权重系数
Between Groups Within Groups Total
单因素方差分析结果可见，F=11.648,P<0.001。因此可认 为三组鼠脾中DNA含量不全相同(差别有统计学意义，但 具体谁与谁不同，需要看下面的结果。)。
LSD法两两比较结果
Multiple Comparisons Dependent Variable: dna Mean Difference (I-J) 2.2321* 3.3194* -2.2321* 1.0873 -3.3194* -1.0873
LSD
(I) g roup 1 2 3
(J) group 2 3 1 3 1 2
Std. Error .7412 .6959 .7412 .7218 .6959 .7218
Sig . .007 .000 .007 .147 .000 .147
95% Confidence Interval Lower Bound Upper Bound .691 3.774 1.872 4.767 -3.774 -.691 -.414 2.588 -4.767 -1.872 -2.588 .414
。
统计量F 的计算及其意义
F=MS组间/MS组内 自由度： 组间=组数-1
组内=N-组数
通过这个公式计算出统计量F，求出对应的P值， 与进行比较，做出推论。
如果 p> ，说明得到大于现有统计量 F 值的可能性 p 大于，不属于小概率事件，则不拒绝H0，差别无统计学 意义，结论是各总体均数相等。 如果p≤，说明得到等于或大于现有统计量的可能性 p小于，可判断为小概率事件，则拒绝H0，接受H1，差 别有统计学意义，结论是各总体均数不相等。
2.确定检验水平 3.计算检验统计量F值，并将方差分析的结果整理成表格形式（方差
分析表）：
变异来源（组间、组内、总）、离均差平方和、自由度、均方、F值、P值
4.确定P值 5.做出统计推断
各组均数间的两两比较
(1)方差齐性检验：F=?，p=? 与 =0.05的关系，各组方差齐？
(2)方差分析：
建立假设： H0 ：？？？总体均数相等 1 = 2 = 3 H1 ：？？？总体均数不全相等 确定显著性水平，用 表示，常取0.05。 计算统计量F：F=MS组间/MS组内=？ 计算概率值P：p=？ 做出推论：
SPSS操作步骤：
选入需要分析 的变量
选入需要比较的分 组因素(only one)
对均数的变动趋势进行检验； 定义根据研究目的需要进行的某些精确两两比较
练习5.1因变量和因素变量分别选入：
定义是否在方差分析中进行趋势检验
用于选择各组间进行两 两比较的方法
提供了当各组方差齐时可用的两两比较的方法：
亚组内DNA含量差 异无统计学意义
SPSS在用S-N-K法进行两两比较时，如果有差异，则只 会告诉你P值小于预定的界值（默认为0.05），而不会 给出具体的P值。——这个跟前面的给出具体的组与组 之间差异值的LSD方法不一样。
将结果整理成方差分析的步骤和方法
方差齐性检验 方差分析：
1.建立检验假设
总变异 = 组内变异 + 组间变异
需要证明：组间变异远远大于组内变异，则说明处理因 素的存在，如果两者相差无几，则说明该影响不存在。
– 单因素方差分析 – 双因素方差分析
二、单因素方差分析
(成组设计的多个样本均数比较)
▲ 适用条件：
各样本是相互独立的随机样本；
各样本来自正态分布；
各样本方差相等（方差齐性检验）
将结果整理成方差分析的步骤和方法
1.建立检验假设（根据问题检验处理因素或配伍因素） 2.确定检验水平 3.计算检验统计量F值，并将方差分析的结果整理成表格 形式（方差分析表）：
变异来源（处理间、配伍间、误差、总）、离均差平方和、自由度、 均方、F值、P值
4.确定P值 5.做出统计推断
常用的设计类型及分析方法