参数方程化成普通方程

§3 参数方程化成普通方程

1．曲线⎩

⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ－1y ＝2sin θ＋2(θ为参数)的一条对称轴的方程为( ) A ．y ＝0 B ．x ＋y ＝0

C ．x －y ＝0

D ．2x ＋y ＝0

解析：选D.曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ－1y ＝2sin θ＋2

(θ为参数)的普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心C (－1,2)，过圆心的直线都是圆的对称轴，故选D.

2．与普通方程x 2＋y －1＝0等价的参数方程为(t 为参数)( )

A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin t y ＝cos 2t

B.⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝cos t y ＝sin 2t C.⎩⎨⎧ x ＝1－t y ＝t D.⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝tan t y ＝1－tan 2t 解析：选D.A 化为普通方程为

x 2＋y －1＝0，x ∈[－1,1]，y ∈[0,1]．

B 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1,1]，y ∈[0,1]．

C 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[0，＋∞)，y ∈(－∞，1]．

D 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈R ，y ∈(－∞，1]．

3．若曲线⎩

⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则点(x ，y )的轨迹是( ) A ．直线x ＋2y －2＝0

B ．以(2,0)为端点的射线

C ．圆(x －1)2＋y 2＝1

D ．以(2,0)和(0,1)为端点的线段

解析：选D.x ＝1＋cos2θ＝1＋(1－2sin 2θ)

＝2－2y ，∴x ＋2y －2＝0.

又∵x ＝1＋cos2θ∈[0,2]，y ＝sin 2θ∈[0,1]．

∴点(x ，y )的轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段．

4．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝sin α2＋cos α2y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程为( ) A ．y 2－x 2＝1 B ．x 2－y 2＝1

C ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)

D ．x 2－y 2＝1(|x |≤2)

解析：选C.x 2＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＝1＋sin α， y 2＝2＋sin α，∴y 2－x 2＝1.

又x ＝sin α2＋cos α2

＝2sin ⎝⎛⎭⎫α2＋π4∈[－2，2]，即|x |≤ 2.故应选C. 5．椭圆⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝5cos φy ＝3sin φ(φ为参数)的焦点坐标为( ) A ．(－2,0)，(2,0) B ．(0，－2)，(0,2)

C ．(0，－4)，(0,4)

D ．(－4,0)，(4,0)

解析：选D.利用平方关系化为普通方程x 225＋y 2

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＝1，c 2＝16，c ＝4，焦点在x 轴上，∴焦点为(－4,0)，(4,0)，故选D.

6．(2013·咸阳质检)已知过曲线⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4

，则点P 坐标是( ) A ．(3,4) B.⎝⎛⎭

⎫322，22 C ．(－3，－4) D.⎝⎛⎭⎫125，125

解析：选D.设|OP |＝t ，则P 点坐标⎝⎛⎭⎫22

t ，22t ，代入方程x 29＋y 216＝1，解得t ＝1225， 所以P 点坐标⎝⎛⎭⎫125，125.

7．已知直线l ：3x ＋4y －12＝0与圆C ：⎩

⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ. (θ为参数)，则它们的公共点个数为________．

解析：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，

其圆心为C (－1,2)，半径为2.

由于圆心到直线l 的距离

d ＝|3×(－1)＋4×2－12|32＋42

＝75<2， 故直线l 与圆C 的公共点个数为2.

答案：2

8.（2013陕西卷）

9.（2013重庆卷）

10．已知方程y 2－6y sin θ－2x －9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0，(0≤θ＜2π)．

(1)试证：不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线；

(2)θ为何值时，该抛物线在直线x ＝14上截得的弦最长，并求出此弦长．

解：(1)证明：将方程y 2－6y sin θ－2x －9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0，

可配方为(y －3sin θ)2＝2(x －4cos θ)，

∴图象为抛物线，

设其顶点为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4cos θy ＝3sin θ

， 消去θ得顶点轨迹就是椭圆x 216＋y 2

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＝1. (2)联立⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝14y 2－16y sin θ－2x －9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0 消去x ，得y 2－6y sin θ＋9sin 2θ＋8cos θ－28＝0.

弦长|AB |＝|y 1－y 2|＝47－2cos θ.

当cos θ＝－1，即θ＝π时，弦长最大为12.

11.（2013福建卷） 12．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧

x ＝3cos α，y ＝sin α

(α为参数)．

①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半

轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭

⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系； ②设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．