高三数学圆部分知识整理

高三数学回归书本知识整理

圆部分

一、曲线和方程：

在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程0),(=y x f 的实数解建立了： ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）

②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点；（完备性）

那么这个方程叫做曲线方程，这条曲线叫做方程的曲线。

二、圆的定义及其方程．

（1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定

长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件）

（2）圆的标准方程：)0()()(222>=-+-r r b y a x ；圆心),(b a

圆的参数方程：⎨⎧+=+=θθθ(sin cos r b y r a x 为参数)；理解θ的含义； 圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ；圆心),(E D --，半径为F E D 42

122-+；

一般方程的特点：①2

x 和2y 的系数相同，且不等于零；②没有xy 这样的二次项；

③0422>-+F E D ； 特别地，圆心在坐标原点，半径为r 的半圆的方程是222r y x =+；⎩⎨⎧==θ

θsin cos r y r x ；

若),(),(2211y x B y x A ，，则以线段AB 为直径的圆的方程是：0))(())((=--+--y y y y x x x x ；

三、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理）

设),(00y x P 与圆2

22)()(r b y a x =-+-；若P 到圆心之距为d ；

①P 在在圆C 外22020)()(r b y a x r d >-+-⇔>⇔；

②P 在在圆C 内22020)()(r b y a x r d <-+-⇔<⇔；

③P 在在圆C 上22020)()(r b y a x r d =-+-⇔=⇔；

四、直线与圆的位置关系：

设直线0:=++C By Ax l 和圆222)()(:r b y a x C =-+-，圆心C 到直线l 之距为d ，由直线l 和圆C 联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆，则它们的位置关系如下：

相离0<∆⇔>⇔r d ；相切0=∆⇔=⇔r d ；相交0>∆⇔<⇔r d ；

注意：这里用d 与r 的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法；

利用∆判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。

五、两圆的位置关系：

（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，

则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆

相离。

（2）几何法：设圆1O 的半径为1r ，圆2O 的半径为2r

①两圆外离2121||r r O O +>⇔； ②两圆外切2121||r r O O +=⇔；

③两圆相交212112||||r r O O r r +<<-⇔；④两圆内切||||1221r r O O -=⇔；

⑤两圆内含||||1221r r O O -<⇔；

六、与圆的切线有关的问题：

（1）若点),(00y x P 在圆222r y x =+；则过点P 点的切线方程为：200r yy xx =+；

若点),(00y x P 在圆222)()(r b y a x =-+-；则过点P 点的切线方程为：

200))(())((r b y b y a x a x =--+--；

若点),(00y x P 在圆022=++++F Ey Dx y x ；则过点P 点的切线方程为：

00000=++++++F y y E x x D yy xx ； （2）斜率为k 且与圆222r y x =+相切的切线方程为：21k r kx y +±=；

斜率为k 且与圆222)()(r b y a x =-+- 相切的切线方程的求法，可设切线为

m kx y +=，然后利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求m ；

（3）当点),(00y x P 在圆外面时，可设切方程为)(00x x k y y -=-，利用圆心到直线之距

等于半径即r d =，求出k 即可，或利用0=∆，求出k ，若求得k 只有一值，则还应该有一条斜率不存在的直线0x x =，此时应补上。

（4）当直线l 和圆C 相切时，切点的坐标为l 的方程和圆C 的方程联立的方程组的解，或

过圆心与切线l 垂直的直线与切线l 联立的方程组的解。

（5）若点),(00y x P 在圆222r y x =+外一点；则过点P 点的切线的切点弦方程为：

200r yy xx =+；

若点),(00y x P 在圆222)()(r b y a x =-+-；则过点P 点的切线的切点弦方程为：2))(())((r b y b y a x a x =--+--；

七、圆的弦长的求法：

（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则有：222)(r d l =+； （2）代数法：设l 的斜率为k ，l 与圆交点分别为),(),(2211y x B y x A ，，则

||11||1||22B A B A y y k

x x k AB -+=-+=

（其中|||,|2121y y x x --的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或x ，利用韦达定理求解。）

八、圆系方程：

（1）经过两个圆011122=++++F y E x D y x 与022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程是

0)(2222=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ；当1-=λ时，表示过两个圆交点的直线；

（2）经过直线0=++C By Ax l ：与圆022=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程是

0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ；